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专题 22.2 二次函数的应用
目录
一般式求解析式.................................................................................................................................1
两点式求解析式.................................................................................................................................2
顶点式求解析式.................................................................................................................................4
二次函数与x轴的交点问题.............................................................................................................5
二次函数与最值.................................................................................................................................6
二次函数与销售问题.........................................................................................................................7
二次函数应用题.................................................................................................................................9
二次函数与面积最值.......................................................................................................................11
一般式求解析式
一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)
【例1】二次函数 的图象经过 ， 两点．求这个二次函数的解析式并
写出图象的对称轴和顶点．
【变式训练1】已知抛物线 经过 ， ， 三点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）利用配方法或公式法求该抛物线的顶点坐标和对称轴．【变式训练2】已知二次函数 的图象经过 、 ， 三点．
（1）求该函数解析式；
（2）用配方法将该函数解析式化为 的形式．
【变式训练3】已知：二次函数的图象经过点 ， 和 ．
（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点 的坐标；
（2）设点 ， ， 在该抛物线上，若 ，直接写出 的取值范围．
两点式求解析式
交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)
1 2
【例2】已知二次函数 的图象经过点 、 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标．【变式训练1】已知：抛物线 经过 、 两点，顶点为 ．求：
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积．
【变式训练2】二次函数的图象经过 ， ， ， 三点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求函数顶点的坐标；
（3）当 时，直接写出 的取值范围．
【变式训练3】如图，抛物线分别经过点 ， ， ．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求当 时，自变量 的取值范围．顶点式求解析式
顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
【例3】已知二次函数的图象以点 为顶点，且过点 ．
（1）求该函数的解析式；
（2）直接写出 随 的增大而增大时自变量 的取值范围．
【变式训练1】已知某二次函数的图象的顶点为 ，且过点 ．
（1）求此二次函数的关系式．
（2）判断点 是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
【变式训练2】已知抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）直接写出该抛物线的开口方向及对称轴．【变式训练3】已知抛物线 的对称轴为直线 ，且过点 ．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）写出抛物线的开口方向及顶点坐标．
二次函数与x轴的交点问题
判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
a＞0
二次函数y＝
ax2＋bx＋
c(a≠0)与x轴的
交点
a＜0
一元二次方程ax2＋bx 有两个不相等 有两个相等的
没有实数根
＋c＝0的实数根 的实数根x，x 实数根x＝x
1 2 1 2
【例4】抛物线 与 轴只有一个公共点，则 的值为
A． B． C． D．4
【变式训练1】二次函数 与 轴有两个不同的交点， 的值可以是
A． B． C． D．
二次函数 的图象与 轴交点的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个【变式训练2】二次函数 的图象与 轴的交点个数是
A．2个 B．1个 C．0个 D．不能确定
【变式训练3】已知二次函数 与 轴有交点，则 的取值范围是
A． B． C． 且 D． 且
【例5】已知二次函数 的图象与 轴只有一个公共点，则 的值为
A．4 B．2 C．0 D．
【变式训练1】若抛物线 与 轴只有一个交点，则 的值为
A． B．0 C．1 D．2
【变式训练2】已知抛物线 是常数）与 轴只有唯一的交点，则
的值为
A． B．1 C． 或1 D． 或7
二次函数与最值
【例6】已知二次函数 ，当 时，函数 的最大值与最小值的差为
A．4 B．5 C．8 D．9
【变式训练1】已知二次函数 ，当 时， 有最小值7，最大值11，
则 的值为
A．3 B．9 C． D．
【变式训练2】已知二次函数 ，当 时，则函数 的最小值和最大值为A． 和5 B． 和5 C． 和 D． 和5
【变式训练3】已知二次函数 ，关于该函数在 的取值范围内，下列
说法正确的是
A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值
C．有最大值4，有最小值 D．有最大值5，有最小值
二次函数与销售问题
【例7】某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了 6600元，第二批花了8000元，
第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调
查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于
货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最
大利润是多少？
【变式训练1】2022年广西雨水增多，种植荔枝的果农损失严重，为了增加农民收入，助
力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行荔枝种植和销售，已知荔枝的种植成本为 8元 ，
经市场调查发现，今年端午节期间荔枝的销售量 （单位： 与销售单价 （单位：元
满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求 与 的函数关系式；
（2）当销售单价为30元 时，销售荔枝获得的利润是多少元？
（3）求端午节期间销售荔枝获得的最大利润．【变式训练2】某工厂开发生产一种新产品，设生产的产品数量为 （件 ．总销售额为
（元 ，且 与 之间满足正比例函数关系，当 时， ；总成本为 （元 ， 与
之间关系满足下表．
1 2 3 4
产品数量 （件
15025 15050 15075 15100
总成本 （元
（1）分别求出 、 与 之间的函数关系式；
（2）设工厂的总利润为 （元 ，求 与 的函数关系式；
（3）至少生产并销售多少件产品后，工厂才不会亏损．
【变式训练3】东平湖景区在2021年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2023
年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求景区2021至2023年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；
（2）景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每
杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30
杯，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
二次函数应用题
【例8】如图，要建一个矩形仓库 ，一边靠墙（墙长 ，并在 边上开一道
宽的门，现在可用的材料为 长的木板．
（1）若仓库的面积为150平米，求 ．
（2）当仓库的面积最大时，求 ，并指出仓库的最大面积．
【变式训练1】为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在
校园里利用围墙（墙长 和 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数
学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据
设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度 的水池，
且需保证总种植面积为 ，试分别确定 、 的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问 应设计为多长？此时最大面积为多少？
【变式训练2】如图，学校要用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长
为16米．
（1）若矩形 的面积为144平方米，求矩形的边 的长．
（2）要想使花圃的面积最大、 边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
【变式训练3】如图，某农户准备围成一个长方形养鸡场，养鸡场靠墙 米），
另三边利用现有的36米长的篱笆围成，若要在与墙平行的一边开一扇2米宽的门，且篱笆
没有剩余．
（1）若围成的养鸡场面积为120平方米，则这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边
各是多少米？
（2）这个养鸡场的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．二次函数与面积最值
【例9】如图，抛物线 ．与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 ，直线
经过点 且与抛物线交于另一点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 是位于直线 上方的抛物线上的一个动点，连接 ， ，求 的面积
的最大值．
【变式训练1】如图，已知抛物线 与直线 的一个交点 在 轴上、
另一交点为点 ，直线 与 轴交于点 ，抛物线的对称轴为直线 ，交 轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是抛物线上 、 之间的一点，连接 、 ，当 面积最小时，求点
的坐标．
【变式训练2】如图，抛物线过点 、 、 ，连结 、 ，点 以每秒
1个单位长的速度从点 运动到点 ．同时点 以相同的速度从点 出发沿着射线 运
动，点 到达点 时 、 两点同时停止运动，设 点运动时间为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 运动过程中， 的面积为 ．求 与 的函数关系，并求出 的最大值．1．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度 总值约为2.4千亿元人民币，若
我市第三季度 总值为 千亿元人民币，平均每个季度 增长的百分率为 ，则 关
于 的函数表达式是
A． B．
C． D．
2．已知 的图象如图所示，对称轴为直线 ．若 ， 是一元二次
方程 的两个根，且 ， ，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
3．将二次函数 在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不
变，得到一个新图象，若直线 与这个新图象有4个交点，则 的取值范围为A． B． C． D．
4．在求解方程 时，先在平面直角坐标系中画出函数 的
图象，观察图象与 轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析
图中的信息，方程的近似解是
A． ， B． ， C． ， D． ，
5．若二次函数 在 时的最大值为5，则 的值是
A． 或6 B． 或6 C． 或6 D． 或
6．已知抛物线 的顶点为 ，有下列结论：
①当 时，抛物线与直线 没有交点；
②若抛物线与 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点 与 之间；
③若点 在点 ， ， 所围成的三角形区域内（包括边界），则 ．
其中，正确结论的个数是A．0 B．1 C．2 D．3
7．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度 与水
平距离 之间的关系如图所示，点 为落地点，且 ， ，羽毛球到达
的最高点到 轴的距离为 ，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为
A． B． C． D．
8．已知二次函数 在 时， 取得的最大值为15，则 的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
9．二次函数 最小值为 ．
10．已知关于 的一元二次方程 的两个根分别是 1 和 ，若二次函数
与 轴有两个交点，其中一个交点坐标是 ，则另一个交点坐
标是 ．
11．如图，二次函数 的部分图象与 轴的交点为 ，它的对称轴为直线
，则下列结论中：① ；② ；③ ；④方程 的
其中一个根在2，3之间，正确的有 （填序号）．12．已知抛物线 的图象与 轴分别交于点 ， ，则关于 的
方程 的根为 ．
13．已知抛物线 与 轴交于 、 两点与 轴交于点 ，顶
点为 ．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）将抛物线 绕原点 旋转 后得到抛物线 ， 的顶点为 ，点 为 上的
一点，当△ 的面积等于 的面积时，求点 的坐标．
14．设二次函数 是常数）．
（1）当 时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）试判断二次函数图象与 轴的交点情况；
（3）设二次函数的图象与 轴交于点 ，当 时，求 的最大值．
