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2024-2025 学年度第一学期期中考试
高一数学
（考试时间：120分钟，总分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解二次不等式得到集合 ，再由集合交集的定义得到结果.
【详解】解 得 ，即 ，
∴ .
故选：B
2. 函数 的最小值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本不等式的性质即可求解.
【详解】根据题意可知 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：D
3. 不等式 的解集是（ ）A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用 将分式不等式 转化成整式不等式求解.
【详解】 ，解得 或
∴不等式 的解集为 .
故选：A.
4. 已知 ,则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先解不等式 ，再根据不等式的解集即可得到答案.
【详解】因为 或 .
所以 是 的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题主要考查充分不必要条件，同时考查了二次不等式，属于简单题.
5. 已知函数 为奇函数，则 （ ）
A. 2 B. 1
C. 0 D.
【答案】B
【解析】【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义列式计算即得.
【详解】函数 的定义域为R，由函数 为奇函数，得 ，
即 ，
所以 .
故选：B
6. 关于 一元二次不等式 的解集为 ，则 （ ）
的
A. 1 B. C. 1或 D. 0.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的对应关系可得结果.
【详解】由题意得， 为方程 的根，
∴ ，解得 .
故选：B.
7. 函数 ，对 且 ， ，则实数a的取值范围为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用条件分析函数单调性，结合二次函数对称轴可得结果.
【详解】因为对 且 ， ，所以 在 上为增函数.
由 得二次函数开口向上，对称轴为直线 ，
∴ ，故 .
故选：C.
8. 记实数 的最小数为 若 则函数
的最大值为（ ）
A. 4 B. C. 1 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到 的图象，结合图像易
得函数 的最大值．
【详解】
的
如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数 图象，
而 的图象即是图中勾勒出的实线部分，
要求的函数 的最大值即图中最高点 的纵坐标.由 联立解得， ，故所求函数 的最大值为 ．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. ，
【答案】BC
【解析】
【分析】同一个函数的定义是既有相同的定义域又有相同的表达式.
【详解】A选项：定义域分别为： 和 ，定义域不同，所以不是同一个函数；
B选项：定义域分别为： 和 ，定义域相同，表达式分别是： 和 ，表达式相同，
所以是同一个函数；
C选项：定义域分别为： 和 ，定义域相同，表达式分别是： 和 ，表达式相同，所以是同
一个函数；
D选项：定义域分别为： 或 和 ，定义域不同，所以不是同一个函数；
故选：BC.
10. 已知函数 ，下面有关结论正确的有（ ）
A. 定义域为 B. 值域为C. 在 上单调递减 D. 图象关于原点对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合定义域的求法，基本不等式，以及函数单调性的定义和奇偶性的判定的方法，逐
项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数 有意义，则满足 ，
所以函数 定义域为 ，所以A正确；
对于B中，当 时，可得 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，所以 ；
当 时，可得 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，所以 ，
所以函数 的值域为 ，所以B正确；
对于C中，函数 在 上单调递减，所以C不正确；
对于D中，函数 定义域为 ，关于原点对称，
且满足 ，所以函数 为奇函数，
函数的图象关于原点对称，所以D正确.
故选：ABD.
11. 若 ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为4 B. 的最小值为8C. 的最小值为9 D. 的最小值为1
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式可得 ，利用换元法解不等式得 ，可得选项A错误；利用
可得选项B正确；由 得 ，结合基本不等式可得选项C正确；原式可变
形为 ，根据 可得选项D错误.
【详解】由 得， .
令 ，则 ，
∴ ，∴ ，当且仅当 时 取得最小值4，选项A错误.
，当且仅当 时， 取得最小值8，选项B正确.
由 得 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时 取得最小值9，选项C正确.
由 得 ，
∵ ，∴ ，选项D错误.
故选：BC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数 的定义域为________.
【答案】 且
【解析】
【分析】由定义域的定义可知：①分母不为0；②偶次根式被开方数为非负数，列出不等式解得范围即可.
【详解】∵ ，∴ 且 .
故答案为： 且 .
13. 已知函数 ，若 ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】构造奇函数，由奇函数的性质求 的值.
【详解】令 ，
定义域为： ，定义域关于原点对称，
则 ，
则 为奇函数，
∴
∴ ，∴ .
故答案为： .
14. 若命题“ ”为真命题，则实数 的取值范围是________.
【答案】【解析】
【分析】利用判别式法即可得到答案.
【详解】由题意得 ，
即 ，
则 ，解得 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ， ．
（1）当 时，求 和 ；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1） ， = ；
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据不等式求解集合 、 ，由集合的交、并、补运算即可求解；
（2）由题意得 是 真子集，讨论 为空集， 为非空集两种情况，再根据集合的包含关系求解.
【小问1详解】
时， ，
，所以可得 ，
则 ，所以 ，
或 ，所以 = ；
【小问2详解】
若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 是 的真子集，
若 ，即 ，则 满足题意，若 ，则 ，此时 且两等号不能同时取得，解得 ，
所以 ，
综上 的取值范围是 或 ．
16. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过 的部分 元/
超过 但不超过 的部分 元/
超过 的部分 元/
已知该城市对每户居民每月收取环卫服务费 元、污水处理费 元/ ，如果某户居民某月用水量为 ，
需徼用水总费用为 元.
（1）求 关于 的函数解析式；
（2）若该城市某户居民本月用水量为 ，求此户居民本月用水总费用；
（3）若该城市某户居民本月用水总费用为 元，求此用户本月用水量.
【答案】（1） ；
（2） 元；
（3） .
【解析】
【分析】（1）分段写出 关于 的解析式，再写成分段函数即可；
（2）将 代入 ，求解即可；
（3）由题意可知当 时， ，令 ，求解即可.
【小问1详解】解：当 时， ；
当 时 ；
当 时， .
所以 ；
【小问2详解】
解：把 ，代入 ，得 .
所以此户居民本月用水费用为 元.
【小问3详解】
解：当 时， ，
所以令 ，得 ，
为
所以此户居民本月用水量 .
（3）若该城市某户居民本月缴纳的用水总费用为50元，求此用户本月用水量.
17. 已知函数 ．
（1）根据函数单调性的定义证明函数 在区间 上单调递减；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）任取 ，作差 ，分析每一个因式的正负，进而得到 ，可判断单调性；
（2）根据第一问得到的函数单调性以及函数定义域可列式 ，解不等式即可得到答案.
【小问1详解】
任取 ，
则 ，
因为 ，则 ， ， ，
则 ，故 在 上单调递减.
【小问2详解】
由（1）得， 在 上单调递减，
所以， ，解得 ，
所以 ，即所求范围是 .
18. 已知二次函数 ．
（1）若函数 是偶函数，求实数k的值；
（2）若存在x使 成立，求k的取值范围；
（3）当 时，求 在区间 上的最小值．
【答案】（1）2 （2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义列出等式求解即可；（2）依题意可知对应方程 有两个不等的根，所以 ；
（3） 是对称轴为 开口向上的抛物线，该题属于定轴动区间类型，只需讨论对称轴在
里面还是外面即可知道 的单调性，进而知道 的最小值.
【小问1详解】
若函数 是偶函数，则 ，故有 ，
得 对任意 都成立,
所以 ，得
【小问2详解】
若存在 使 成立，则 ，
解得 或 ，所以k的取值范围是 ；
【小问3详解】
当 时， ，
为对称轴是 开口向上的抛物线，
因为 ，所以 ，
当 即 时， 在 单调递减，
；
当 即 时， 在 单调递增，
；当 即 时， 在 单调递减，则 单调递增，
；
综上所述，当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
19. 定义两种新运算“ ”与“ ”，满足如下运算法则：对任意的 ，有 ，
.设全集 且 ，
且 .
（1）求集合 ；
（2）求集合 ；
（3）集合 是否能满足 ？若能，求出实数 的取值范围；若不能，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3） 且
【解析】【分析】（1）当 时， 或 ，当 时， ，代入新定义计算即可得；
（2）当 ， ，代入新定义计算即可得；
（3）求出A的补集，根据 分 和 讨论，由此求得m的取值范围．
【小问1详解】
，
当 时， 或 ，此时 或 ；
当 时， ，此时 ，所以 ；
【小问2详解】
，
时， ，此时 ，即 ；
【小问3详解】
因为 ，当 时，即 ，
当 时，方程无实根， ，解得 ；
当 时，则有 ，即 且 且 ，
综上所述，实数m的取值范围是 且 .
