文档内容
专题 22.3 二次函数与面积问题
【例题精讲】
【例1】如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，抛物线 ，
经过点 ，点 ，且交 轴于另一点 ．
（1）直接写出点 ，点 ，点 的坐标及抛物线的解析式．
（2）在直线 上方的抛物线上有一点 ，求四边形 面积的最大值及此时点 的
坐标．
【解答】解：（1）令 ，得 ，
，
令 ，得 ，解得 ，
．
把 、 两点代入 得， ，解得 ，
抛物线的解析式为 ．
（2）过 点作 轴，与 交于点 ，如图1，设 ，则 ，
，
，
，
当 时，四边形 面积最大，其最大值为8，此时 的坐标为 ．
【例2】如图，已知抛物线 经过 ， 两点，与 轴相交于点 ，
点 为抛物线上一动点，过点 作 轴的垂线 ，交 轴于点 ，连接 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点 位于直线 上方时，连结 ， ， 的面积 能否取得最大值？若能，
请求出最大面积 ，并求出此时点 的坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）将点 ， 的坐标代入函数的表达式得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）能．
如图所示：连接 ，
设点 的坐标为 ，
则 ， ， ，
，
，
，
当 时， 的面积 有最大值，最大值为8，
此时 ，
的面积 最大值为8， ．【题组训练】
1．如图，二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，另一个交点为 ，
且与 轴交于点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求 的面积；
（3）该二次函数图象上是否存在点 ，使 与 的面积相等？若存在，请求出
点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把 代入 得 ，
解得 ，
抛物线解析式为 ；
（2）当 时， ，
解得 ， ，
，
当 时， ，
，
的面积 ；
（3）存在．
设 ，
与 的面积相等，，
即 ，
解方程 得 ， ，
此时 点坐标为 ， 或 ， ；
解方程 得 ， ，
此时 点坐标为 ；
综上所述， 点坐标为 ， 或 ， 或 ．
2．已知二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，求：
（1）点 、 、 的坐标；
（2） 的面积．
【解答】解：（1）令 ，则 ，
；
令 ，则 ，
解得： ， ，， ；
（2） ， ， ，
， ，
．
3．如图，抛物线 ．与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 ，直线
经过点 且与抛物线交于另一点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 是位于直线 上方的抛物线上的一个动点，连接 ， ，求 的面积
的最大值．
【解答】解：（1） 直线 经过点 ，
令 ，则 ，
，
，
将 ， 代入 得：
，解得： ，
抛物线的解析式为： ；
（2） ，
解得： ， ，
，
过点 作 轴，交 于 ，
设 ，则 ，
，
的面积 ，
当 时， 的面积最大，且最大值是 ．
4．如图，抛物线 与 轴正半轴交于 点，与 轴交于点 ，直线
过 、 两点．点 为抛物线顶点，连接 、 ．
（1）求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
（2）求 的面积．【解答】解：（1）令 ，则 ，
，
令 ，则求得 ，
，
把 、 的坐标代入 得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
，
顶点 的坐标为 ， ；
（2）作 轴，交 于点 ，
把 代入 得， ，
， ，
，
．5．已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ， 是线
段 上一点，过点 作 轴交 轴于点 ，交抛物线于点 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果点 的横坐标为2，点 是第一象限抛物线上的一点，且 和
的面积相等，求点 的坐标．
【解答】解：（1） 抛物线 经过点 和点 ，
，
解得： ，
该抛物线的表达式 ；
（2）如图，设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
点 的横坐标为2，
， ．
， ， ，
．
，
，
轴，
， ．
的面积为 ．
和 的面积相等，
的面积为2，
设 中 边上的高为 ，
，，
点 的纵坐标为1，
，
解得： （负数不合题意，舍去），
，
， ．
6．如图，抛物线 与 轴交于点 、 两点，与 轴交于点
．
（1）求出此抛物线和直线 的解析式；
（2）在直线 上方的抛物线上有一动点 ，求点 的横坐标 为何值时四边形
的面积最大？最大值是多少？并写出此时点 的坐标．
【解答】解：（1）将 、 ， 代入 中得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ．设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ．
（2）如图，作 轴，交 于点 ，
设 点坐标为 ，则 点坐标为 ．
，
．
当 时， 有最大值为8，此时 点坐标为 ．
7．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．直
线 与抛物线交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ．
（1）求抛物线的解析式与直线 的解析式；
（2）若点 是抛物线上的点且在直线 上方，连接 、 ，求 面积最大值；
（3）由（2）并求出点 的坐标．【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于 、 两点，
设抛物线的解析式为 ，
在抛物线上，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ，即 ，
直线 经过 、 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（ 2 ） 如 图 1 中 ， 过 点 作 轴 交 于 点 ． 设 ， 则
．，
的值最大值时， 的面积最大，
，
，
时， 的值最大，最大值为 ，此时 的面积的最大值为 ；
（3）由（2）可知， 时， 面积最大，
，
．
8．如图抛物线 交 轴于点 和点 ．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）若该抛物线 轴交于点 ，顶点为 ，点 ，在该抛物线上，求四边形
的面积．【解答】解：（1） 抛物线 交 轴于点 和点 ，
．
解得： ．
抛物线的函数表达式为 ；
（2） ，
．
令 ，则 ．
．
连接 ，过点 作 ，交 延长线于点 ，过点 作 于点 ，如图，， ，
， ，
， ．
四边形 的面积
．
9．如图，已知抛物线的顶点为 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求 的面积．
（3）设 是直线 上方该抛物线上除点 外的一点，且 与 的面积相等，求
点 的坐标．【解答】解：（1） 抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
此抛物线与 轴交于点 ，
．
．
此抛物线的解析式为 ．
即： ．
（2）过点 作 于点 ，设 交直线 与点 ，如图，
令 ，则 ．
解得： 或3．
， ．
．
设直线 的解析式为 ，，
解得： ．
直线 的解析式为 ．
， ，
，
， ．
．
．
的面积等于3．
（3）设点 的横坐标为 ，过点 作 于点 ，设 交直线 与点 ，如图，
是直线 上方该抛物线上除点 外的一点，
， ， ．
．
，
．
．．
．
与 的面积相等，
．
解得： 或2．
设 是直线 上方该抛物线上除点 外的一点， ，
．
．
10．如图，抛物线 ，与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），与
轴交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）抛物线上点 的横坐标为2，求四边形 的面积．
【解答】解：（1）令 ，得 ，
，
令 ，得 ，
解得 或 ，， ，
设直线 的解析式为： ，
把 ， 代入得 ，
解得 ，
直线 的解析式为： ；
（2）当 时， ，
，
连接 ，如图，
．
11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，
0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是二次函数图象上的一点．
（1）求二次函数和直线BC的解析式．
（2）若点P在直线BC的下方，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标．
（3）当S△PBC ＝ S△ABC 时，求点P的横坐标．【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入二次函数解析式，
则 ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y＝ ﹣ x﹣3；
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
则 ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；
（2）如图，作PD⊥x轴交BC于点D，PE⊥y轴，延长EP与过点B的x轴垂线交于
F，
设P点坐标为（m， ），则点D坐标为（m，m﹣3），
∴PD＝m﹣3﹣（ m2﹣ m﹣3）＝﹣ m2+ m，
S△PBC ＝S△PDC +S△PDB ＝ PD•PE+ PD•PF＝ PD•EF＝ PD•OB，
∴S△PBC ＝ （﹣ m2+ m）×3＝﹣ m2+ m＝﹣ （m﹣ ）2+ ，∴当m＝ 时，S△PBC 取最大值，
此时P点坐标为（ ，﹣ ）；
（3）∵S△ABC ＝ AB•OC＝ ×5×3＝ ，
∴S△PBC ＝ S△ABC ＝ × ＝ ，
设P（m， m2﹣ m﹣3），
由（2）知，PQ＝|﹣ m2+ m|，S△PBC ＝ （x
B
﹣x
C
）PQ＝ ×|﹣ m2+ m|，
∴ ×|﹣ m2+ m|＝ ，即|m2﹣3m|＝2，
当m2﹣3m＝2时，解得m＝ ；
当m2﹣3m＝﹣2时，解得：m＝1或m＝2，
∴点P的横坐标为 或 或1或2．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与坐标轴相交于 ， ，
三点，其中点 坐标为 ，点 坐标为 ，连接 ， ．动点 从点 出发，
在线段 上以每秒 个单位长度向点 做匀速运动；同时，动点 从点 出发，在线
段 上以每秒1个单位长度向点 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停
止运动．连接 ，设运动时间为 秒．
（1）求 ， 的值；
（2）在 ， 运动的过程中，当 为何值时，四边形 的面积最小，最小值为多少？【解答】解：（1）把 ， 代入
则 ，
解得： ．
（2） ， ，
抛物线解析式为 ，
当 时， ，
点坐标为 ，又 ，
等腰直角三角形，
，
由点 的运动可知： ，
过点 作 轴，垂足为 ，如图：
，即 ，又 ，
，
当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
， ，
．
当 时，四边形 的面积最小，最小值为4．
13．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，
， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点 ，使四边形 的面积最大，求出点 的坐
标．
【解答】解：（1） ， ， ，
，即 ，解得： ，
，
， ，
，
，
设抛物线解析式为 ，将 代入，
得： ，
解得： ，
，
该抛物线的解析式为 ；
（2）如图，过点 作 轴交 于点 ，
设直线 解析式为 ，将 ， 代入，
得： ，
解得： ，
直线 解析式为 ，
设 ，则 ，，
，
，
，
，
当 时，四边形 的面积最大，
此时点 的坐标为 ， ．
14．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，且
．直线 与抛物线交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 到 轴的距离为3．
（1）求抛物线的解析式与直线 的解析式．
（2）若点 是抛物线上的点且在直线 上方，连接 、 ，求当 面积最大时点
的坐标及该面积的最大值．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
抛物线解析式为 ，即 ；
抛物线的对称轴为 ，
点 到 轴的距离为3， ，
点 、 关于直线 对称，
，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 分别代入得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）过 点作 轴交直线 于 点，如图，
设 ，则 ，
，
的面积 ，
，
当 时， 的面积有最大值，最大值为 ，
此时 点坐标为 ．15．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，顶
点为 ．
（1）直接写出抛物线的解析式、对称轴及顶点 的坐标．
（2）若直线 与抛物线交于 、 两点，求点 的坐标及 的面积．
【解答】解：（1）把 和 两点代入抛物线 中得：
，解得： ，
抛物线的解析式为： ，
对称轴为： ；顶点 的坐标是： ．
（2）把 代入到直线 中，得： ，
直线 是 ．
解方程 ，得 ， ．
当 时，
点 ， ．
设抛物线的对称轴与 交于点 ，则点 的横坐标为1，
代入 得 ，
点 ．．
．
16．抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，已知点 坐标为
．
（1）求实数 的值；
（2）若点 是抛物线在第一象限内图象上的点，求 面积的最大值，及此时点 的
坐标．
【解答】解：（1）将点 代入 得 ，
解得 ；
（2）抛物线解析式为 ，
当 时， ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
过点 作 轴，交直线 于点 ，如图，
设 ，则 ，
，
，
时， 有最大值，
此时 点坐标为 ， 面积的最大值为1．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交
于点 ．已知 ， ，点 是抛物线上的一个动点．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）当 的面积为8时，求点 的坐标．【解答】解：（1） 抛物线 经过点 ， ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2） 抛物线 与 轴交于 ， 两点，
，
， ，
点 ，
，
设点 ，
的面积为8，
，
或 ，
， ， ，
点 坐标为 ， 或 ， 或 ．
18．如图，关于 的二次函数 的图象与 轴交于点 和点 ，与
轴交于点 ，作直线 ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）求二次函数的函数表达式；
（3）在直线 的下方，抛物线上是否存在一点 ，使 面积最大？若存在．请求出点 的坐标．
【解答】解：（1）设直线 的函数表达式为 ，则
把 代入 ，得 ．
点 坐标是
把 和 代入 中，得到 ．
解得 ．
；
（2）把 和 代入 ，得到 ，
解得 ．
二次函数的表达式为： ；
（3）存在，理由如下：
要使 面积最大，则经过 点的直线与直线 平行，与抛物线只有一个交点，
故设这条直线的解析式为 ，
则 的△ ，得 ，方程的解为 ．
把 代入一次函数 ，得 ．
则 点坐标为 ， ．
