文档内容
22.3实际问题与二次函数专题训练（4 大题型35 题）
题型1：几何问题-面积问题
1．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为18m），另外
三边用32m的篱笆围成．
（1）令苗圃园长（平行于墙的边长）为xm，宽为ym，写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范
围；
（2）若苗圃园的面积为96m2，求垂直于墙的一边长为多少米？
（3）苗圃园的面积能否达到150m2？请说明理由；并写出苗圃园的面积最大值．
【分析】（1）根据篱笆的长为32米．列出y关于x的函数关系式，并根据墙长为18m，矩形的边长大
于0求出x的取值范围；
（2）设苗圃园的面积为Sm2，根据矩形的面积公式写出S关于x的函数解析式，令S＝96，解关于x的
一元二次方程，取在x范围的解即可；
（3）先令S＝150得到关于x的一元二次方程，再根据Δ＜0，可知苗圃园面积不能达到150m2；根据二
次函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）由题意得：y＝ ＝﹣ x+16，
∵ ，
∴0＜x≤18，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣ x+16，x的取值范围为0＜x≤18；（2）设苗圃园的面积为Sm2，
由（1）知，S＝xy＝x（﹣ x+16）＝﹣ x2+16x，
令S＝96，
则﹣ x2+16x＝96，
解得：x ＝8，x ＝24（舍去），
1 2
∴平行于墙的边长8m，
∴垂直于墙的边长为﹣ ×8+16＝12（m）；
（3）由（2）知S＝﹣ x2+16x，
令S＝150，
则﹣ x2+16x＝150，
整理得：x2﹣32x+300＝0，
∵Δ＝（﹣32）2﹣4×1×300＝﹣176＜0，
∴方程x2﹣32x+300＝0无实数解，
∴苗圃园的面积不能达到150m2；
∵S＝﹣ x2+16x＝﹣ （x﹣16）2+128，
∵﹣ ＜0，
∴当x＝16时，S有最大值，最大值为128，
∴当平行于墙的边长为16m时，苗圃园的面积最大值128m2．
【点评】此题考查了二次函数、一元二次方程的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模
型，然后根据二次函数的性质求解即可．
2．目前世界上有10亿多人以马铃薯为主粮，为国家粮食安全，丰富农民收入来源，某区试点马铃薯种植，
给予每亩地每年发放150元补贴．年初，种植户金大伯根据以往经验，考虑各种因素，预计本年每亩的
马铃薯销售收入为2000元，以及每亩种植成本y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象，求出y与x之间的函数关系式．
（2）根据预计情况，求金大伯今年种植总收入w（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系式．（总收
入＝销售收入﹣种植成本+种植补贴）．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）分别求出销售收入、种植成本、种植补贴，再根据总收入销售收入种植成本种植补贴计算即可．
【解答】（1）设函数关系式为 y＝kx+b，根据图象可知，函数图象过点（200，1000），（240，
880），
将这两点代数函数关系式可得：
，
解得： ，
故函数关系式为：y＝﹣3x+1600；
（2）销售收入：2000x；
成本：y•x＝（﹣3x+1600）•x＝﹣3x2+1600x，
补贴：150x；
因为，总收入＝销售收入•种植成本+种植补贴，所以w＝2000x﹣（﹣3x2+1600x）+150x，
整理得：w＝3x2+550x．
【点评】本题主要考查一次函数的实际应用及待定系数法求解析式，解题的关键是正确解读题意，找出
各个函数表达式和代数式．
3．如图，学校要用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为16米．
（1）若矩形ABCD的面积为144平方米，求矩形的边AB的长．
（2）要想使花圃的面积最大、AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？
【分析】（1）根据题意：矩形的面积＝AB×BC，设未知数列方程可解答；（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（36﹣2x）米，可以得到y与x的函数关系式，在
x的取值范围内求出函数的最大值即可．
【解答】解：（1）设AB为x米，则BC＝（36﹣2x）米，
由题意得：x（36﹣2x）＝144，
解得：x ＝6，x ＝12，
1 2
∵墙长为16米，36米的篱笆，
∴36﹣2x≤16，2x＜36，
∴10≤x＜18，
∴x＝12，
∴AB＝12，
答：矩形的边AB的长为12米；
（2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（36﹣2x）米，
∴y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，
∵10≤x＜18，且﹣2＜0，故抛物线开口向下，
∴当x＝10时，y有最大值是160，
答：AB边的长应为10米时，有最大面积，且最大面积为160平方米．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件．
4．数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长20m的铁丝剪成两段．
（1）把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于 13m2，应该怎么剪这根铁
丝？
（2）若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？
【分析】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（20﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形
的面积，根据两个正方形的面积之和等于13cm2建立方程求出其解即可；
（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，根据圆的面积公
式求出两圆面积之和，再根据函数性质求最小值．
【解答】解：（1）设剪成较短的一短为xm，则较长的部分为（20﹣x）m，
由题意得：（ ）2+（ ）2＝13，
化简得：x2﹣20x+96＝0，
解得：x ＝8，x ＝12，
1 2当x＝8时，较长部分为12，
答：应该把铁丝剪成8m和12m的两个部分；
（2）设两圆面积之和为Scm2，剪成较短的一短为ym，则较长的部分为（20﹣y）m，
由题意得：S＝ •（ ）2+ •（ ）2＝ （y﹣10）2+ （0≤y≤20），
π π
∵ ＞0，
∴当y＝10时，S有最小值，最小值为 ．
【点评】本题考查和二次函数和一元二次方程的应用，关键是根据题意列出函数关系式和一元二次方程．
5．如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 平方厘米．
【分析】（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为 cm，根据面积公式列出一元二次方程，解之即
可；
（2）在（1）的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为 cm，
∴x• ＝144，
解得x＝12或x＝18，
∴AB＝12cm或AB＝8cm，
∴AB的长为12厘米或8厘米；
（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为 cm，
∴S＝x• ，即S＝﹣ x2+20x＝﹣ （x﹣15）2+150，∵﹣ ＜0，
∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．
故答案为：150．
【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键
是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．
6．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三
边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门
（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．
（1）BC长为 米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
（2）若苗圃ABCD的面积为96m2，求x的值；
（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少？
【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，即得BC
长为（36﹣3x）米；
（2）根据题意得：x•（36﹣3x）＝96，即可解得x的值；
（3）w＝x•（36﹣3x）＝﹣3（x﹣6）2+108，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，
∴BC长为32﹣3x+4＝36﹣3x，
故答案为：（36﹣3x）；
（2）根据题意得：x•（36﹣3x）＝96，
解得x＝4或x＝8，
∵x＝4时，36﹣3x＝24＞14，
∴x＝4舍去，
∴x的值为8；
（3）设苗圃ABCD的面积为w，
则w＝x•（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∵﹣3＜0，
∴当x＞6时，w随x的增大而减小，∵36﹣3x≤14，得x≥ ，
∴x＝ 时，w最大为 ，
答：当x为 米时，苗圃ABCD的最大面积为 平方米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题得关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
7．为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小
区决定用总长27m的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知
房屋外墙长9m．
（1）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积为42m2？
（2）当AB长为多少时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）根据题意和图形可知：AB•CD＝42，然后列出方程求解即可，注意CD的长不大于9m；
（2）根据题意，可以写出面积与AB的长的函数关系，然后利用二次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设AB长为xm时，绿化带ABCD的面积为42m2，
x（27﹣3x）＝42，
解得x ＝2，x ＝7，
1 2
当x＝2时，27﹣3x＝21＞9，不合题意，舍去；
当x＝7时，27﹣3x＝6，符合题意；
答：当AB长为7m时，绿化带ABCD的面积为42m2；
（2）设绿化带ABCD的面积为Sm2，AB长为am，
S＝a（27﹣3a）＝﹣3a2+27a＝﹣3（a﹣ ）2+ ，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝ ，
∵ ，
解得6≤a＜9，
∴当a＝6时，S取得最大值，此时S＝54，
答：当AB长为6m时，绿化带ABCD的面积最大，最大面积是54 m2．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方
程和二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值．
8．如图，若要建一个矩形场地，场地的一面靠墙，墙长10m，另三边用篱笆围成，篱笆总长20m，设垂直
于墙的一边为xm，矩形场地的面积为Sm2．
（Ⅰ）S与x的函数关系式为S＝ ，其中x的取值范围是 ；
（Ⅱ）若矩形场地的面积为42m2，求矩形场地的长与宽；
（Ⅲ）当矩形场地的面积最大时，求矩形场地的长与宽，并求出矩形场地面积的最大值．
【分析】（1）由AD＝x，可得出AB＝20﹣2x，由墙长10米，可得出关于x的一元一次不等式组，解之
即可得出x的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出s关于x的函数关系式；
（2）根据矩形场地的面积，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）把二次函数的解析式配方成顶点式，求出长与宽．
【解答】解：（1）∵AD＝BC＝x，
∴AB＝20﹣2x．
又∵墙长10米，
∴ ，
∴5≤x＜10．
∴S＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x（5≤x＜10）．
故答案为：﹣2x2+20x，5≤x＜10；
（2）当矩形场地的面积为42m2时，﹣2x2+20x＝42，
解得：x ＝3（不合题意，舍去），x ＝7，
1 2
∴20﹣2x＝6．
答：矩形的长为7米，宽为6米；
（3）∵S＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，
∴当x＝5时，S最大是50，
此时20﹣2x＝10，答：当矩形场地的面积最大时，矩形场地的长是10m，宽是5m，矩形场地面积的最大值是50m2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、函数关系式以及函数自变量的取值范围，解题的关键是：
（1）利用矩形的面积公式，找出s关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
9．在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20m，宽10m的场地进行布置，设计方案如图所示．阴影区
域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于4m，不大
于8m．设出口长均为x（m），活动区面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？
（3）若活动区布置成本为10元/m2，绿化区布置成本为8元/m2，布置场地的预算不超过1850元，当x
为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．
【分析】（1）根据活动区域的面积等于矩形的面积减去绿化区的面积，可得y与x的关系式；
（2）根据二次函数的增减性可得结论；
（3）根据列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4× ×
＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）
＝200﹣200+30x﹣x2
＝﹣x2+30x，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；
（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225，
∵﹣1＜0，
∵当x＜15时，y随x的增大而增大，
∵4≤x≤8，
∴当x＝8时，y有最大值，最大值为176，
∴当x取8m时，活动区面积最大，最大面积是176m2；（3）设布置场地所用费用为w元，
则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]
＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x
＝﹣2x2+60x+1600，
令w＝1850，
﹣2x2+60x+1600＝1850，
解得：x＝25或x＝5，
∵4≤x≤8，
∴4≤x≤5，
∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x，﹣1＜0，对称轴为直线x＝15，
∴当x＝5时，活动区面积最大，此时的布置成本为1850元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，
进一步列不等式（组）解决问题．
题型2：几何问题-动点问题
10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；
同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．
设运动时间为t（s），四边形APQC的面积为S（cm）．
（1）试写出四边形APQC的面积为S（cm）与动点运动时间t之间的函数表达式；
（2）运动时间t为何值时，四边形APQC的面积最小？最小值为多少？
【分析】（1）首先根据题意，表示PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，再根据四边形APQC的面积为S＝
Rt△ABC的面积﹣Rt△PBQ的面积，用t表示四边形的面积；
（2）首先求出自变量的取值范围，根据二次函数的性质确定四边形APQC面积的最小值．
【解答】解：（1）根据题意，得PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，
S＝ ﹣＝6﹣t（3﹣t）
＝t2﹣3t+6；
（2）S＝t2﹣3t+6（0＜t＜2），
∵a＝1，
∴S＝﹣ ＝ 时，S有最小值，S＝ ，
∴当t为 cm时，四边形APQC的面积最小，最小值为 cm2．
【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用t表示四边形的面积是
解题关键．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，
点Q以点B开始沿边BC向点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一点到达终
点时，另一个点随即停止移动．
（1）经过几秒，△PBQ的面积等于18cm2？
（2）在运动过程中，经过几秒时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
【分析】（1）根据题意表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于18列式求值即可；
（2）根据三角形的面积公式列出S关于t的函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设经过t（0≤t≤5）秒时间，此时PB＝10﹣2t，BQ＝3t，当△PBQ面积等于18cm2
时，
根据题意得： （10﹣2t）×3t＝18，
解得t ＝2，t ＝3，
1 2
经检验，均符合题意．
∴经过2s或3s后，APBQ的面积等于18cm；（2）设运动时间为t秒，则S△PBQ ＝ PB•BQ＝ （10﹣2t）×3t＝﹣3t2+15t＝﹣3（t﹣2.5）2+ ，
∴当t＝2.5时，S△PBQ 最大，最大值为 ，
∴经过2.5秒时，△PBQ的面积最大，最大面积为 cm2．
【点评】此题考查了二次函数求最值、一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一
元二次方程．
12．在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，
设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0）
（1）写出y与x之间的函数解析式；
（2）直接写出△APD的面积的最大值．
【分析】（1）分三种情况：点P在AB上运动，点P在BC上运动，点P在CD上运动，分别求出y与
x之间的函数解析式即可；
（2）画出函数图象，观察图象可得答案．
【解答】解：（1）当点P在AB上运动时，即0≤x＜3时，y＝ ×AD×AP＝ ×4×x＝2x；
当点P在BC上运动时，即3≤x＜7时，y＝ ×AD×AB＝ ×4×3＝6；
当点P在CD上运动时，即7≤x≤10时，y＝ ×AD×PD＝ ×4×（10﹣x）＝﹣2x+20，
综上所述，y＝ ；
（2）函数图象如下：由图象可得，y最大为6，
∴△APD的面积的最大值是6．
【点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想
方法．
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的
速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同
时出发，设运动时间为t，
（1）AP＝ 2 tcm ，BP＝ （ 1 2 ﹣ 2 t ） cm ，BQ＝ 4 tcm ；
（2）t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？
（3）t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
【分析】（1）根据题意得出即可；
（2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可；
（3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
所以BP＝（12﹣2t）cm，
故答案为：2tcm，（12﹣2t）cm，4tcm；（2）△PBQ的面积S＝
＝ （12﹣2t）×4t
＝﹣4t2+24t＝32，
解得：t＝2或4，
即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2；
（3）S＝﹣4t2+24t
＝﹣4（t﹣3）2+36，
所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2．
【点评】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出 S与x的函数关系式是解此题的
关键．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s的速
度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：
（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于 ？
（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？
（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？
【分析】（1）可设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2 cm，根据勾股定理列出方程求解即
可；
（2）可设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，根据三角形的面积公式列出方程求解即可；
（3）根据题意得到△PQC面积和时间t的关系式，根据关系式即可得到结论．
【解答】解：（1）设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2 cm，依题意有
x2+（12﹣2x）2＝（2 ）2，
解得x ＝2，x ＝7.6（不合题意舍去）．
1 2答：出发2s时间时，点P，Q之间的距离等于2 cm；
（2）设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，依题意有
y（12﹣2y）＝6，
解得y ＝3﹣ ，y ＝3+ ．
1 2
答：出发（3﹣ ）s或（3+ ）s时间时，△PQC的面积为6cm2；
（3）依题意有S△PQC ＝ t（12﹣2t）＝﹣（t﹣3）2+9，
∵﹣1＜0，
∴△PQC面积的有最大值9，此时时间是3．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
15．如图，在矩形ABCD中，BC＝6cm，AB＝4cm，S是AD中点，点E以每秒2cm的速度从点B出发沿折
线BS﹣SD﹣DC匀速运动，同时点F以每秒1cm的速度从点C出发沿CB运动．设点E、F出发t秒（0
＜t＜6）时，△EBF的面积为ycm2．
（1）求y与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，y取得最大值，并求出此最大值．
【分析】（1）分点E在BS上、点E在SD上和点E在DC上讨论解答即可；
（2）根据（1）的结论解答即可．
【解答】解：（1）点E在BS上（当0＜t≤2.5时）， ，
点E在SD上（当2.5≤t≤4时），y＝12﹣2t；
点E在DC上（当4≤t≤6时），y＝t2﹣12t+36；
（2）当0＜t≤2.5时， ，对称轴t＝3，y随x的增大而增大，∴t＝2.5，y的最大值为7；
当2.5≤t≤4时，y＝12﹣2t，是减函数，
∴t＝2.5时，y有最大值为7；
当4≤t≤6时，y＝t2﹣12t+36，对称轴为t＝6，y随x的增大而减小，
∴t＝4，y有最大值为4．
综上所述，t＝2.5时，y有最大值为7．
【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读
懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结
合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．
16．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，且AO＝8，BO＝6，P是线段AB上一个动点，PE⊥AO于E，
PF⊥BO于F．设
PE＝x，矩形PFOE的面积为S
（1）求出S与x的函数关系式；
（2）当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？
【分析】（1）根据矩形的对边相等可得OF＝PE＝x，然后利用∠B的正切值求出PF，再根据矩形的面
积公式列式整理即可得解；
（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：（1）在矩形PFOE中，OF＝PE＝x，
∵AO＝8，BO＝6，
∴tanB＝ ＝ ，
即 ＝ ，
解得PF＝ （6﹣x），
∴矩形PFOE的面积为S＝PE•PF＝x• （6﹣x）＝﹣ x2+8x，即S＝﹣ x2+8x；
（2）∵S＝﹣ x2+8x＝﹣ （x2﹣6x+9）+12＝﹣ （x﹣3）2+12，
∴当x＝3时，矩形PFOE的面积S最大，最大面积是12．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，矩形的性质与锐角的正切的利用，（2）把二次函数的解析
式转互为顶点式形式是解题的关键．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点
B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．
（1）当PQ∥AD时，求x的值；
（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；
（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S
关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ求x即可；
（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性
质来求x的取值范围；
（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．
【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则
∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，
又∵AB∥CD，
∴四边形APQD是矩形，
∴AP＝QD，
∵AP＝CQ，
AP＝ CD＝ ，∴x＝4．
（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．
∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，
∴y＝ ．
∵0≤y≤6，
∴0≤ ≤6，
∴ ≤x≤ ．
（3）S△BPE ＝ •BE•BP＝ • •（8﹣x）＝ ，
S△ECQ ＝ ＝ •（6﹣ ）•x＝ ，
∵AP＝CQ，
∴S ＝ ，
BPQC
∴S＝S
BPQC
﹣S△BPE ﹣S△ECQ ＝24﹣ ﹣ ，
整理得：S＝ ＝ （x﹣4）2+12（ ），
∴当x＝4时，S有最小值12，
当x＝ 或x＝ 时，S有最大值 ．
∴12≤S≤ ．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是
一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．
题型3：利润问题
18．某种产品按质量不同分等级，生产最低档次产品每件获利润 8元，每提高一个档次，每件利润增加2
元．用同样工时每天可生产最低档次产品800件，每提高一个档次将减产40件，求生产何种档次产品
的利润最高？
【分析】档次提高时，带来每件利润的提高，销售量下降，设生产第x档次时获得产品的利润为y元，
每件利润为[8+2（x﹣1）]元，销售量为[800﹣40（x﹣1）]件，根据：利润＝每件利润×销售量列函数式，
化成顶点式即可．
【解答】解：设生产第x档次时获得产品的利润为y元，则
∵生产最低档次产品每件获利润8元，每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时每天可生产最
低档次产品800件，每提高一个档次将减产40件，
∴y＝[8+2（x﹣1）][800﹣40（x﹣1）]＝﹣80（x﹣9）2+11520，
∵当x＝9时，y有最大值，
所以，生产第九档次产品获利润最大．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，解题的关键是能够从实际问题中
抽象出二次函数模型，难度不大．
19．小明在“生活中的数学”探究活动中，经过市场调查，研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变
化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示．
时间x（天） 1≤x＜30 30≤x≤50
售价（元/件） x+40 70
每天销量（件） 100﹣2x
已知该商品的进价为每件10元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）根据题意可以分别求得1≤x＜50和50≤x≤90时的y与x的函数关系式；
（2）根据题意可以分别求得两段的函数的最大值，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）当1≤x＜30时，y＝（100﹣2x）（x+40﹣10）＝﹣2x2+40x+3000，
当30≤x≤50时，y＝（100﹣2x）（70﹣10）＝﹣120x+6000，
综上所述：y与x的函数关系式为y＝ ；
（2）当1≤x＜30时，
二次函数y＝﹣2x2+40x+3000＝﹣2（x﹣10）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝10时，y最大 ＝3200，
当30≤x≤50时，
y＝﹣120x+6000中y随x的增大而减小，
∴当x＝30时，y最大 ＝2400，
综上所述，该商品第10天时，当天销售利润最大，最大利润是3200元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20．“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价8元/千克，经过市场调查，该产品的日
销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组
对应值如表：
销售单价x（元/千克） 12 16 20
日销售量y（千克） 220 180 140
（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）设日销售利润为W，求出W与x的函数关系式；（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价−成本
单价）
（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利
润不低于1500元，试确定该产品销售单价的范围．
【分析】（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，由待定系数法求解即可；
（2）根据日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）写出函数关系式；
（3）根据题意得﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500，变形得出关于x的二次不等式，然后解一元二次方程，
再根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将（12，220），（16，180）代入得：，
解得： ．
∴y＝﹣10x+340；
（2）由题意得：W＝（﹣10x+340）（x﹣8）＝﹣10x2+420x﹣2720，
∴W与x的函数关系式是W＝﹣10x2+420x﹣2720；
（3）由题意得：﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500，
∴x2﹣42x+432≤0，
当x2﹣42x+432＝0时，
解得：x ＝18，x ＝24，
1 2
∵函数y＝x2﹣42x+432的二次项系数为正，图象开口向上，
∴当18≤x≤24时，x2﹣42x+432≤0，即﹣10x2+420x﹣2720﹣100≥1500，
∴该产品销售单价的范围为18≤x≤24．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量
关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
21．某科技公司生产一款精密零件，每个零件的成本为80元，当每个零件售价为200元时，每月可以售出
1000个该款零件，若每个零件售价每降低5元，每月可以多售出100个零件，设每个零件售价降低x元，
每月的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）为了更好地回馈社会，公司决定每销售 1个零件就捐款 n（0＜n≤6）元作为抗疫基金，当
40≤x≤60时，捐款后每月最大的销售利润为135000元，求n的值．
【分析】（1）根据销售利润＝单件利润×销售量列出函数解析式即可；
（2）根据销售利润﹣捐款额列出函数解析式，再根据函数的性质结合x的取值范围求值即可．
【解答】解：（1）设每个零件售价降低x元，则每个零件的实际售价为（200﹣x）元，
每月的实际销售量为（1000+ ×100），
则w＝（200﹣x﹣80）（1000+ ×100）＝20x2十1400x+120000，
∵ ，
∴0≤x≤120，∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣20x2+1400x+120000（0≤x≤120）；
（2）设捐款后的实际利润为p元，
则p＝﹣20x2+1400x+120000﹣（1000+ ×100）n，
整理得：p＝﹣20x2+（1400﹣20n）x+120000﹣1000n，
则p是x的二次函数，其对称轴为直线x＝﹣ ＝ ，
∵0＜n≤6，
∴32≤ ＜35，
∵﹣20＜0，
∴函数图象开口向下，当40≤x≤60时，p随x的增大而减小，
∴当x＝40时，p有最大值135000，
即﹣20×402+40（1400﹣20n）+120000﹣1000n＝135000，
解得：n＝5．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意列出函数解析式．
22．我市某卖场的一专营柜台，专营一种电器，每台进价60元，调查发现，当销售价80元时，平均每月
能售出1000台；当销售价每涨1元时，平均每月能少售出10台；该柜台每月还需要支出20000元的其
它费用．为了防止不正当竞争，稳定市场，市物价局规定：“出售时不得低于80元/台，又不得高于
180元/台”，设售价为x元/台时，月平均销售量为y台，月平均利润为w元．
（1）求y与x的函数关系式，w与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（2）每台售价多少元时，月销售利润最高，最高为多少元．
【分析】（2）根据题意直接得出结论；
（2）根据抛物线的性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：y＝1000﹣10（x﹣80）＝1800﹣10x（80≤x≤180），
w＝（x﹣60）（1800﹣10x）﹣20000＝﹣10x2+2400x﹣128000（80≤x≤180）；
（2）w＝﹣10x2+2400x﹣128000＝﹣10（x﹣120）2+16000，
∵﹣10＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当每台售价120元时，月销售利润最高，最高为16000元．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
23．某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，且当
x＝15时，y＝50；当x＝17时，y＝30．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，然后代值求解即可；
（2）设每天获得的利润为w元，由（1）可得w＝﹣10（x﹣16）2+160进而根据二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由题意得： ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+200；
（2）设每天获得的利润为w元，
由（1）可得：w＝（x﹣12）（﹣10x+200）＝﹣10x2+320x﹣2400＝﹣10（x﹣16）2+160，
∵12≤x≤18，且﹣10＜0，
∴当x＝16时，w有最大值，最大值为160．
答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题
的关键．
24．为扩大销售，某乡镇农贸公司在某平台新开了一家网店进行线上销售．在对一种特产（成本为 10
元/千克）在网店试销售期间发现每天销售量y（千克）与销售单价x（元）大致满足如图所示的函数关
系（其中14≤x≤25）．
（1）写出y关于x的函数解析式，并求x＝20时，农贸公司每天销售该特产的利润；
（2）设农贸公司每天销售该特产的利润为W元，当销售单价x为多少元时，W最大？最大是多少元？
【分析】（1）设出y关于x的函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据每千克的利润×销售量＝总利润列出函数解析式，用函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式y＝kx+b（k≠0），
将（14，320），（25，210）代入得 ，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+460；
当x＝20时，y＝﹣10×20+460＝260，
农贸公司每天销售该特产的利润为（20﹣10）×260＝2600（元），
∴当x＝20时，农贸公司每天销售该特产的利润为2600元；
（2）由题意得：W＝（x﹣10）（﹣10x+460）＝﹣10x2+560x﹣4600＝﹣10（x﹣28）2+3240，
∵﹣10＜0，
∴当x＜28时，W随x的增大而增大，
∵14≤x≤25，
∴当x＝25时，W最大，最大值为3150，
∴当销售单价x为25元时，W最大，最大是3150元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键．
25．某公司把一种原料加工成产品进行销售，已知某月共加工原料 x吨，恰好生产相同吨数的产品并能完
全销售．每吨原料的加工成本Q（万元）与x（吨）满足关系式：Q＝ax+ ﹣30（其中a，b均为常数），
且经过统计得到如下数据：
x（吨） 30 60
Q（万元） 70 35
（1）求a、b的值；
（2）若该月的加工总成本为2052万元，求x的值；
（3）若生产的产品每吨售价为60万元，则该月可获得的最大利润是多少万元？
【分析】（1）把表格中的数据代入关系式Q＝ax+ ﹣30即可；
（2）根据（ x+ ﹣30）•x＝2052计算即可；
（3）列出函数关系式，化为顶点式求解即可．【解答】解：（1）由题意得 ，
解得 ，
（2）由题意得，（ x+ ﹣30）•x＝2052，
整理得， x2﹣30x+648＝0，
解得x ＝54，x ＝36，
1 2
∴当该月的加工总成本为2052万元时，x的值为54或36；
（3）设该月可获得的利润为W万元，
由题意得，W＝60x﹣（ + ﹣30）x＝﹣ （x﹣135）2+3375，
∴当x＝135时，该月可获得的最大利润为3375万元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，正确列出式子是解答本题的关键．
26．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是出价x（元/件）的一次函数，
其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 50 60 80
周销售量y（件） 100 80 40
周销售利润w（元） 1000 1600 1600
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当售价是多少元/件时，周销售利润最大，此时最大利润是多少元．
【分析】（1）根据表格中的数据代入一次函数解析式即可；
（2）根据销售问题的关系式列出二次函数即可求解．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得 ，
解得 ，
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200；（2）设周销售利润为w元，
∵进价为50﹣（1000÷100）＝40（元），
∴w＝（﹣2x+200）（x﹣40）
＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝70时，w最大，最大值为1800，
∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解决本题的关键是掌握函数相关问题．
题型4：抛物线形问题
27．如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为4m．
（1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；
（2）当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再
过多长时间此桥孔将被淹没？
【分析】（1）建立如图所示坐标系，根据题意设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把A点坐标代入解析式
求出a即可；
（2）首先求出警戒水位到桥面的距离，再求出时间t．
【解答】解：（1）以水面所在直线AB为x轴，以过拱顶垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，
如图所示：
∴A（﹣10，0），C（0，4），
设二次函数的解析式为y＝ax2+4（a≠0），
把点A坐标代入解析式得：100a+4＝0，
解得：a＝﹣ ，
∴这个函数的表达式为：y＝﹣ x2+4；（2）当水面宽10m时，即x＝5时，y＝﹣ ×52+4＝3，
此时水面离拱顶4﹣3＝1（m），
1÷0.2＝5（h），
答：达到警戒水位后，再过5h此桥孔将被淹没．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，应用函数问题解决实际问题，难度适中．
28．2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳
台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图
所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为
2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即 ＝ ）．
求：（1）点A的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）
（参考数据： ≈1.73）
【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论；
（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；
（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐标减去DE
的长可得出结论．
【解答】解：（1）∵OA＝4，且点A在y轴正半轴，
∴A（0，4）．
（2）∵抛物线最高点B的坐标为（4，12），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+12，
∵A（0，4），∴a（0﹣4）2+12＝4，解得a＝﹣ ．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ （x﹣4）2+12．
（3）在Rt△CDE中， ＝ ，CD＝2.5，
∴CE＝1.5，DE＝2．
∴点D的纵坐标为﹣1.5，
令﹣ （x﹣4）2+12＝﹣1.5，
解得，x＝4+3 ≈9.19或x＝4﹣3 ≈﹣1.19（不合题意，舍去），
∴D（9.19，﹣1.5）．
∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．
∴OC的长约为7.2米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相关
内容，得出点D的坐标是解题关键．
29．如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，以DC所在的
直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面
距离为4米．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）在距离地面 米高处，隧道的宽度是多少？
（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高 3.6米，宽2.4米，这辆货
运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【分析】（1）抛物线的解析式为y＝ax2+1，根据D点的坐标由待定系数法就可以求出结论；（2）当y＝ 时代入（1）的解析式，求出x的值即可求出结论；
（3）方法同（2）．
【解答】解：（1）根据题意得：D（﹣2，0），C（2，0），E（（0，1），
设抛物线的解析式为y＝ax2+1（a≠0），
把D（﹣2，0）代入得：4a+1＝0，
解得a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+1；
（2）在y＝﹣ x2+1中，令y＝ ﹣3＝ 得：
＝﹣ x2+1，
解得x＝± ，
∴距离地面 米高处，隧道的宽度是2 m；
（3）这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下：
在y＝﹣ x2+1中，令y＝3.6﹣3＝0.6得：
0.6＝﹣ x2+1，
解得x＝± ，
∴|2x|＝ ≈2.53（m），
∵2.53＞2.4，
∴这辆货运卡车能通过该隧道．
【点评】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答
时求出二次函数的解析式是关键．
30．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一
个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．
（1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式；
（2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？（3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，
且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后
水管的最大长度．
【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，3），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
将（0，2.25）代入得，求出a的值即可；
（2）令y＝0，得，0＝﹣ （x﹣1）2+3，解得x＝﹣1（舍）或x＝3，可得直径至少为2×3＝6（米）；
（3）将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点（2.5，0），设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣
（x﹣1）2+h，将（2.5，0）代入得求出h的值，得出平移后的抛物线的解析式，再令x＝0求出y即可．
【解答】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
将（0，2.25）代入得，a（0﹣1）2+3＝2.25，
解得a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ （x﹣1）2+3．
（2）令y＝0，得，0＝﹣ （x﹣1）2+3，
解得x＝﹣1（舍）或x＝3，
∵2×3＝6（米），
∴水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外．
（3）将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点（2.5，0），
设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣ （x﹣1）2+h，将（2.5，0）代入得，﹣ （2.5﹣1）2+h＝0，
解得h＝ ，
当x＝0时，y＝﹣ （0﹣1）2+ ＝ ．
∴调整后水管的最大长度 米．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解
析式是解题关键．
31．跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳
子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立
点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子
所对应的抛物线解析式为 ．
（1）求绳子所对应的抛物线解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
（3）身高1.64m的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手sm，为确保绳子能通过他的头顶，
请求出s的取值范围．
【分析】（1）把（0，1），（4，1）代入抛物线 ，得到二元一次方程组，解方程组即
可；
（2）由自变量的值求出函数值，再比较便可；
（3）由y＝1.64时求出其自变量的值，便可确定s的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，抛物线 经过点（0，1），（4，1）．∴
解得
∴绳子所对应的抛物线解析式为：y＝ ．
（2）身高1.70m的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
理由如下：
∵y＝ ，当x＝ 时，
y最大值＝ ＝ ＜1.7．
∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
（3）当y＝1.64时， ＝1.64，
即x2﹣4x﹣3.84＝0，
解得x＝ ＝ ．
∴x ＝2.4，x ＝1.6．
1 2
∴1.6＜s＜2.4．
【点评】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式
由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标和应用二
次函数解析式解决实际问题．
32．如图①是气势如虹、古典凝重的开封北门，也叫安远门，有安定远方之寓意．其主门洞的截面如图
②，上部分可看作是抛物线形，下部分可看作是矩形，边AB为16米，BC为6米，最高处点E到地面
AB的距离为8米．（1）请在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．
（2）该主门洞内设双向行驶车道，正中间有 0.6米宽的双黄线．车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压
双黄线，并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6米的空隙（安全距离），试判断一辆大型货运汽车装载
某大型设备后，宽3.7米，高6.6米，能否安全通过该主门洞？并说明理由．
【分析】（1）根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后设出抛物线解析式，即可求得该抛物线
的解析式；
（2）根据题目中的数据，将x＝3.7+0.3＝4代入（1）中的抛物线解析式，然后计算出相应的y的值，
再与6.6+0.6＝7.2比较大小，即可解答本题．
【解答】解：（1）建立的平面直角坐标系如右图所示，
由题意可得，点E的坐标为（0，8），点D的坐标为（﹣8，6），
设抛物线的解析式为y＝ax2+8，
∵点D在该函数图象上，
∴6＝a×（﹣8）2+8，
解得a＝﹣ ，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣ x2+8；
（2）这辆大型货运汽车能安全通过该主门洞，
理由：将x＝3.7+0.3＝4代入y＝﹣ x2+8，
得：y＝﹣ ×42+8＝7.5，
∵7.5＞6.6+0.6，
∴这辆大型货运汽车能安全通过该主门洞．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，画出合适的平面直角坐标系，利用数
形结合的思想解答．
33．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水
柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设
抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的
高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头
顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【分析】（1）由抛物线顶点（5，3.2），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，用待定系数法可得
抛物线的表达式为y＝﹣ x2+x+ ；
（2）当y＝1.6时，﹣ x2+x+ ＝1.6，解得x＝1或x＝9，即得她与爸爸的水平距离为2m或6m．
【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点为（5，3.2），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+3.2，将（0，0.7）代入得：
0.7＝25a+3.2，
解得a＝﹣ ，∴y＝﹣ （x﹣5）2+3.2＝﹣ x2+x+ ，
答：抛物线的表达式为y＝﹣ x2+x+ ；
（2）当y＝1.6时，﹣ x2+x+ ＝1.6，
解得x＝1或x＝9，
∴她与爸爸的水平距离为3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），
答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2m或6m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
34．如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面 AB
的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离AE＝x米，点E到拱桥顶面的垂直距离EF＝y米．
通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表：
x（米） 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y（米） 0 1.75 3 3.75 4 3.75 3 1.75 0
（1）拱桥顶面离水面AB的最大高度为 米；
（2）请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线
连接；
（3）测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升 1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为 4
米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于 0.5米．结
合所画图象，请判断该游船是否能安全通过： （填写“能”或“不能”）．
【分析】（1）根据表格中是数据可得答案；
（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，建立坐标系可得图象；
（3）根据图象可得x＝2时，y＝3，结合船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米，即可得出结论．
【解答】解：（1）由表格得，拱桥顶面离水面AB的最大高度为4米，
故答案为：4；（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标；
如图所示；
（3）由图象知，当x＝2时，y＝3，
∵1+2+0.5＝3.5＞3，
∴该游船是不能安全通过．
故答案为：不能．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系
数法是解题的关键．
35．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如
果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有二次函数关系．
小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示．
根据相关信息解答下列问题．
飞行时间t/s 0 1 2
飞行高度h/m 0 15 20
（1）求小球的飞行高度h（单位：m）关于飞行时间t（单位：s）的二次函数关系式．
（2）小球从飞出到落地要用多少时间？
（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）设该二次函数解析式为h＝at2+bt，将（1，15）、（2，20）代入求出a、b的值即可；
（2）当h＝0时，0＝20t﹣5t2，解方程即可解答；
（3）当h＝20.5，得方程20.5＝20t﹣5t2，解方程即可解答．
【解答】解：（1）∵抛物线过原点（0，0），
∴设该二次函数解析式为h＝at2+bt，将（1，15）、（2，20）代入，得： ，
解得 ，
∴小球的飞行高度h关于飞行时间t的二次函数关系式为h＝﹣5t2+20t；
（2）小球飞出和落地时的高度都为0，令h＝0，
得方程：0＝20t﹣5t2，
解这个方程得：t ＝0，t ＝4，
1 2
所以小球从飞出到落地要用4s．
（3）令h＝20.5，得方程20.5＝20t﹣5t2，
整理得：t2﹣4t+4.1＝0，
因为（﹣4）2﹣4×4.1＜0，
所以方程无实数根，
所以小球的飞行高度不能达到20.5m；
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
