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专题 09 二次函数的最值和存在性问题
【思维导图】
◎突破一：线段周长最值
【技巧】二次函数求最值通常有两种类型：一种是通过几何性质线段公理和垂线段公理求最值，常常把折
的问题转化成直的问题；另一种通过函数的性质求最值。
线段最值即把线段的两个端点用坐标表示出来，然后根据距离差，列出关于坐标的二次函数的表达式，化
为顶点式，即可求出；在求周长的最值问题时，一般会和将军饮马问题有关，找到对称点，将周长问题转
化为线段最值即可。例．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，
0），C（0，﹣2）．
(1)求此抛物线的解析式和对称轴．
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，
说明理由．
专训1．（2021·安徽宣城·九年级期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B
（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．
专训2．（2021··九年级专题练习）如图，已知抛物线y＝－x2＋4x＋m与x轴交于A，B两点，AB＝2，与
y轴交于点C．（1） 求抛物线的解析式；
（2） 若P为对称轴上一点，要使PA＋PC最小，求点P的坐标．
专训3．（2022·湖南常德·九年级期末）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于
C点，且点A的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断 ABC的形状，并证明你的结论；
（3）点M△是抛物线对称轴上的一个动点，当 ACM的周长最小时，求点M的坐标．
△
◎突破二：面积最值问题
【技巧】一般会出现三角形的面积最值，利用“水平宽，铅垂高”，将面积最值转化为线段最值。有时候会
出现四边形的最值，只需将四边形分割为规则的图形即可，一般分为两个三角形，一个是定值，一个是最
值，只需求出最值即可。例．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，已知抛物线 经过点 和点 ．解答下
列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为 ，对称抽与 轴的交点为 ，求线段 的长；
(3)点 在抛物线上运动，是否存在点 使 的面积等于6？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，
说明理由．
专训1．（2022·宁夏吴忠·九年级期中）已知△AOB 的三边OA= ，OB=6，AB= ，以顶点O为原点，
OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴
正方向运动，设运动的时间为t秒，过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N，当点M与N重合时，
点P停止运动．
(1)求点A的坐标，并确定t的取值范围；
(2)求MN的长度(用含t的代数式表示)；
(3)设△AMN的面积为S，写出S关于t的函数关系式，并求S的最值．专训2．（2022·广西钦州·九年级期末）已知抛物线 的顶点为 ，与y轴交于点
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC抛物线上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标．
专训3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知抛物线 与一直线相交于 ，
两点，与y轴交于点N．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)求直线AC的函数关系式；
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点．求 面积的最大值．
◎突破三：直角三角形的存在性问题
【技巧】明确哪几个点构成的直角三角形，先利用两点间的距离公式（可由勾股定理推导）把三角形的三
边的平方表示出来，然后利用勾股定理求出即可；但是此方法有个弊端就是会有高次方出现，不易求解。
另外一种方法就是利用两直线的垂直关系，直线的解析式k值乘积为-1，可求出。例．（2022·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （a≠0）的图象与x
轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？
若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
专训1．（2022·辽宁·黑山县教师进修学校二模）如图，二次函数 的图象经过点A（ 1，
0），B（3，0），与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；(2)第一象限内的二次函数 图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且OD=2，当
S PCD=3时，求出点P的坐标；
(3△)若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的 ，若存在，求出点M的坐
标，若不存在，请说明理由．
专训2．（2021·福建·上杭县第三中学九年级期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为
x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点D，使△BCD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，
请说明理由；
(3)若点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，请直接写出使△PCB为直角三角形的点P的坐标．
专训3．（2022·四川绵阳·二模）将抛物线 向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到
抛物线 ．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知 ，点P是抛物线
H上的一个动点．
(1)求抛物线H的表达式；
(2)如图1，点P在线段 上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作 ，垂足为D，
交 于点E．作 ，垂足为F，求 的面积的最大值；
(3)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
◎突破四：等腰三角形的存在性问题
【技巧】等腰三角形的存在性先利用圆规把满足条件的点求出来，再求坐标，以免漏掉。一般是画圆和作
中垂线。
例．（2022·江西上饶·九年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 经过A（1，0），
C（0，5）两点，与x轴的另一交点为B．
(1)求抛物线解析式；
(2)若点M为直线BC下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N；
①当线段MN的长度最大时，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
②如图2，连接BM，当△BMN是等腰三角形时，求此时点M的坐标．
专训1．（2022·广西·中考真题）已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标
原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F(1)求抛物线的表达式；
(2)求证：∠BOF＝∠BDF ：
(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
专训2．（2021·广西·靖西市教学研究室九年级期末）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）
相交于A（﹣1，0）、B（1，﹣2）两点，且抛物线与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．
专训3．（2021·广西·靖西市教学研究室九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：y＝ax2＋bx
1
﹣1经过点A(﹣1,﹣2)和点B(﹣2,1)，抛物线C ：y＝3x2＋3x＋1，动直线x＝t与抛物线C 交于点N，与抛
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物线C 交于点M．
2
(1)求抛物线C 的表达式；
1
(2)求线段MN的长（用含t的代数式表达）；(3)当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值．避免遗漏．
◎突破五：（特殊）平行四边形的存在性问题
例．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期末）如图，抛物线 与x轴交于A（1，
0），B（ ，0）两点，C是抛物线与y轴的交点，P是该抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在（1）中抛物线的对称轴上求一点M，使得△MAC是以AM为底的等腰三角形，求出点M的坐标；
(3)设（1）中的抛物线顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，过抛物线上的动点P作x轴的垂线交线段
BC于点Q，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存
在，请说明理由．
专训1．（2022·广西·南宁市天桃实验学校八年级期末）如图，已知二次函数 为常数 的
图象经过点 ，点 ，顶点为点 ，过点 作 ∥ 轴，交 轴于点 ，交二次函数
的图象于点 ，连接 ．(1)求该二次函数的表达式及点 的坐标；
(2)若将该二次函数图象向上平移 个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 的内部
不包括 的边界 ，求 的取值范围；
(3)若 为线段 上一点，且 ： ： ， 为直线 上一点，在抛物线上是否存在一点 ，使以
、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的横坐标；若不存在，请说明理
由．
专训2．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，抛物线 与X轴交于A，B两点（点A在点
B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线对称轴上一动点．
(1)求直线BC的函数表达式；
(2)连接OD，CD，求 周长的最小值；
(3)在抛物线上是否存在一点E．使以B、C、D、E为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，
请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．
专训3．（2022·上海市西南模范中学九年级阶段练习）已知抛物线 过点C（4，0），顶点为
D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A．(1)求抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯
形，求点M的坐标（直接写出答案）．
◎突破六：相似三角形的存在性问题
例．（2020·山东烟台·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x－2与x轴交于点A，与y轴
交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x= 且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
(2)抛物线上是否存在点M，过点M作MN⊥x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与 ABC相似？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
专训1．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点
C(0，3)，顶点D的横坐标为1．(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说
明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上
是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，
请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
专训2．（2022·广东茂名·九年级期末）如图1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A
（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），顶点为D，对称轴交x轴于点E．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)设M为该抛物线上直线BC下方一点，过点M作x轴的垂线，交线段BC于点N，线段MN是否存在最
大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；
(3)连接CE（如图2），设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．连接
PE，请求出当△PQE与△COE相似时点P的横坐标．
专训3．（2022·山东德州·二模）如图，抛物线经过 ， ， 三点．(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为
顶点的三角形与 OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
△
(3)若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得 ，直接写出点D坐
标．
◎突破七：等腰直角三角形
例．（2022·广东深圳·二模）如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于点
C，点D是抛物线上位于直线 上方的一个动点．(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 ， ，若 ，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线 平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴
上是否存在点P，使得 是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
专训1．（2022·四川·岳池县教研室二模）如图，已知抛物线与x轴交于 ，B两点，顶点为 ，
E为对称轴上一点，D，F为抛物线上的点（点D位于对称轴左侧），且四边形 为正方形．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，求正方形 的面积；
(3)如图2，连接 ，与 交于点M，与y轴交于点N，若P为抛物线上一点，Q为直线 上一点，且
P，Q两点均位于直线 下方，当 是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P的坐标．
专训2．（2022·贵州毕节·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 与x轴分
别交于A、B两点，且点A在点B的左侧．
(1)求出点A、B的坐标．
(2)记抛物线的顶点为C，连接AC，BC，当△ABC为等腰直角三角形时，在抛物线上是否存在一点D，使
得 ？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
专训3．（2022·四川·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于
点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．(1)求B，C，D三点坐标；
(2)如图1，抛物线上有E，F两点，且EF//x轴，当△DEF是等腰直角三角形时，求线段EF的长度；
(3)如图2，连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点P，当△PBC面积最大时，点P坐标．
