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专题 24.1 阴影面积
【例题精讲】
11．如图，点 、 、 在 上，若 ， ，则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
故选： ．
15．如图，在矩形 中， ， ，以点 为圆心， 长为半径画弧交
于点 ，连接 ，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是矩形， ，
， ，，
，
， ，
，
阴影部分的面积
．
故选： ．
35．如图，点 在 的直径 的延长线上，点 在 上， ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接 ．
， ，
．
，
．
．即 ，
是 的切线．
（2）解： ，
．
．在 中，
，
．
，
，
图中阴影部分的面积为： ．
【题组训练】
一．选择题（共15小题）
1．如图， 是圆 的弦，直径 ，垂足为 ，若 ， ，则四边形
的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接 ，， ，
， ，
，
在 中， ，
，
四边形 的面积 ．
故选： ．
2．如图，在 中，直径 ， 切 于 ， 交 于 ，若 ，则图
中阴影部分的面积为
A． B．2 C． D．1
【解答】解：连接 ，
直径 ， 切 于 ，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，．
故选： ．
3．如图， ， ， 的半径都是 ，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
阴影部分的面积 ．
故选： ．
4．如图，以 为直径，点 为圆心的半圆经过点 ，若 ，则图中阴影部
分的面积是A． B． C． D．
【解答】解： 为直径，
，
，
为等腰直角三角形，
，
和 都是等腰直角三角形，
， ，
．
故选： ．
5．如图，正六边形 的边长为6，以顶点 为圆心， 的长为半径画圆，则图中
阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【解答】解： 正六边形的外角和为 ，
每一个外角的度数为 ，
正六边形的每个内角为 ，
正六边形的边长为6，，
故选： ．
6．如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点 ，连接 ， ．如果 ，
，那么图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积 扇形 的面积 ，
故选： ．7．如图，在 中， ，以 为直径的 分别与 ， 交于点 ， ，
过点 作 ，垂足为点 ，若 的半径为 ， ，则阴影部分的面
积为
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，作 于 ，
在 中， ，
，
，
，
．
故选： ．
8．如图，在 中，点 为 的内心， ， ， ．则 的
面积是
A． B． C．2 D．4
【解答】解：过点 作 的延长线于点 ．
点 为 的内心， ，
，
，
则 ，
，， ，
，
的面积 ，
故选： ．
9．如图，正方形 的边 ， 和 都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分
的面积之差是
A． B． C． D．
【解答】解：如图：
正方形的面积 ；①
两个扇形的面积 ；②
② ①，得： ．
故选： ．10．如图， 为 的切线，切点为 ，连接 ， 与 交于点 ， 为 的
直径，连接 ．若 ， 的半径为2，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：过 点作 于 ，
为 的切线，
，
，
，
， ，
的半径为2，
， ，
，
图中阴影部分的面积为： ．
故选： ．
12．如图，点 、 、 、 都在边长为1的网格格点上，以 为圆心， 为半径画弧，
弧 经过格点 ，则扇形 的面积是A． B． C． D．
【解答】解：由题意，扇形的半径 ， ，
扇形 的面积 ．
故选： ．
13．三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点 为扇形的圆心，格点 ， ， 分别
在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形 的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ，
由勾股定理得： ，
由正方形的性质得： ，
所以扇形 的面积为： ，
故选： ．
14．如图，正六边形 的边长为2，以 为圆心， 的长为半径画弧，得 ，连接 ， ，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【解答】解： 正六边形 的边长为2，
， ，
，
，
过 作 于 ，
， ，
在 中，
，
，
同理可证， ，
，
，
图中阴影部分的面积为 ，
故选： ．二．填空题（共12小题）
16．如图，在 中，以点 为圆心， 的长为半径的圆恰好与 相切于点 ，交
于点 ，延长 与 相交于点 ．若 的长为 ，则图中阴影部分的面积为
．
【解答】解：连接 ，
是 的切线，
，
又 ，
是等腰直角三角形，
，
又 四边形 是平行四边形，
，
，
又 ，
，
，
的长为 ，
，解得： ，
．
故答案为： ．
17．如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心， 的长为半径
画弧交 于点 ，连接 ，则阴影部分的面积是 （结果保留 ．
【解答】解：过 点作 于点 ．
， ， ，
， ，
阴影部分的面积：
．
故答案为： ．
18．如图，在扇形 中， ，点 为 的中点， 交 于点 ，以点 为圆心， 的长为半径作 交 于点 ．若 ，则阴影部分的面积为
．
【解答】解：连接 、 ，
点 为 的中点，
， ，
为等边三角形，
，
．
故答案为： ．
19．如图，在 中， ， ， ，点 为 的中点，以点 为圆心作圆心角为 的扇形 ，点 恰在弧 上，则图中阴影部分的面积为
．
【解答】解：连接 ，
， ，
，
点 为 的中点，
， ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
．
．
故答案为 ．
20．如图，将矩形 绕点 沿顺时针方向旋转 到矩形 的位置， ，，则阴影部分的面积为 ．
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
，
，
由勾股定理得： ，
阴影部分的面积是 ，
故答案为： ．
21．如图，在半径 为2，圆心角为 的扇形内，以 为直径作半圆，交弦 于点
，连接 ，则图中阴影部分的面积是 ．
【解答】解：在 中， ，
是半圆的直径，
，
在等腰 中， 垂直平分 ， ，
为半圆的中点，
．故答案为 ．
22．如图， 是半圆 的直径，点 、 是半圆 的三等分点，若弦 ，则图中阴
影部分的面积为 ．
【解答】解：如图连接 、 、 ．
点 、 是半圆 的三等分点，
，
，
、 是等边三角形，
， ，
，
，
．
23．如图，矩形 的对角线 ， 交于点 ，分别以点 ， 为圆心， 长为
半径画弧，分别交 ， 于点 ， ．若 ， ，则图中阴影部分的面
积为 ．（结果保留
【解答】解： 四边形 是矩形，
， ， ,， ，
图中阴影部分的面积为： ，
故答案为： ．
24．如图， 是 的直径， 是 的弦，过点 的切线交 的延长线
于点 ，若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：连接 ，
过点 的切线交 的延长线于点 ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
阴影部分的面积 ，
故答案为： ．
25．如图，正方形 内接于 ， ， 分别与 相切于点 和点 ， 的延
长线与 的延长线交于点 ．已知 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：连接 ， ，
四边形 是正方形，
，
是 的直径， ，
， 分别与 相切于点 和点 ，，
四边形 是矩形，
，
矩形 是正方形，
， ， ，
，
是等腰直角三角形，
，
， ，
，
，
图 中 阴 影 部 分 的 面 积
，
故答案为： ．
26．如图，点 ， ， 是 上的点，连接 ， ， ，且 ，过点
作 交 于点 ，连接 ， ，已知 半径为2，则图中阴影面积为
．【解答】解： ，
，
，
，
．
故答案为： ．
27．如图，将 绕点 顺时针旋转 得到△ ，已知 ， ，则线段
扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．
【解答】解： 绕点 旋转 得到△ ，
△ ，
， ．
扫过的图形的面积 ，
扫过的图形的面积 ，
扫过的图形的面积 ．故答案为： ．
三．解答题（共8小题）
28．如图，正六边形 内接于 ， 是 的直径，连接 ，延长 ，过
作 ，垂足为 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）已知 ，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的切线；
（2）解： ，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积 ．
29．如图， 为 的直径，射线 交 于点 ，点 为劣弧 的中点，过点 作
，垂足为 ，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）连接 ， ，
是 的直径，
，即 ，
，
，
点 为劣弧 的中点，，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）连接 ， ，
， ，
，
点 为劣弧 的中点，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积 ，
，
，
，
即阴影部分的面积为： ．
30．如图， 是 的直径， 是 的切线，切点为 ， 交 于点 ，点 是
的中点．（1）试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 的半径为2， ， ，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）直线 与 相切．理由如下：
连接 、 ，如图，
是 的切线，
，
，
点 是 的中点， 点为 的中点，
，
， ，
，
，
，
在 和 中
，
，
，
，
为 的切线；
（2） 点 是 的中点，
，
，
图中阴影部分的面积 ．31．如图， 是 的直径， ，四边形 是平行四边形， 交 于
点 ，连接 并延长交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 ．
【解答】（1）证明：如图连接 ．
四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
是 的切线．
（2）解： ， ，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
是等边三角形，
，
，
，
在 中， ， ， ，
，
．
32．如图，以 的 边上一点 为圆心的圆，经过 、 两点，且与 边交于点
， 为 的下半圆弧的中点，连接 交 于 ，若 ．
（1）求证： 是 的切线：
（2）若 ， ，求 的半径；
（3）若 ， ，求阴影部分的面积．（结果保留根号）【解答】（1）证明：连接 、 ，如图，
为 的下半圆弧的中点，
，
，
，
，
而 ，
，
，
，
，即 ，
，
是 的切线；
（2）解：设 的半径为 ，则 ，
在 中， ，解得 ， （舍去），
即 的半径为6；
（3）解： ， ，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，在 中， ，
阴影部分的面积 ．
33．如图， 为 的直径， 是 上一点，过点 的直线交 的延长线于点 ，
，垂足为 ， 是 与 的交点， 平分 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接 ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，点 在圆 上， 为圆 的半径，
是圆 的切线；
（2）
在 中， ， ，
，
在 中， ，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
阴影部分的面积为 ．
34．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式海伦公式 （其中 ， ， 是三角形的三边长，
， 为三角形的面积），并给出了证明
例如：在 中， ， ， ，那么它的面积可以这样计算：
， ，
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九
韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在 中， ， ，
（1）用海伦公式求 的面积；
（2）求 的内切圆半径 ．
【解答】解：（1） ， ， ，
，
；
故 的面积 ；
（2） ，
，
解得： ，故 的内切圆半径 ．
