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22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y
轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时， 注意：用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图
应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然 象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．画草图
后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描 时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
出的图象越准确. x轴的交点，与 y 轴的交点.
题型1：利用描点法作函数图像
1.在直角坐标系中，画出函数y＝2x2的图象（取值、描点、连线、画图）．
【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x2，y＝ x2，y＝﹣2x2与y＝﹣ x2的图
象．x
y＝2x2
y＝ x2
y＝﹣2x2
y＝﹣ x2
【变式1-2】画出下列函数的图象：
（1）y＝3x2；
（2）y＝﹣ x2．
二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）
函数 值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随 当x=0时，
x增大而增大； y =0
最小
x<0时，y随
x增大而减小.y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随 当x=0时，
x增大而减小； y =0
最大
x<0时，y随
x增大而增大.
注意：
a
顶点决定抛物线的位置；几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开
口大小完全相同，只是顶点的位置不同； │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同；│a│越大，开口越
小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
题型2：二次函数y=ax2的图像
2.在同一坐标系中画出y ＝2x2，y ＝﹣2x2，y ＝ x2的图象，正确的是（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝ ；③y＝x2的图象，则从
里到外的三条抛物线对应的函数依次是（ ）
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②①
题型3：二次函数y=ax2的性质
3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（ ）
A．（0，0） B．（0，﹣3） C．（﹣3，0） D．（﹣3，﹣3）
【变式3-1】抛物线 ，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．y随x的增大而减小
D．y随x的增大而增大
【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
题型4：函数图像位置的识别
4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中
的图象大致位置是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型5：函数值的大小比较
5.二次函数y ＝﹣3x2，y ＝﹣x2，y ＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 3
【变式5-1】函数y＝﹣6x2，当x ＞x ＞0，则y 与y 的大小关系为y y ．
1 2 1 2 1 21
【变式5-2】函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b， 4 )，则a-b_______0(填“＞”、
“＜”或“＝”号)．
题型6：简单综合-三角形面积
6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．
【变式6-1】已知函数y＝ax2（a≠0）的图象与y＝2x﹣3的图象交于点（1，b）
（1）试求a和b的值；
（2）求函数y＝ax2的解析式，并求其图象的顶点坐标和对称轴；
（3）x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x值的增大而增大？
（4）求抛物线与过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线的两个交点与顶点构成的三角形的面积．
【变式6-2】已知抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝﹣2x+3交于点（﹣1，b）．
求：（1）a，b的值；
（2）抛物线与y＝x+6的两交点及顶点所构成的三角形的面积．
一、单选题1．抛物线y=-2x2的对称轴是（ ）
1 1
A．直线x= B．直线x=- C．直线x=0 D．直线y=0
2 2
2．已知A（1，y）、B（﹣2，y）、C（﹣ √2 ，y）在函数y＝x2的图象上，则y、y、y 的大小
1 2 3 1 2 3
关系是（ ）
A．y ＜ y ＜ y B．y ＜ y ＜ y
1 3 2 1 2 3
C．y ＜ y ＜ y D．y ＜ y ＜ y
2 1 3 2 3 1
3．抛物线 y=x2 的顶点坐标是 ()
A．(0,0) B．(1,0) C．(0,1) D．(2,1)
1 1
4．满足函数y＝ x﹣1与y＝﹣
x2
的图象为（ ）
2 2
A． B．
C． D．
5．下列说法中错误的是( )
A．在函数y＝－x2中，当x＝0时y有最大值0
B．在函数y＝2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大
1
C．抛物线y＝2x2，y＝－x2， y=− x2 中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口最大
2
D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点
6．已知抛物线 y=(m−1)x2 的开口向下，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m>1 C．m<1 D．m≤1
1
7．抛物线y= x2，y=4x2，y=－2x2的图像中，开口最大的是（ ）
4
1
A．y= x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定
4二、填空题
8．若在抛物线 y=mxm2−1 对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则m= ．
9．二次函数 y=x2 的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）.
10．若抛物线 y=(m−1)xm2−m 开口向下，则 m= .
11．已知二次函数 y=(m−2)x2 的图象开口向下，则m的取值范围是 ．
12．已知二次函数y =mx2和y =nx2，对任意给定一个x值都有y ≥y ，关于m，n的关系正确的是
甲 乙 甲 乙
(填序号).①m0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>0
13．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：
（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
1 1
14．在同一个直角坐标系中作出y＝ x2，y＝ x2－1的图象．
2 2
（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
1 1
（2）抛物线y＝ x2－1与抛物线y＝ x2有什么关系？
2 215．已知
y=(k−1)xk2+k−4
是二次函数，
（1）若其图象开口向下，求k的值；
（2）若当 x<0 时，y随x的增大而减小，求函数关系式.
