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专题 22.6 二次函数与四边形存在性问题
【例题精讲】
【例1】已知二次函数 的图象与轴交于 ， 两点，与 轴交于
点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点 ，使以 、 、
、 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点 的坐标．
【解答】解：（1）设 ，把 代入得： ，
解得： ，
，
该抛物线的解析式为 ；
（2）存在．如图 2 中，当 是平行四边形的边时， ， ，可得
或 ，当 为对角线时，点 的横坐标为2，
时， ，
．
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 或 ．
【例2】如图，一次函数 图象与坐标轴交于点 、 ，二次函数
图象过 、 两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，点 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出 点坐标；若不
存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在 中，令 得 ，令 得 ，
， ，
二次函数 图象过 、 两点，
，解得 ，
二次函数解析式为 ；
（2）存在，理由如下：
由二次函数 可得其对称轴为直线 ，
设 ， ，而 ，
与 关于直线 对称，
，①当 、 为对角线时，如图：
此时 的中点即是 的中点，即 ，
解得 ，
当 ， 时，四边形 是平行四边形，
由 ， ， 可得 ，
，
四边形 是菱形，
此时 ；
② 、 为对角线时，如图：同理 、 中点重合，可得 ，
解得 ，
当 ， 时，四边形 是平行四边形，
由 ， ， 可得 ，
四边形 是菱形，
此时 ；
③以 、 为对角线，如图：
、 中点重合，可得 ，
解得 ，
， 时，四边形 是平行四边形，
由 ， ， 可得 ，
四边形 是菱形，此时 ；
综上所述， 的坐标为： 或 或 ．
【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与坐标轴交于 ，
两点，直线 交 轴于点 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限内是否存在一点 ，使得四边形 为矩形？如果存在，求出点
的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把 ， 代入抛物线 ，
得 ，
解得： ，
该抛物线的解析式为 ；
（2）存在．过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两条直线相较于 ，则
即为所求．在 中，令 ，则 ，
，
， ，
， ， ，
，
，
， ，
四边形 是矩形，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
，
直线 的解析式为 ，
，直线 的解析式为 ，
联立方程组 ，
解得： ，
点 坐标为 ．
【例4】若二次函数 的图象经过点 ， ，其对称轴为直线
，与 轴的另一交点为 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点 在直线 上，且在第四象限，过点 作 轴于点 ．
①若点 在线段 上，且 ，求点 的坐标；
②以 为对角线作正方形 （点 在 右侧），当点 在抛物线上时，求点
的坐标．
【解答】解：（1） 二次函数 的图象经过点 ，
，
对称轴为直线 ，经过 ，，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）①如图1中，
设直线 的解析式为 ，
， ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
， 关于直线 对称，
，
设 ，
轴，
，
，
，
，
，点 ， ；
②如图2中，连接 ， 交于点 ．设 ，则点 ，
四边形 是正方形，
， ， ，
轴，
，
，
，
，
点 在抛物线 上，
，
解得 ， ，
点 在第四象限，
舍去，
，
点 坐标为 ， ．【题组训练】
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点
、 ．且点 ， ，点 为抛物线上的一动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，过点 作 平行于 轴，交抛物线于点 ，若点 在 的上方，作
平行于 轴交 于点 ，连接 ， ，当 时，求点 坐标；
（3）设抛物线的对称轴与 交于点 ，点 在直线 上，当以点 、 、 、 为
顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点 的坐标．
【解答】解：（1）将点 ， 分别代入 得，，
，
二次函数的解析式为 ；
（2） 轴，点 ，
当 时， ，
， ，
，
，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 分别代入 得，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
设点 的横坐标为 ，则 ， ，
，
，
，
函数 ，当 时，有 ，， ，
，
，
又 ，
，
，
，
解得： ， ，
或 ；
（3） 抛物线的对称轴与 交于点 ，
，
设 ， ，
若 ，四边形 为平行四边形，
，
解得 或 ，
或 ；
若 ，四边形 为平行四边形，同理求出 ；
若 为对角线，则 ，解得 （不合题意舍去）或
综合以上可得出点 的坐标为 或 或 或 ．
5．抛物线 经过 、 两点，顶点为点 ，连接 ， ．
（1）求抛物线及直线 的解析式；
（2）请你直接写出 的面积；
（3）过点 作 轴，垂足为 ，平行于 轴的直线交直线 于点 ，交抛物线于
点 ，是否存在点 ，使以点 、点 、点 、点 为顶点的四边形为平行四边形？若
存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 抛物线 经过 ， 两点，
，
解得 ，
即该抛物线的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）如图，过点 作 轴，交 于点 ，
，
顶点 的坐标为 ， ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
， ，
，
；
（3）设 ， ，，
以点 、点 、点 、点 为顶点的四边形为平行四边形， ，
，
，
或 ，
当 时，
， ，
或 ，
当 时，
， ，
， 或 ， ，
综合以上可得，点 的坐标为 或 或 ， 或 ， ．
6．如图，已知抛物线 与 轴的交点为 、 在 的右侧），与 轴的
交点为 ，顶点为 ．
（1）直接写出 、 、 、 四点的坐标；
（2）若点 在抛物线上，使得 的面积与 的面积相等，求点 的坐标；
（3）在对称轴上存在点 ，抛物线上是否存在点 ，使得以 、 、 、 四点为顶点
的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1） ，当 时， ，
；
当 时，则 ，
解得 ， ，
， ；
，
抛物线的顶点 的坐标为 ，
， ， ， ．
（2）如图1，设 ，
与 有相同的底边 ，且 的面积与 的面积相等，
点 到 轴的距离等于点 到 轴的距离，
，
解得 ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
点 的坐标为 或 或 ， 或 ， ．
（3）存在，
如图2，点 的横坐标为3，作 轴，作 于点 ，， ，
由（1）得，抛物线的对称轴为直线 ，
在 上截取 ，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，连结并延长 交 轴
于点 ，作四边形 ，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形；
如图3，点 的横坐标为 ，作 轴，作 于点 ，
， ，
设直线 交 轴于点 ，在 轴上方的直线 上截取 ，作四边形 ，
交 轴于点 ，
，
，
，
，， ，
轴，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
如图4，点 的横坐标为，作 轴于点 ，作 轴于点 ，
， ，
在 上截取 ，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，连结并延长 交
于点 ，作四边形 ，
， ，
，
， ，
轴，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．7．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ， ，与 轴交于点
， 为线段 上一动点，将射线 绕 逆时针方向旋转 后与函数图象交于点 ．
（1）求二次函数 的表达式；
（2）当 在二次函数图象对称轴上时，求此时 的长；
（3）求线段 的最大值；
（4）抛物线对称轴上是否存在 ，使 、 、 、 四点能构成平行四边形，若存在，
请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把 ， 代入 ，
得 ，解得 ，
该二次函数的表达式为 ．
（2）如图1，作 轴于点 ，作直线 交 轴于点 ，则 ，且该直线过
点 ，
， ，
，，
设直线 的解析式为直线 ，
由 ， 得，抛物线的对称轴为直线 ，
当点 落在直线 上，则 ， ，
，
解得 ，
，
由 ，得 ， （不符合题意，舍去），
．
（3）如图2，当 时， 的长随 的增大而减小．
当点 与点 重合时， 的长最大， 的长也最大，
此时直线 的解析式为 ，
由 ，得 ， （不符合题意，舍去），
此时 ， ，
的最大值为 ．
（4）存在．
如图3， 为以 、 、 、 四点为顶点的四边形的一边，则 ．，
设直线 交 轴于点 ，
，
，
此时 ，
在抛物线上一定存在点 ，其纵坐标为 ，
作 轴于点 ，在 轴上取点 ，使 ，
则 ，且 ，
四边形 是平行四边形，
此时 ， ；
如图4， ， ．
设 ， ，设直线 的解析式为 ，则 ，即 ，
，
由 ，得 ， （不符合题意，舍去），
， ，
， ， ，
，
，
，解得 ， （不符合题意，舍去），
，
， ．
综上所述，点 的坐标为 ， 或 ， ．8．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，直线
经过点 ， ，点 是抛物线上的动点，过点 作 轴，垂足为 ，交
直线 于点 ．
（1）求抛物线的解析式及点 的坐标；
（2）当点 位于直线 上方且 面积最大时，求 的坐标；
（3）若点 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为
顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说
明理由．【解答】解：（1）把 代入 得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ．
令 ，则 ，
．
把点 ， 代入抛物线的解析式，
得 ，
解得 ．
抛物线的解析式为 ．
令 ，解得 ， ，
；
（2）设 ，则 ，
，
，
．，
当 时， 的面积最大，此时 ；
（3）存在，理由如下：
当点 在 轴右侧时， 四边形 为菱形，
， ，
设 的解析式为 ，
把 坐标代入，得 ，
，
的解析式为 ，
设 ，
，
，
解得 或 （舍 ，
；
当点 在 轴左侧时，同理可得， ；综上， ， ．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 在抛物线上，当 时，求点 的坐标；
（3）将抛物线的对称轴沿 轴向右平移 个单位得直线 ，点 为直线 上一动点，在平
面直角坐标系中是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形？若存在，
请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 抛物线 与 轴交于 ， 两点，
，
解得， ．
抛物线的解析式为 ；（2）如图，设直线 与 交于点 ，
抛物线解析式 与 轴交于点 ，
，
又 ，
， ，
，
，
，
，
或 ，设直线 的解析式为 ，
或 ，
解得 或 ，
直线 的解析式为 或 ，
或 ，解得， ， （舍去）， ， （舍去），
， 或 ， ；
（3）由（1）知，抛物线解析式为 ，对称轴直线为 ，
将抛物线的对称轴沿 轴向右平移 个单位得直线 ，
设 ，
， ，
，
，
，
①当 为对角线时，如图，
以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，
，
，，
或 ，
或 ，
， ，
， 或 ；
②当 为对角线时，如图，
以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，
，
，
，
或 ，
， 或 ，
， ，
或 ；综上所述，存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，点 的坐标为 ，
或 或 或 ．
10．如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴交于点 ， ，与
轴交于点 ，连接 ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 作 轴，垂足为点 ，
交直线 于点 ，是否存在这样的点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰
三角形．若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点 ，使以点 、 、 、
为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴交于点 ， ，
，
，解得 ，
抛物线的解析式 ；
（2） ，，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
设点 坐标为 ，则点 ，
， ，
，
，
，
①当 时， ，
，
解得 ， （不合题意，舍去），
点 的坐标为 ；
②当 时， ，
，
解得 ， （不合题意，舍去），
点 的坐标为 ， ；
③当 时， ，，
解得 ，
点 的坐标为 ， ；
综上，存在，点 的坐标为 或 ， 或 ， ；
（3）设 ， ，
， ，
，
①以 为对角线时， ，
，
解得： ，或 ，
或 ，
， ，， 或 ，
， 或 ，
点 的坐标为 或 ；
②以 为边时， 或 ，
或 ，
解得： 或 ，
或 ，
， ，
， 或 ， ，
， 或 ， ，
点 的坐标为 或 ，
综上所述：存在，点 的坐标为 或 或 或 ．
11．综合与探究
如图，某一次函数与二次函数 的图象交点为 ， ．（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为抛物线对称轴上一动点，当 与 的和最小时，点 的坐标为 ；
（3）点 为抛物线位于线段 下方图象上一动点，过点 作 轴，交线段 于
点 ，求线段 长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点 为 轴上一点，点 为直线 上一点，点 为平面直角坐标
系内一点，若以点 ， ， ， 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点 的坐标．
【解答】解：（1）将 ， 代入 得，
，
，
抛物线的解析式为 ；
（2）设直线 的函数解析式为 ，
，
，
直线 的解析式为 ，，
当点 、 、 三点共线时， 的最小值为 的长，
抛物线 的对称轴为 ，
当 时， ，
，
故答案为： ；
（3）设 ，则 ，
，
当 时， 的最大值为 ；
（4）当 为对角线时，如图，
此时四边形 是正方形，
，
当 为边时，若点 在 的上方，此时 ，
轴，
是等腰直角三角形，
，
，
当点 在点 的下方时，如图，四边形 是正方形，
同理可得 ，
当点 在点 的下方时，如图，四边形 是正方形，同理可得 ， ，
综上： 或 或 或 ， ．
12．如图，已知抛物线 与一直线相交于 ， 两点，与 轴交于
点 ，其顶点为 ．
（1）填空：抛物线的解析式为 ；
（2）若 是抛物线上位于直线 上方的一个动点，设点 的横坐标为 ，过点 作 轴
的平行线交 与 ，当 为何值时，线段 的长最大，并求其最大值；
（3）若抛物线的对称轴与直线 相交于点 ， 为直线 上的任意一点，过点 作
交抛物线于点 ，以 ， ， ， 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，
请直接写出点 的坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）将 ， 代入抛物线的解析式 得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ，
故答案为： ；
（2） 是抛物线上位于直线 上方的一个动点，横坐标为 ，
点 的坐标为 ；
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
轴，点 在 上，
点 的坐标为 ，
，
当 时， 的长最大，最大值为 ；（3）以 ， ， ， 为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：
，
顶点 ，
直线 的解析式为 ，抛物线的对称轴与直线 相交于点 ，
，
，
设点 ，则 ，
，
，
，
，
或 ，
解得： ， （舍 ， ， ．
点 的坐标为： 或 ， 或 ， ．13．如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，
连接 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 为线段 上的一动点（不与 、 重合）， 轴，且 交抛物线于
点 ，交 轴于点 ，当 的面积最大时，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，当 的面积最大时，点 是抛物线的对称轴上的动点，在抛
物线上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请
直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）依题意得： ，
解得： ，抛物线的解析式为 ．
（2）设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，直线 的解析式为 ，
设点 坐标为 ，则 点坐标为 ，
，
，
当 时， 的面积最大．此时，点 的坐标为 ， ．
（3） ， 对称轴为直线 ，
当四边形 为平行四边形时，
， ，
， ，
，
，
，
， ；
当四边形 为平行四边形时，
， ，
，
，，
， ；
当四边形 为平行四边形时，
， ，
，
，
，
， ；
存在点 使得以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，点 的坐标是
或 或 ．
14．综合与实践
如图，二次函数 的图象交 轴于点 、点 ，其中点 的坐标为 ，点 的
坐标为 ，过点 、 的直线交二次函数的图象于点 ．
（1）求二次函数和直线 的函数表达式；
（2）连接 ，则 的面积为 6 ；
（3）在 轴上确定点 ，使得 ，点 的坐标为 ；
（4）点 是抛物线上一点，点 为平面上一点，是否存在这样的点 ，使得以点 、点
、点 、点 为顶点的四边形是以 为边的矩形？若存在，请你直接写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将 代入 得： ，
解得： ，
二次函数的表达式为 ．
当 时， ，
解得： ， ，
点 的坐标为 ．
设直线 的函数表达式为 ，
将 ， 代入 得： ，
解得： ，
直线 的函数表达式为 ．
（2）联立直线 和抛物线的函数表达式得： ，
解得： ， ，
点 的坐标为 ，．
故答案为：6．
（3）当点 在 轴正半轴轴时，过点 作 于点 ，如图1所示．
点 ， 关于 轴对称，
，
，
．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
， ，
，
平分 ，
．
，
，
，
点 的坐标为 ， ．
当点 在 轴负半轴时，点 的坐标为
故答案为： ， 或 ．
（4）连接 ，则 ，即 ，利用待定系数法可求出直线 的函数表达式．
分两种情况考虑，如图2所示．
①当四边形 为矩形时，设直线 的函数表达式为 ，
将 代入 得： ，
解得： ，
直线 的函数表达式为 ．
联立直线 和抛物线的函数表达式得： ，
解得： ， ，
点 的坐标为 ，
又 四边形 为矩形，
点 的坐标为 ，即 ；
②当四边形 为矩形时，同理可得出直线 的函数表达式为 ，
联立直线 和抛物线的函数表达式得： ，
解得： ， ，
点 的坐标为 ，
又 四边形 为矩形，
点 的坐标为 ， ，即 ．
综上所述，存在这样的点 ，使得以点 、点 、点 、点 为顶点的四边形是以
为边的矩形，点 的坐标为 或 ．15．在平面直角坐标系中，二次函数 ， 为常数）的图象记作 ，
图象 上点 的横坐标为 ．
（1）当 ，求图象 的最低点坐标；
（2）平面内有点 ．当 不与坐标轴平行时，以 为对角线构造矩形 ，
与 轴平行， 与 轴平行．
①若矩形 为正方形时，求点 坐标；
②图象 与矩形 的边有两个公共点时，求 的取值范围．
【解答】解：（1） 时， ，
顶点为 ，
，图象 的最低点坐标为 ；
（2）①当 时， ，
，
，
正方形 中， 与 轴平行， 与 轴平行，
，
同理得 ，
，
，
或 ，
解得 或 ，
点 的坐标为 或 ；
② 点 在图象 上，
图象 与矩形 已经有一个公共点 ，
图象 与矩形 的边有两个公共点，
只需图象 与矩形 的边再由一个公共点即可；
点 的横坐标为 ，
，
当 时， ，
当 时， ，
如图1，当 时，图象 在 时， 随 的增大而减小，
矩形与图象 只有一个交点 ；
当 时，图象 在 时， 随 的增大而减小，当 时，图象 与矩形有两个交点；
当经过点 时， ，
解得 ，
时，图象 与矩形有两个交点；
如图3，
当 时，即 ，
当 时， ，
，
整理得， ，
△ ，
，
△ ，
此时图象 与 边有另一个交点，
此时图象 与矩形 有三个交点，
当 时， 点坐标为 ， ，此时 不与 轴平行，不符合题意；
当 时，此时图象 与矩形 有两个交点；
综上所述： 或 时，图象 与矩形 有两个交点．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点坐标为 ，与 轴交于
点 ，与 交于点 ， ．
（1）求二次函数 的表达式；
（2）过点 作 平行于 轴，交抛物线于点 ，点 为抛物线上的一点（点 在 上
方），作 平行于 轴交 于点 ，当点 在何位置时，四边形 的面积最大？求出最大面积；
（3）若点 在抛物线上，点 在其对称轴上，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平
行四边形，且 为其一边，求点 的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为 ，
抛物线与 轴交于点 ，
，
，
，即二次函数 的表达式是 ；
（2）当 时， ，
， ，
， ，
设直线 的解析式为 ，
， ，
由点 、 的坐标得，直线 的解析式为 ；
设 ，，
，
，
，
当 时，
即点 ， 时， ；
（3）如图，过 作 垂直于对称轴，垂足为 ，
， ，
（两角的两边相互平行，这两角相等）．
又 ， ，
，
，
点的横坐标为 或 ，
当 时， 点纵坐标为8，
当 时， 点纵坐标为8，
点的坐标为 或 ．17．如图，抛物线 过 ， 两点，交 轴于点 ．动点 从点
出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线 运动，设运动的时间为 秒．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）过点 作 轴，交抛物线于点 ．当 时，求 的长；
（3）若在平面内存在一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，求点
的坐标．
【解答】解：（1）将 ， 代入 中得：
，
解得： ．
故抛物线的解析式为 ；
（2）当 时， ，
如图1，过点 作 轴于 ，中， ， ，
，
，
，
，即 ，
， ，
，
当 时， ，
；
（3）存在两种情况：
①如图2，四边形 是菱形，
过点 作 轴于 ，， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
，即 ，
， ，
， ，
， ；
同理可得 ， ；
②如图3，四边形 是菱形，设直线 的解析式为： ，
则 ，解得 ，
直线 的解析式为： ，
设点 ，
四边形 是菱形，
，
，
解得： ，
， ，
， ，
， ；
综上，点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， ．
18．如图，抛物线与 轴交于 、 ，交 轴于 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 是直线 上方的抛物线上的一个动点，设 的横坐标为 ， 到 的距离为 ，求 与 的函数关系式，并求出 的最大值；
（3）设点 是 轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点 ，使得以点 、 、 、
为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点 坐标．
【解答】解：（1） 抛物线 过 、 、 三点，
，解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，过点 作 轴于点 ，交 于点 ， 于点 ，连接 、
，‘
、 ，
， ，
设直线 解析式为 ，则 ，解得 ，直线 解析式为 ，
点 的横坐标为 ，且在抛物线 上，
，
又 轴于点 ，交 于点 ，
， ，
，
，
又 ，
，
与 的函数关系式为： ，
，
当 时， 有最大值为 ；
（3）存在．
①若 为菱形对角线，如图2，则 与 互相垂直平分，
；
②若 为菱形对角线，如图3和图4，
则 ，
， 或 ， ；
③若 为菱形对角线，如图5，则 ，
设 ，
由 ，得 ，
解得 ，
，
．
综上可知存在点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，符合条件的点
有4个： 或 ， 或 ， 或 ．
19．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点 为第四象限抛物线上一点，连接 ，过点 作 于点 ，若
，求点 的横坐标；
（3）若点 是抛物线对称轴上一动点且在 轴的上方，点 是平面直角坐标系内的任意一
点，如果以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点 的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为： ，
把 ， 代入得，
，
，
；
（2）设点 ，
由题意得，
，
，
（舍去）， ，
点 的横坐标为： ；
（3） 抛物线的对称轴为直线： ，
设点 ，
当 时，，
， （舍去），
，
，
当 时，
，
， （舍去），
，
，
当菱形 时，
此时 ，
，
，
综上所述： 或 或 ．
20．如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，抛物线
经过 、 两点，与 轴的另一个交点为 ，点 的坐标为 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点 ， 关于抛物线的对称轴直线 对称， 点是对称轴上一动点，在抛物线上是否
存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在 中，令 得 ，令 得 ，
， ，
把 ， 代入 得：
，
解得 ，
抛物线的函数表达式是 ；
（2）在抛物线上存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，理由如下：
，
抛物线的对称轴是直线 ，
， 关于抛物线的对称轴直线 对称，
，
设 ， ，
①当 ， 是对角线时， 的中点即是 的中点，如图：，
解得 ，
， 关于抛物线的对称轴直线 对称，
，
以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，
；
②当 ， 为对角线时， ， 的中点重合，如图：
，解得 ，
， ，
而 ，
，
以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，
；
③当 ， 为对角线， ， 的中点重合，如图：
，
解得 ，
， ，
而 ，
，以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，
，
综上所述， 的坐标是 或 或 ．
21．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，连
接 ， ，点 是直线 下方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 ， ，设 点的横坐标为 ， 的面积为 ，求 与 的函数关系式；
（3）试探究：过点 作 的平行线1，交线段 于点 ，在直线 上是否存在点 ，
使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不
存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将 ， 代入 得： ，
解得： ，
；
（2）如图1，过点 作 轴交直线 于点 ，， ，
设直线 的解析式为： ，
，
，
的解析式为： ，
点的横坐标为 ，
的坐标是 ，则 的坐标是 ，
，
点 是直线 下方抛物线上的一个动点，
，
；
（3）分两种情况：
①如图2，四边形 是菱形，设 ，则 ，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
， ；
②如图3，四边形 是菱形，
设 ，则 ，
四边形 是菱形，
，，
（舍 或 ，
；
综上所述，点 的坐标为 ， 或 ．
22．如图，在平面直角坐标系中，经过点 的直线 与 轴交于点 ．经过原
点 的抛物线 交直线 于点 ， ，抛物线的顶点为 ．
（1）求抛物线 的表达式；
（2） 是线段 上一点， 是抛物线上一点，当 轴且 时，求点 的坐
标；
（3） 是抛物线上一动点， 是平面直角坐标系内一点．是否存在以点 ， ， ，
为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 抛物线 过点 和 ，，
解得： ，
抛物线的解析式为： ；
（2） 直线 经过点 和 ，
直线 的解析式为： ，
轴，
设 ， ，其中 ，
当 在 点的上方时，
，
解得： ， （舍 ，
， ，
当 在 点下方时，
，解得： ， ，
， ，
综上，满足条件的点 的坐标有三个 ， 或 或 ；
（3）存在，
①如图2，若 是矩形的边，
设抛物线的对称轴与直线 交于点 ，且 ，
过点 ， 分别作直线 的垂线交抛物线于点 ， ，
， ，
，
同理得： ， ，
，
，点 与点 重合，
当 ， 时，四边形 是矩形，
向右平移1个单位，向上平移1个单位得到 ，
向右平移1个单位，向上平移1个单位得到 ，
此时直线 的解析式为： ，
直线 与 平行且过点 ，
直线 的解析式为： ，
点 是直线 与抛物线 的交点，
，
解得： ， （舍 ，
，
当 时，四边形 是矩形，
向左平移3个单位，向上平移3个单位得到 ，
向左平移3个单位，向上平移3个单位得到 ；
②如图3，若 是矩形的对角线，设
当 时，过点 作 轴于 ，过点 作 于 ，
， ，
△ △ ，
，
，
点 不与点 ， 重合，
或 ，
，
，
如图4，满足条件的点 有两个，即 ， ， ， ，当 ， 时，四边形 是矩形，
， 向左平移 个单位，向下平移 个单位得到 ，
向左平移 个单位，向下平移 个单位得到 ， ，
当 ， 时，四边形 是矩形，
， 向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 ，
向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 ， ；
综上，点 的坐标为 或 或 ， 或 ， ．
23．如图，抛物线 与 轴交于点 、 （点 在点 左侧），与 轴交于
点 ，连接 ．
（1）求线段 的长；
（2）过点 作 ，与 轴交于点 ，与抛物线第四象限的图象交于点 ， 为抛
物线上位于第一象限的点，连接 交 于点 ，连接 ，求四边形 面积的最
大值及此时点 的坐标；（3）将原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到抛物线 ， 与原抛物线交于点
，点 在直线 上，且位于 轴右侧，在平面直角坐标系中是否存在点 ，使以点 、
、 、 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
【解答】解：（1）令 代入抛物线解析式，得 ，
，
，
或 ，
， ，
令 代入抛物线解析式，得 ，
，
的长度为 ．（2） ，
设： ， ， ，
过 ， ，
，
设 ，
过 ，
，
令 得： ，
，
联立 ，
解得： 或 ，
，
，
设 ，
过 ，
，
，，
联立 ，
得 ，
，
如图，过 做 交 轴于 ，
，
将 ， 代入得： ，
，
，
当 时， ，
，
①，
把 代入①，
解得 时，四边形 面积最大，为8，
此时 ．
（3）由题意知 ，联立 ，
解得： ，
① 为边，设 ，
由 ，可得 ，
解得， （负值舍去），
，
由菱形性质可得： ；
② 为对角线时，设 ，
由 ，可得 ，
解得 ，
由菱形性质可得：得 ．
综上所述，满足条件的点 的坐标为 ， ．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的两边 ， 分别在 轴和 轴上，
， ，抛物线 经过点 ，且与 轴交于点 和点 ．（1）求抛物线的表达式；
（2）若 是第一象限抛物线上的一个动点，连接 ， ，当四边形 的面积最大
时，求点 的坐标，此时四边形 的最大面积是多少；
（3）若 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点 ，使以点 ， ， ，
为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1） 四边形 为矩形，且 ， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
将 ， 代入 ，
得： ，解得： ，
抛物线的表达式为 ．
（2）当 时， ，
解得： ， ，
点 的坐标为 ，
．
过点 作 轴于点 ，如图1所示．设点 的坐标为 ， ，
则
，
，
时， 取得最大值，最大值 ，此时点 的坐标为 ，
当四边形 的面积最大时，点 的坐标为 ，此时四边形 的最大面积是
16．
（3） 抛物线的表达式为 ，
抛物线的对称轴为直线 ．
利用待定系数法可求出直线 的表达式为 ，分 为边及 为对角线两种情
况考虑：
①当 为边时，若四边形 为矩形，则直线 的解析式为 ，
点 的坐标为 ， ，
点 的坐标为 ， ，即 ， ；
若四边形 为矩形，则直线 的解析式为 ，
点 的坐标为 ， ，
点 的坐标为 ， ，即 ， ；②当 为对角线时，设线段 的中点为 ，过点 作 抛物线对称轴于点 ，如
图3所示．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ， ，
点 的坐标为 ， ，
．
又 以点 ， ， ， 为顶点的四边形是矩形，即 为直角三角形，
，
，
点 的坐标为 ， 或 ， ．
当点 的坐标为 ， 时，点 的坐标为 ， ，即 ， ；
当点 的坐标为 ， 时，点 的坐标为 ， ，即 ， ．
综上所述，在平面内存在一点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是矩形，点
的坐标为 ， 或 ， 或 ， 或 ， ．25．如图，抛物线顶点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ．（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与直线 只有一个交点，求 的值；
（3） 是抛物线上除点 外一点， 与 的面积相等，求点 的坐标；
（4）若 ， 为抛物线上两个动点，分别过点 ， 作直线 的垂线段，垂足分别为
， ．是否存在点 、 使四边形 为正方形？如果存在，求正方形 的边
长；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设 ，
把 代入抛物线解析式得： ，
即 ，
则抛物线的解析式为 ；
（2） 抛物线与直线 只有一个交点，
，
即 ，
解得： ；
（3）由抛物线解析式 可令 ，
解得： ， ，
点 ， ，设直线 的解析式为 ，则有：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
过 作 ，交抛物线于点 ，如图1所示，
，
设直线 的解析式为 ，
，
直线 的解析式为 ，
联立： ，
解得： 或 ，
即 与 重合， ；
过点 作 轴的垂线交 于 ，在直线 上取 ，
直线 的解析式为 ， ，，
，
过 作直线 ，交抛物线于点 ， ，
同理可得直线 解析式为 ，
联立得： ，
解得： 或 ，
， ， ；
（4）存在点 、 使四边形 为正方形，
如图2所示，四边形 为正方形，
过 作 轴，过 作 轴，过 作 轴，则 与 为等腰直
角三角形，
设 ， ， ， ， 解析式为 ，联立： ，
得： ，
，
为等腰直角三角形，
，
， ，
，
，
若四边形 为正方形，则有 ，
，
整理得： ，
解得： 或 ，
正方形边长为 ，
或 ．
26．如图1，抛物线 经过点 、 ，并交 轴于另一点 ，点
在第一象限的抛物线上， 交直线 于点 ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点 的坐标为 时，求四边形 的面积；
（3）点 在抛物线上，当 的值最大且 是直角三角形时，求点 的横坐标；（4）如图2，作 ， 交 轴于点 ，点 在射线 上，且 ，过
的中点 作 轴，交抛物线于点 ，连接 ，以 为边作出如图所示正方形
，当顶点 恰好落在 轴上时，请直接写出点 的坐标．
【解答】解：（1）由题意得，
，
，
该抛物线的函数表达式为： ；
（2）当 时， ，
， ，
，
， ，
，
，
，，
；
（3）如图1，作 交 的延长线于 ，
设 ，
， ，
直线 的解析式为： ，
由 得，
，
，
，
，
，
当 时， ，
当 时， ，
， ，设 ，
如图2，当 时，过点 作 轴平行线 ，作 于 ，作 于
，则 ，
，
，
，
如图3，当 时，过 于 ，作 于 ，可得 ，，
，
可得 ， ，
如图4，当 时，作 于 ，作 于 ，
同理可得： ，
，
综上所述：点 的横坐标为： 或1或 或 ；（4）如图5，作 轴，作 于 ，作 于 ，作 于点 ，则
， ．
， ， ，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
， （舍去），
， ．
