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第 05 讲 等边三角形的性质和判定
知识点1：等边三角形的概念和性质
知识点2：等边三角形的判定
知识点3：含30°的直角三角形
1. 等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.
注意：
（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直
角）.
180A
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ 2 .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一
定是等边三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高
线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
（2）三个角都是60°
【题型1：利用等边三角形的性质求边长】
【典例 1】如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
若BE=2，AE=8，则CE的长是（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【变式1】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，连接
EB、EC，若∠EBC=45°,BC=6，则ED等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】如图，等边△ABC的边长为2，点D、E分别在边AB、BC上（不与△ABC的
顶点重合），将△BDE沿DE翻折，点B落在点F处，则三个阴影三角形的周长和为
（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【变式3】如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM=10，则DE+DF=
（ ）
A．5 B．10 C．8 D．6【题型2：利用等边三角形的性质求角度】
【典例2】如图，△ABC是等边三角形，E为BC上一点，在AB上取一点D，使AD=AE，
且∠AED=65°，则∠EAC的度数是（ ）
A．10° B．20° C．15° D．5°
【变式1】如图，等边△ABC的顶点A、B分别在直线a，b上，且a∥b，若∠2=80°，
则∠1的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【变式2】如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的中线，点E在AC边上，连接DE，若
AD=AE，则∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．25° C．10° D．15°
【变式3】如图，在等边三角形ABC中，BD=CE，AD于BE相交于点P，则∠APE的度
数是（ ）A．80° B．45° C．60° D．70°
（1）三个角相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【题型3：等边三角形的判定】
【典例3】下列条件中，能判定△ABC为等边三角形的是（ ）
A．∠A=60° B．∠B+∠C=120°
C．∠B=∠C D．∠B=60°,AB=AC
【变式1】下列条件不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A=∠B=∠C B．AB=BC,∠A=∠C
C．AB=BC,∠B=60° D．AB=BC,AC=BC
【变式2】 若
△ABC 的三边长a，b，c满足(a−b) 2+∣b−c∣=0
，则
△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定
【变式3】如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，AD⊥BC．若添加一个条件可以证
明△ABC是等边三角形，则这个条件可以是（ ）
A．∠B=60° B．∠BAD=30° C．AB=BC D．以上都可以【题型4：等边三角形的判定与性质】
【典例4】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且
AD=AB，AC=4，∠EDF=60°，∠EDF的两边分别交AB，AC于点E，F，
AF=1．
(1)求证：△ABD是等边三角形．
(2)求AE的长．
【变式1】如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线
段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，
交AE于点P，连接MN．
(1)求证：AE=BD；
(2)求∠APD的度数；【变式2】如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=20°，AD平分∠BAC，交BC于点D，
过点D作DE∥AB，交AC于点E．
(1)求∠ADC的度数．
(2)若△ADC与△EDC的周长分别为11和9，求DE的长．
【变式3】如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE
、BD相交于点O，连接DE．
(1)求证：△CDE是等边三角形；
(2)若AO=12，求OE的长．含30°角的直角三角形的性质
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【题型5：含30°角的直角三角形的性质】
【典例5】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，则AB的长为（ ）
A．30 B．15 C．12 D．10
【变式1】如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端
点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=52cm，且与闸机侧立面夹角
∠PCA=∠QDB=30∘，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．62 B．54 C．64 D．74
【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD⊥AB于点D，且BD=2，
则AD= ．【变式3】某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知∠A=150°，
这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元．
一、单选题
1．已知等腰三角形的一边长为5，且其有一个内角的度数为60°，则该等腰三角形的周长
是（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
2．如图，一辆货车为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知∠ACB=90°，
∠BAC=30°，BC=1.6m，则AB的长为（ ）m．
A．1.6 B．0.8 C．3.2 D．2.8
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，∠B=90°．若AC=2，则AB的长为（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
24．如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，∠BAC=30°，则缆车从
点A到点B的过程中竖直上升的高度（BC的长）为（ ）
A．60米 B．45米 C．30米 D．15米
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB,D为垂足，DE交BC
于点E，若BE=10，则AC的长为（ ）
A．5 B．5❑√3 C．10 D．10❑√3
6．如图，在等边三角形△ABC中，E为AB上一点，过点E的直线交AC于点F，交BC延
长线于点D，作EG⊥AC垂足为G，如AE=CD,AB=6，则GF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为点E，
连接AD，若AD平分∠CAB，CD=2，则BD的长为 ．
8．在△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=60°，则BC= cm．9．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，
∠ECD=20°，则∠ABE= °．
10．已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点
B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的
度数为 ．
三、解答题
11．如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且AD=CE，求∠BOD
的度数．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)尺规作图：过点C作斜边AB边上的高CD，垂足为D；（不写作法，只保留作图痕
迹）；
(2)在（1）的条件下，若∠A=30°,BC=6，求BD的长．
13．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，
(1)求证：BC=3AD．
(2)若AB=6，AD=4，求△ABC的面积．
14．如图，在等边△ABC中，点D、E在边BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE交于
点F．
(1)求证：△ABD≌△BCE；
(2)过点A作AG⊥BE，求线段AF与GF的数量关系．
15．如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等边三角形ABD、等边三角形AEC，BE
和DC相交于点M．(1)求证：BE=DC．
(2)求∠DME．
