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专题 22.2 二次函数的应用
目录
一般式求解析式.................................................................................................................................1
两点式求解析式.................................................................................................................................3
顶点式求解析式.................................................................................................................................5
二次函数与x轴的交点问题.............................................................................................................7
二次函数与最值...............................................................................................................................10
二次函数与销售问题.......................................................................................................................11
二次函数应用题...............................................................................................................................15
二次函数与面积最值.......................................................................................................................18
一般式求解析式
一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)
【例1】二次函数 的图象经过 ， 两点．求这个二次函数的解析式并
写出图象的对称轴和顶点．
【解答】解：把 ， 代入 中，
得 ，
② ①，
得 ，
解得： ，
把 代入①中，
得 ，
解得： ，，
这个二次函数的解析式 ，
二次函数 对称轴是直线 ，
由二次函数的顶点坐标公式 ， 可得，
二次函数 顶点坐标： ， ，
即 ．
二次函数的解析式 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
【变式训练1】已知抛物线 经过 ， ， 三点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）利用配方法或公式法求该抛物线的顶点坐标和对称轴．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为 ．
把 代入得 ，
解得 ．
故该抛物线解析式为： 或 ．
（2） ．
抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ．
【变式训练2】已知二次函数 的图象经过 、 ， 三点．
（1）求该函数解析式；
（2）用配方法将该函数解析式化为 的形式．【解答】解：（1） 二次函数 的图象经过 、 ， 三点，
，
解得 ，
该函数解析式为 ；
（2） ．
【变式训练3】已知：二次函数的图象经过点 ， 和 ．
（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点 的坐标；
（2）设点 ， ， 在该抛物线上，若 ，直接写出 的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为 ，
把 ， 和 代入，
得 ，解得： ，
抛物线解析式为 ，
，
顶点 的坐标为 ， ；
（2） 抛物线 的对称轴为直线 ，
关于直线 的对称点为 ， ，， ， 在该抛物线上，且 ，
．
两点式求解析式
交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)
1 2
【例2】已知二次函数 的图象经过点 、 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1） 二次函数 的图象经过点 、 ．
，
，
二次函数的解析式为： ；
（2） ，
抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
【变式训练1】已知：抛物线 经过 、 两点，顶点为 ．求：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 ，
所以 ；（2）因为 ，
则 点坐标为 ，
所以 的面积 ．
【变式训练2】二次函数的图象经过 ， ， ， 三点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求函数顶点的坐标；
（3）当 时，直接写出 的取值范围．
【解答】解：（1） 二次函数的图象经过 ， ， ， 三点，
设二次函数的解析式为 ，
把 代入得 ，
解得： ．
抛物线解析式为 ；
（2） ，
二次函数顶点坐标为 ；
（3） ，
抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
当 时，函数有最大值 ，
把 代入 得， ，
当 时， 的取值范围是 ．
【变式训练3】如图，抛物线分别经过点 ， ， ．（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求当 时，自变量 的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
所以抛物线的解析式为 ，
即 ；
（2）把 代入 得， ，
解得 或 ，
交点为 ， ，
抛物线 开口向下，
当 时，自变量 的取值范围为 ．
顶点式求解析式
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
【例3】已知二次函数的图象以点 为顶点，且过点 ．
（1）求该函数的解析式；（2）直接写出 随 的增大而增大时自变量 的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
所以抛物线解析式为 ，即 ；
（2） 抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
随 的增大而增大时自变量 的取值范围是 ．
【变式训练1】已知某二次函数的图象的顶点为 ，且过点 ．
（1）求此二次函数的关系式．
（2）判断点 是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
【解答】解：（1）由顶点 ，可设抛物线为： ，
将点 代入上式可得： ，
解得 ，
所以二次函数的关系式 ．
（2）点 不在这个二次函数的图象上，理由如下：
把 代入 得， ，
点 不在这个二次函数的图象上．
【变式训练2】已知抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）直接写出该抛物线的开口方向及对称轴．
【解答】解：（1） 抛物线顶点坐标 ，
设抛物线解析式为 ，抛物线经过点 ，
，
解得： ，
则该抛物线解析式为 ；
（2） 抛物线解析式为 ，
该抛物线的开口向上，对称轴为直线 ．
【变式训练3】已知抛物线 的对称轴为直线 ，且过点 ．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）写出抛物线的开口方向及顶点坐标．
【解答】解：（1） 抛物线 的对称轴是直线 ，
，
抛物线解析式为 ，
抛物线过 ，
，解得 ，
抛物线解析式为 ；
（2） 抛物线为 ，
抛物线的开口向下，顶点为 ．
二次函数与x轴的交点问题
判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
二次函数y＝
ax2＋bx＋
a＞0
c(a≠0)与x轴的
交点a＜0
一元二次方程ax2＋bx 有两个不相等 有两个相等的
没有实数根
＋c＝0的实数根 的实数根x，x 实数根x＝x
1 2 1 2
【例4】抛物线 与 轴只有一个公共点，则 的值为
A． B． C． D．4
【解答】解： 抛物线 与 轴只有一个公共点，
方程 有两个相等的实数根，
△ ，
．
故选： ．
【变式训练1】二次函数 与 轴有两个不同的交点， 的值可以是
A． B． C． D．
【解答】解：令 ，则△ ，
二次函数图象与 轴由两个不同交点，
，
，即 或 ．
故选： ．
二次函数 的图象与 轴交点的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【解答】解： ，二次函数 的图象与 轴有两个不同交点，
故选： ．
【变式训练2】二次函数 的图象与 轴的交点个数是
A．2个 B．1个 C．0个 D．不能确定
【解答】解：由二次函数 ，
知 ， ， ，
，
，
抛物线与 轴只有两个公共点．
故选： ．
【变式训练3】已知二次函数 与 轴有交点，则 的取值范围是
A． B． C． 且 D． 且
【解答】解：令 ，
则△ ，
当 时，即 时图象与 轴有交点，
，
且 ，
故选： ．
【例5】已知二次函数 的图象与 轴只有一个公共点，则 的值为
A．4 B．2 C．0 D．【解答】解： 二次函数 的图象与 轴只有一个公共点，
△ ，
解得 ．
故选： ．
【变式训练1】若抛物线 与 轴只有一个交点，则 的值为
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解： 抛物线 与 轴只有一个交点，
△ ，
解得， ，
故选： ．
【变式训练2】已知抛物线 是常数）与 轴只有唯一的交点，则
的值为
A． B．1 C． 或1 D． 或7
【解答】解： 抛物线 是常数）与 轴只有唯一的交点，
△ ，
， ．
的值为 或
故选： ．
二次函数与最值
【例6】已知二次函数 ，当 时，函数 的最大值与最小值的差为
A．4 B．5 C．8 D．9
【解答】解： 二次函数 ，该函数图象开口向上，对称轴是直线 ，
， ， ，
当 时，该函数取得最大值，此时 ，
当 时，该函数取得最小值，此时 ，
，
当 时，函数 的最大值与最小值的差为9，
故选： ．
【变式训练1】已知二次函数 ，当 时， 有最小值7，最大值11，
则 的值为
A．3 B．9 C． D．
【解答】解： 二次函数 ，
该二次函数的图象的对称轴为直线 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时，函数的最值为 和 ，
当 时， 有最小值7，最大值11，
，即 ，
，
故选： ．
【变式训练2】已知二次函数 ，当 时，则函数 的最小值和最大值为
A． 和5 B． 和5 C． 和 D． 和5【解答】解： 二次函数 ，
该函数图象开口向上，当 ，该函数取得最小值 ，
， ，
当 时，该函数取得最小值 ；当 时，该函数取得最大值，此时 ；
故选： ．
【变式训练3】已知二次函数 ，关于该函数在 的取值范围内，下列
说法正确的是
A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值
C．有最大值4，有最小值 D．有最大值5，有最小值
【解答】解： 二次函数 ，
该函数的对称轴是直线 ，函数图象开口向下，
当 时， 时取得最大值5，当 时，取得最小值 ，
故选： ．
二次函数与销售问题
【例7】某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了 6600元，第二批花了8000元，
第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调
查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于
货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最
大利润是多少？
【解答】解：（1）设第二批每个挂件的进价为 元，则第一批每个挂件的进价为 元，
根据题意可得， ，
解得 ．
经检验， 是原分式方程的解，且符合实际意义，
．第二批每个挂件的进价为40元．
（2）设每个售价定为 元，每周所获利润为 元，
根据题意可知， ，
，
当 时， 随 的增大而减小，
，
，
当 时， 取最大，此时 ．
当每个挂件售价定为58元时，每周可获得最大利润，最大利润是1080元．
【变式训练1】2022年广西雨水增多，种植荔枝的果农损失严重，为了增加农民收入，助
力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行荔枝种植和销售，已知荔枝的种植成本为 8元 ，
经市场调查发现，今年端午节期间荔枝的销售量 （单位： 与销售单价 （单位：元
满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求 与 的函数关系式；
（2）当销售单价为30元 时，销售荔枝获得的利润是多少元？
（3）求端午节期间销售荔枝获得的最大利润．【解答】解：（1）当 时，设 ，
则 ，解得： ，
当 时， ，
当 时， ，
．
（2）当 时， ，
当荔枝的销售单价定为30元 千克时，荔枝的销售量为126千克；
（3）设利润为 ，则：
当 时， ，
开口向下，对称轴为直线 ，
当 时， 随 的增大而增大，
时， ，
当 时， ，
随 的增大而增大，
时， ，
，
最大利润为3840元．
【变式训练2】某工厂开发生产一种新产品，设生产的产品数量为 （件 ．总销售额为
（元 ，且 与 之间满足正比例函数关系，当 时， ；总成本为 （元 ， 与
之间关系满足下表．1 2 3 4
产品数量 （件
15025 15050 15075 15100
总成本 （元
（1）分别求出 、 与 之间的函数关系式；
（2）设工厂的总利润为 （元 ，求 与 的函数关系式；
（3）至少生产并销售多少件产品后，工厂才不会亏损．
【解答】解：（1） 与 之间满足正比例函数关系，当 时， ；
，
设 与 之间关系为 ，将 ， 代入得：
，
解得 ，
；
答： ， ；
（2）根据题意得：
；
答： ；
（3）当 ，即 时，工厂才不会亏损，
解得 ，
答：至少生产并销售1000件产品后，工厂才不会亏损．
【变式训练3】东平湖景区在2021年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2023
年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；
（2）景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每
杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30
杯，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠
又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？【解答】解：（1）设景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率是 ，
根据题意得： ，
解得 ，
答：景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率是 ；
（2）设每杯售价定为 元，
根据题意得： ，
解得 或 ，
让顾客获得最大优惠，
取20，
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均
每天6300元的利润额．
二次函数应用题
【例8】如图，要建一个矩形仓库 ，一边靠墙（墙长 ，并在 边上开一道
宽的门，现在可用的材料为 长的木板．
（1）若仓库的面积为150平米，求 ．
（2）当仓库的面积最大时，求 ，并指出仓库的最大面积．
【解答】解：（1）设 的长为 ，则 ，
根据题意得， ，
解得： ， ，
当 时， ，当 时， （不合题意舍去），
；
（2）设仓库的面积为 平方米，根据题意得， ，
， ，
当 时， ，
答：当 时，仓库的最大面积为200平方米．
【变式训练1】为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在
校园里利用围墙（墙长 和 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数
学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据
设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 的水池，
且需保证总种植面积为 ，试分别确定 、 的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问 应设计为多长？此时
最大面积为多少？
【解答】解：（1） ，
Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为 ，
设水池的长为 ，则水池的面积为 ，
，
解得 ，
，
，即 的长为 、 的长为 ；
（2）设 长为 ，则 长度为 ，
总种植面积为 ，
，
当 时，总种植面积有最大值为 ，
即 应设计为 总种植面积最大，此时最大面积为 ．
【变式训练2】如图，学校要用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长
为16米．
（1）若矩形 的面积为144平方米，求矩形的边 的长．
（2）要想使花圃的面积最大、 边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
【解答】解：（1）设 为 米，则 米，
由题意得： ，
解得： ， ，
墙长为16米，36米的篱笆，
， ，
，
，
，
答：矩形的边 的长为12米；
（2）设 为 米，矩形的面积为 平方米，则 米，
，，且 ，故抛物线开口向下，
当 时， 有最大值是160，
答： 边的长应为10米时，有最大面积，且最大面积为160平方米．
【变式训练3】如图，某农户准备围成一个长方形养鸡场，养鸡场靠墙 米），
另三边利用现有的36米长的篱笆围成，若要在与墙平行的一边开一扇2米宽的门，且篱笆
没有剩余．
（1）若围成的养鸡场面积为120平方米，则这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边
各是多少米？
（2）这个养鸡场的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．
【解答】解：（1）设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是 米，则与墙平行的边长是
．即 米．
根据题意得： ，
整理，得 ，
解得 ， ．
当 时， ，符合题意．
当 时， ，符合题意．
答：这个长方形养鸡场与墙垂直的边长为15米，则与墙平行的边长为6米．
（2）存在，理由如下：
根据（1）中条件可知， ，，
当 时， 的最大值为 ，
此时 ，符合题意，
当这个长方形养鸡场与墙垂直的边长为 米，则与墙平行的边长为17米时，面积的最
大值为 平方米．
二次函数与面积最值
【例9】如图，抛物线 ．与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 ，直线
经过点 且与抛物线交于另一点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 是位于直线 上方的抛物线上的一个动点，连接 ， ，求 的面积
的最大值．
【解答】解：（1） 直线 经过点 ，
令 ，则 ，
，
，
将 ， 代入 得：，
解得： ，
抛物线的解析式为： ；
（2） ，
解得： ， ，
，
过点 作 轴，交 于 ，
设 ，则 ，
，
的面积 ，
当 时， 的面积最大，且最大值是 ．
【变式训练1】如图，已知抛物线 与直线 的一个交点 在 轴上、
另一交点为点 ，直线 与 轴交于点 ，抛物线的对称轴为直线 ，交 轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是抛物线上 、 之间的一点，连接 、 ，当 面积最小时，求点
的坐标．
【解答】解：（1）令 ，根据题意得： ．
抛物线的对称轴为直线 ，
．
解得 ．
抛物线解析式为 ；
（2）联立方程组 ，
解得 ， ．
， ．
设 ， ．
，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
．
令 时， ，解得 ．
．
．
．
，
开口向上．
，
当 时， ，故 ．
【变式训练2】如图，抛物线过点 、 、 ，连结 、 ，点 以每秒
1个单位长的速度从点 运动到点 ．同时点 以相同的速度从点 出发沿着射线 运
动，点 到达点 时 、 两点同时停止运动，设 点运动时间为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 运动过程中， 的面积为 ．求 与 的函数关系，并求出 的最大值．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 ，，
解得 ，
；
（2）过点 作 轴交于 点，过 作 作 轴交于 点，
，
，
，
，
， ，
当 时， ，
，
当 时， 有最大值 ；
当 时， ，
，
当 时， 有最大值2；
综上所述： ； ； 的最大值为21．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度 总值约为2.4千亿元人民币，若
我市第三季度 总值为 千亿元人民币，平均每个季度 增长的百分率为 ，则 关
于 的函数表达式是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意得，
关于 的函数表达式是： ．
故选： ．
2．已知 的图象如图所示，对称轴为直线 ．若 ， 是一元二次
方程 的两个根，且 ， ，则下列说法正确的是A． B． C． D．
【解答】解： ， 是一元二次方程 的两个根，
、 是抛物线与 轴交点的横坐标，
抛物线的对称轴为直线 ，
，即 ，故选项 错误；
， ，
，
解得： ，故选项 正确；
抛物线与 轴有两个交点，
，故选项 错误；
抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
，
，故选项 错误；
故选： ．
3．将二次函数 在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线 与这个新图象有4个交点，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，过点 的直线 与新图象有三个公共点，将直线向下平移
到恰在点 处相切，此时与新图象也有三个公共点，
令 ，解得： 或6，即点 坐标 ，
将一次函数与二次函数表达式联立得： ，整理得： ，
△ ，解得： ，
当一次函数过点 时，将点 坐标代入： 得： ，解得： ，
综上，直线 与这个新图象有4个公共点，则 的值为 ；
故选： ．
4．在求解方程 时，先在平面直角坐标系中画出函数 的
图象，观察图象与 轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析
图中的信息，方程的近似解是A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：由图象可知，抛物线 与 轴的交点接近 和 ，
方程 的近似解是 ， ，
故选： ．
5．若二次函数 在 时的最大值为5，则 的值是
A． 或6 B． 或6 C． 或6 D． 或
【解答】解： ，
抛物线开口向下，抛物线的对称轴为 ，
①当 ，即 时，当 时，函数最大值为5，
，
解得： ；
②当 ，即 时，当 时，函数最大值为5，
，解得： ．
③当 ，即 时，当 时，函数最大值为5，
，
解得 （舍去）或 （舍去），
综上所述， 或 ，
故选： ．
6．已知抛物线 的顶点为 ，有下列结论：
①当 时，抛物线与直线 没有交点；
②若抛物线与 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点 与 之间；
③若点 在点 ， ， 所围成的三角形区域内（包括边界），则 ．
其中，正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由 ，消去 得到， ，
△ ， ，
△的值可能大于0，
抛物线与直线 可能有交点，故①错误．
抛物线与 轴有两个交点，
△ ，
，
抛物线经过 ，且 时， ，
抛物线与 轴一定有一个交点在 与 之间．故②正确，
抛物线的顶点在点 ， ， 围成的三角形区域内（包括边界），且 ，
解得， ，故③正确，
故选： ．
7．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度 与水
平距离 之间的关系如图所示，点 为落地点，且 ， ，羽毛球到达
的最高点到 轴的距离为 ，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为
A． B． C． D．
【解答】解：由已知得： ， ，抛物线对称轴为直线 ，
设抛物线解析式为 ，
，
解得 ，
抛物线解析式为 ；
令 得 ，羽毛球到达最高点时离地面的高度为 ，
故选： ．
8．已知二次函数 在 时， 取得的最大值为15，则 的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： 二次函数 ，
抛物线的对称轴为 ，顶点 ，
当 时， ，
当 时， ，
解得 或 ，
当 时， 的最大值为15，
，
故选： ．
二．填空题（共4小题）
9．二次函数 最小值为 ．
【解答】解：根据二次函数的性质可知，二次函数 最小值为 ，
故答案为： ．
10．已知关于 的一元二次方程 的两个根分别是 1 和 ，若二次函数
与 轴有两个交点，其中一个交点坐标是 ，则另一个交点坐
标是 ．
【解答】解： 关于 的一元二次方程 的两个根分别是1和 ，
抛物线 与 轴的两个交点为 ， ，抛物线 的对称轴为直线 ，
二次函数 与 轴的一个交点坐标是 ，
函数 与直线 的一个交点的横坐标为4，
函数 与直线 的另一个交点的横坐标为 ，
次函数 与 轴的另一个交点坐标是 ，
故答案为： ．
11．如图，二次函数 的部分图象与 轴的交点为 ，它的对称轴为直线
，则下列结论中：① ；② ；③ ；④方程 的
其中一个根在2，3之间，正确的有 ①②④ （填序号）．
【解答】解： 二次函数 的部分图象与 轴的交点为 ，
，故①正确；
抛物线的对称轴为直线 ，
，
，
，故②正确；由图象可知，当 时， ，
，故③错误；
抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点在 ，0之间，
与 轴的另一个一个交点在2，3之间，
方程 的其中一个根在2，3之间，故④正确，
故答案为：①②④．
12．已知抛物线 的图象与 轴分别交于点 ， ，则关于 的
方程 的根为 ， ．
【解答】解：根据题意知，该抛物线解析式是 ，
关于 的方程 ．
或 ，
， ．
故答案是： ， ．
三．解答题（共2小题）
13．已知抛物线 与 轴交于 、 两点与 轴交于点 ，顶
点为 ．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）将抛物线 绕原点 旋转 后得到抛物线 ， 的顶点为 ，点 为 上的
一点，当△ 的面积等于 的面积时，求点 的坐标．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于 、 两点，
，解得： ．抛物线 的表达式为： ；
（2） ，
，
将抛物线 绕原点 旋转 后得到抛物线 ， 的顶点为 ，
，
抛物线 的解析式为 ．
如图，在坐标系中画出抛物线 的图象，
当 时， ，
，
、 ，
，
，
过点 作 轴，交 于 ，， ，
直线 为 ，
设点 ，则 ， ，
，
，
△ 的面积等于 的面积，
．
解得： ．
当 时， ，
当 时， ，
， 或 ， ．
14．设二次函数 是常数）．
（1）当 时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）试判断二次函数图象与 轴的交点情况；
（3）设二次函数的图象与 轴交于点 ，当 时，求 的最大值．
【解答】解：（1）当 时，二次函数 ．
该二次函数图象的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
（2）令 ，
△ ，
该一元二次方程无解，二次函数图象与 轴无交点；
（3）令 ，
，
函数的对称轴为直线 ，
，
当 时， 随 的增大而减小；
当 时， 随 的增大而增大，
当 时， ；
当 时， ，
当 时， ．
的最大值为10．
