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专题强化训练二：二次函数大题题型训练
题型一：线段问题
1．（2022·湖北·武汉市实验初级中学九年级阶段练习）如图1，抛物线y＝a +b经过A（−1，0），C
（2，−3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．
(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)如图2，若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式；
(3)如图2，过点P（m，0）作x轴的垂线（1≤m≤2），分别交平移前后的抛物线于点E，F，交直线OC于点G，求
证：PF＝EG．
2．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点 ，点 ，与y轴交于
点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使 的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 是以 为腰的等腰直角三角形
时，请直接写出所有点M的坐标．
题型二：面积问题3．（2022·江苏·沛县教师发展中心九年级阶段练习）如图，抛物线 过 ， 两点，点C、B
关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线 轴，交x轴于点H．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求 的面积；
(3)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当 为等腰直角三角形时，点N的坐标为______．
4．（2022·浙江温州·九年级期中）如图，抛物线 （a，b是常数）经过点 ， ，交y轴
于点C，过点C作x轴的平行线CD，交抛物线于另一点D．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)连结BC交该拋物线对称轴于点P，连结PD，求 PCD的面积．
△
题型三：角度问题
5．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，抛物线 与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限
内抛物线上的一点且横坐标为m．(1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________；
(2)连接 ，交线段 于点D，
①当 与x轴平行时，求 的值；
②当 与x轴不平行时，求 的最大值；
(3)连接 ，是否存在点P，使得 ，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
6．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点
C，已知 ．
(1)求m的值和直线对应的函数表达式；
(2)P为抛物线上一点，若S PBC=S ABC，请直接写出点P的坐标；
△ △
(3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标．
题型四：特殊三角形问题
7．（2022·辽宁·阜新市第四中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与
轴交于 、 两点，与 轴交于 ， 点在原点的左侧， 点的坐标为 ．点 是抛物线上一个动点，且在直线 的上方．
(1)求这个二次函数及直线 的表达式．
(2)过点 做 轴交直线 于点 ，求 的最大值．
(3)点 为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点 ，使 为等腰直角三角形，且 为直角，
若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，抛物线：y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴
交于点C（0，-2）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点P在抛物线：y＝ax2+bx+c上移动，点Q在直线l：x＝﹣4上移动，在运动过程中，是否存在 PAQ是以点
P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． △
题型五：特殊四边形问题
9．（2022·福建省福州屏东中学三模）如图，抛物线 与 轴交于点 ，对称轴交 轴于点 ，
点 是抛物线在第一象限内的一个动点， 交 轴于点 ，交 轴于点 ， 轴于点 ，点 是抛物
线的顶点，已知在点 的运动过程中， 的最大值是 ．(1)求点 的坐标与 的值；
(2)当点 恰好是 的中点时，求点 的坐标；
(3)连结 ，作点 关于直线 的对称点 ，当点 落在线段 上时，则点 的坐标为______ 直接写出答案
10．（2022·陕西省西安高新逸翠园学校模拟预测）如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝ ，其图象
与直线y＝ x＋2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于
点E，交CD于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P的横坐标为x，当x 为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
0 0
专题强化训练
11．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）在平面直角坐标系 中， 与 轴交于点 ．(1)求点 的坐标以及抛物线的对称轴；
(2)抛物线与直线 交于点 ， ，其中
①当 时，求抛物线的表达式；
②当 时，请直接写出 的取值范围．
12．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）如图1，抛物线 ，交 轴于A、B两点，交 轴
于点 ， 为抛物线顶点，直线 垂直于 轴于点 ，当 时， ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是线段 上的动点（除 、 外），过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ．
①当点 的横坐标为2时，求四边形 的面积；
②如图2，直线 ， 分别与抛物线对称轴交于 、 两点．试问， 是否为定值？如果是，请求出
这个定值；如果不是，请说明理由．
13．（2022·湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学九年级阶段练习）如图，抛物线 与x轴相交于点A、点
B，与y轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
(3)点F是抛物线上的动点，作 交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2022·全国·九年级单元测试）如图，抛物线 交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴
是直线x＝2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
15．（2022·湖北武汉·九年级期中）如图，抛物线y＝ax2＋3ax＋4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y
轴交于点C，且S ABC＝10，点P为第二象限内抛物线上的一点，连接BP．
△(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，若∠BPD＝2∠BCO，求 的值；
(3)如图2，设BP与AC的交点为Q，连接PC，是否存在点P，使S PCQ＝S BCQ？若存在，求出点P的坐标；若
△ △
不存在，请说明理由．
16．（2022·陕西·西安爱知初级中学模拟预测）已知抛物线 与ｘ轴交于A（－2，0），B（3，0）两
点，与y轴交于点C（0， ）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一个点，点Q是平面内一点，当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为边的菱形时，
求点P的坐标．
17．（2022·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于点A和C（1，0），交
y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段 ，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接 ，求
的最小值；
(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存
在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2022·云南·模拟预测）已知抛物线 的顶点P在x轴上，交y轴于点C，直线y=n交抛物线于
A，B（点A在点B的左侧）两点．(1)求抛物线的解析式；
(2)当n=9时，在抛物线上存在点D，使 ，求点D的坐标．
19．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，抛物线 经过点A(2，0)，B(-2，4)，(-4，
0)，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当ΔABM的面积最大时，求点M的坐标；
(3)若点F为平面内的一点，且以点 为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F的坐标．
20．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校九年级期末）已知二次函数 (m为常数)
(1)当m=2时
①求函数顶点坐标，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．
②若点 和 在其图象上，且 时，则实数t的取值范围是 ．
(2)记二次函数 的图象为G．
①当图象G上有且只有两个点到x轴的距离为2时，求m的取值范围．
②已知矩形ABCD的对称中心为(0，1)，点A的坐标为(-3，3)．记图象G在矩形ABCD内部(包含边界)的最高点P的纵坐标为p，最低点的纵坐标为q，当p-q=4时，直接写出m的取值范围．参考答案：
1．(1) ，顶点坐标为（ ，﹣ ）
(2)抛物线向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，平移后的抛物线解析式为
(3)见解析
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据顶点（ ， ）与（0，﹣2）之间的关系，确定抛物线的平移过程即可；
（3）分别求出G（m， m），F（m， ﹣2），E（m， ），再证明即可．
（1）
解：将A（−1，0），C（2，−3）代入y＝a +b，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴顶点坐标为（ ， ）；
（2）
解：令x＝0，则y＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴抛物线向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，抛物线的顶点为D，
∴平移后的抛物线解析式为 ；
（3）
证明：设直线OC的解析式为y＝kx，
∴2k＝﹣3，∴k ，
∴y x，
∵PF⊥x轴，P（m，0），
∴G（m， m），F（m， ﹣2），E（m， ），
∵1≤m≤2，
∴PF＝ ，EG ，
∴PF＝EG．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，抛物线平移的性质，两点间的距离
求法是解题的关键．
2．(1)
(2)（1，-2）
(3)（-1，0）或（ ，-2）或（ ，2）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线 的对称点E，连接AE，EQ，则点E
的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；
（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可．
（1）
解：∵抛物线 与x轴交于点 ，点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）
解：∵抛物线解析式为 ，与y轴交于点C，∴抛物线对称轴为直线 ，点C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点C关于直线 的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），
由轴对称的性质可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，
设直线AE的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AE的解析式为 ，
当 时， ，
∴点Q的坐标为（1，-2）；
（3）
解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作 轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作
BE⊥EF于E，∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，
设点P的坐标为（1，m），
∴ ，
∴ ， ，
∴点M的坐标为（1-m，m-2），
∵点M在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴点M的坐标为（-1，0）；
同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作 轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF
于F，设点P的坐标为（1，m），
同理可证△PEB≌△BFM（AAS），
∴ ，
∴点M的坐标为（3-m，-2），∵点M在抛物线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴点M的坐标为（ ，-2）；
如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，
同理可以求得点M的坐标为（ ，2）；
综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（ ，-2）或（ ，
2）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
3．(1)
(2)3
(3)（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据抛物线解析式求得对称轴，进而求得点 的坐标，根据三角形面积公式求解即可；
（3）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上
方时，证明△CBM≌△MHN（AAS），即可求得 的坐标，②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，证明
△NEM≌△MDC，③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，同理得△NEM≌△MDC，④以点N为直角顶点且N在y
轴右侧时，同理得ME＝DN＝NH＝3，⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形．
（1）
解：把A（4，0），B（1，3）代入抛物线 中，
得 ，
解得 ，
∴该抛物线解析式为 ；
（2）
解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵点C和点B关于对称轴对称，点B的坐标为（1，3），
∴C（3，3），
∴BC＝2，
∴ ；
（3）
解：以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图3-1所示，∴CM＝MN，∠CMN＝90°，
∴∠HNM+∠HMN=∠HMN+∠BMC=90°，
∴∠BMC=∠HNM，
在△CBM和△MHN中，
，
∴△CBM≌△MHN（AAS），
∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3-2＝1，
∴ON=OH+HN=2，
∴N（2，0）；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3-2所示，
过点M作 轴，过点N作NE⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D，
同理可证△NEM≌△MDC，
∴NE=DM=2，
∴EM＝CD＝5，∵OH＝1，
∴ON＝NH﹣OH＝5-1＝4，
∴N（-4，0）；
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图3-3所示，
过点N作 轴，过点M作ME⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D，
同理得△NEM≌△CDN，
∴ME＝NH＝DN＝3，
∴ON＝3-1＝2，
∴N（-2，0）；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图3-4所示，
过点N作 轴，过点M作ME⊥DE于E，过点C作CD⊥DE于D，
同理得△NEM≌△CDN，
∴ME＝DN＝NH＝3，
∴ON＝1+3＝4，
∴N（4，0）；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上可知当△CMN为等腰直角三角形时N点坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．
【点睛】本题考查了二次函数综合，全等三角形的性质与判定，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，
利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
4．(1)
(2)
【分析】（1）把 ， 两点代入 ，运用待定系数法即可求得答案；
（2）设对称轴与CD交点为点E，先求得OB=OC=3，再由CD x轴，可求得 ，由
对称轴：x=1可得 ，即可求得答案；
（1）
把 ， 两点代入
得： ，
解得： ，
∴该抛物线的表达式 ．
（2）
如图，设对称轴与CD交点为点E，∵该抛物线的表达式 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵CD x轴，
∴ ，
∵抛物线的表达式 的对称轴：x=1，
∴ ，
∴△PCD的面积 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及等腰三角形的性质，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式．
5．(1) ; ;
(2)① ；②
(3)存在点P，
【分析】(1)令x=0，则y=4，令y=0，则 =0，所以x=-2或x=3，由此可得结论；
(2)①由题意可知，P(1，4)，所以CP=1，AB=5，由平行线分线段成比例可知， ．
②过点P作PQ∥AB交BC于点Q，所以直线BC的解析式为：y=- x+4．设点P的横坐标为m，则P(m，-
)，Q( ，- )．所以PQ=m-( )=- ，因为PQ∥AB，所以
= ，由二次函数的性质可得结论；(3)假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP=90°，即0＜m＜3．过点C作CF x轴交抛物线于点F，由
∠BCO+2∠PCB=90°，可知CP平分∠BCF，延长CP交x轴于点M，易证△CBM为等腰三角形，所以M(8，0)，所
以直线CM的解析式为：y=- x+4，令 =- x+4，可得结论．
（1）
解：令x=0，则y=4，
∴C(0，4)；
令y=0，则 =0，
∴x=-2或x=3，
∴A(-2，0)，B(3，0)．
故答案为：(-2，0)；(3，0)；(0，4)．
（2）
解：①∵ 轴， ，
∴ ， ，
又∵ 轴，
∴△CPD∽△BAD
∴ ；
②过P作 交 于点Q，设直线BC的解析式为 ，
把B(3，0)，C(0，4)代入，得
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴△QPD∽△BAD
∴ ，
∴当 时， 取最大值 ；
（3）
解：假设存在点P使得 ，即 ，
过C作 轴，连接CP，延长 交x轴于点M，
∴∠FCP=∠BMC，
∵ ，∴ 平分 ，
∴∠BCP=∠FCP，
∴∠BCP=∠BMC，
∴BC=BM，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ， ， ，
设直线CM解析式为y=kx+b，
把C(0，4)， 代入，得
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 (舍)，
∴存在点P满足题意，即 ．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在性等相关内容，解
本题的关键是求抛物线解析式，确定点P的坐标．
6．(1) ， ；
(2) ， ， ；
(3)
【分析】（1）根据点B的坐标即可求得m的值，然后用待定系数法计算即可；
（2）过点A作BC的平行线 ，联立直线 与抛物线的表达式可求出 的坐标，设出直线 与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线 ，联立方程组即可求出P；
（3）取点 ，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，得
直线 对应的表达式为 ，即可求出结果；
（1）解：将 代入 ，化简得 ，则 （舍）或 ，∴ ，得：
，则 ．设直线 对应的函数表达式为 ，将 、 代入可得 ，
解得 ，则直线 对应的函数表达式为 ．
（2）解：如图，过点A作 ∥BC，设直线 与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线
， 由（1）得直线BC的解析式为 ， ，∴直线AG的表达式为
，联立 ，解得： （舍），或 ，∴ ，由直线AG的表达式可得 ，
∴ ， ，∴直线 的表达式为 ，联立 ，解得： ，，∴ ， ，∴ ， ，
．
（3）解：如图，取点 ，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作
于点 ， ∵ ，∴AD=CD，又∵ ，∴
，∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，
则 ， ．设 ，∵ ， ，∴ ．由 ，则 ，
即 ，解之得， ．所以 ，又 ，可得直线 对应的表达式为 ，设
，代入 ，得 ， ， ，又 ，则
．所以 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，结合一元二次方程求解是解题的关键．
7．(1)二次函数的表达式为 ，直线 的表达式为 ；
(2)(3)存在，点 的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ，
）．
【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数和直线BC的解析式；
（2）设动点P的坐标为（x， ），则点D的坐标为（x， ），PD＝ ，由二次函数的性质
可得出答案；
（3）分情况讨论：①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作
NE⊥MF于点E，证明 MEN≌ OFM（AAS），可得OF＝EM＝1，设点M坐标为（1，a），可得NE＝MF＝a，
则N（1-a，1+a），把△点N坐标△代入二次函数解析式求出a的值，可得此时点 的坐标；②当点M在x轴上方，
点N在对称轴右侧时，③当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，
同理可求点 的坐标．
（1）
解：把点B，点C的坐标代入解析式 中，
得： ，
解得： ，
∴二次函数得表达式为 ；
设BC的函数表达式为y=kx+b，
把点B，点C的坐标代入可得： ，
解得： ，
∴直线BC的函数表达式为： ；
（2）
如图，∵ 轴，∴点P和点D的横坐标相同，
设动点P的坐标为（x， ），则点D的坐标为（x， ），
PD＝ ，
当x= 时，PD有最大值 ；
（3）
分情况讨论：
①当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NE⊥MF于点E，
∵ 为等腰直角三角形，且 为直角，
∴NM＝MO，∠NMO＝90°，
∴∠NME＋∠OMF＝90°，
∵∠NME＋∠MNE＝90°，
∴∠MNE＝∠OMF，
又∵∠MEN＝∠OFM＝90°，
∴△MEN≌△OFM（AAS），
∴OF＝EM，MF＝NE，
∵二次函数 的对称轴为直线 ，
∴OF＝EM＝1，
设点M坐标为（1，a），则NE＝MF＝a，
∴N（1-a，1+a），
∵点N在抛物线 上，
∴ ，
整理得： ，解得： ，
∴N（ ， ），
②当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，如图2，
同理可得：点N坐标为（ ， ）；
③当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，如图3，
同理可得：点N坐标为（ ， ）；
④当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，如图4，
同理可得：点N坐标为（ ， ）；
综上，点 的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ，
）．【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，等腰直角三
角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数图象上点的坐标特征，其中第（3）问有一定难度，能够正确
分类讨论是解题的关键．
8．(1)
(2)符合条件的点P的坐标是（ ， ），（ ， ），（-2，-2），（ ， ）
【分析】（1）先由点C得到c的值，然后代入点A和点B求得a和b的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）分情况讨论，①点P在x轴下方抛物线上时，过点P作MN∥x轴，交直线l于点M，过点A作AN⊥MN于点
N，则由 APQ是等腰直角三角形证明 ANP≌△PMQ，进而利用全等三角形的性质得到点P的坐标；②当点P在x
轴上方且△在对称轴右侧抛物线上时，过△点P作M'N'⊥x轴于点N'，过点Q作QM'⊥M'N'于点M'，然后证明
QM'P≌△PN'A，进而由全等三角形的性质得到点P的坐标；③当点P在x轴上方且在对称轴左侧抛物线上时，过
△点P作MN⊥l于点M，过点A作AN⊥MN于点N，然后证明 QMP≌△PNA，进而由全等三角形的性质得到点P的坐
标． △
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，-2）∴当x＝0， 时，c＝-2．又∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（1，
0），B（-3，0）∴ ， ∴ ∴抛物线的解析式为： ；
（2）设P（m， ），Q（-4，n），①当P点在x轴上方移动时，过P点作PM垂直于直线l于点M，过A点作AN垂直于MP的延长线于点N，如图1所示：
∵A（1，0），∵△PAQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠APQ＝90°，AP＝PQ，则∠PMQ＝∠ANP＝
90°，∠MPQ＝∠NAP，在 PQM和 APN中， ，∴△PQM≌△APN，∴PM＝AN，∵PM＝AN＝
△ △
，根据A点坐标可得PN＝1-m，且PM+PN＝1-(-4)=5，∴ +1-m＝5， 解得： ＝
(舍) ， = ，∴P（ ， ）．当P点在x轴上方移动时，过P点作PM垂直
于直线l于点M，过A点作AN垂直于MP的延长线于点N，如图2所示：
同理可得 PQM≌△APN，∵PM＝AN＝ ，根据A点坐标可得PN＝m -1，∴ ＝5+ m
△
-1， 解得： ＝ ， = (舍) ，∴P（ ， ）．②当P点在x轴下方移动时，
如图3，过P点作PM垂直于直线l于点M，过A点作AN垂直于MP的延长线于点N， 同理可得 PQM≌△APN，
△∴PM＝AN，∴PM＝ ，AN＝-（ ），则4+m＝-（ ），解得 ，
.∴P（-2，-2）或（ ， ）．综上可得，符合条件的点P的坐标是（ ， ），（
， ），（-2，-2），（ ， ）．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的
判定与性质，解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征．
9．(1)B（2，0），a＝ ；
(2)E（ ，0）；
(3)E（ ，0）．
【分析】（1）求出抛物线对称轴为x＝2，可得点B的坐标为（2，0），由题意可证明 DEF是等腰直角三角形，
可得EF的最大值为4，即MB＝4，将抛物线解析式化成顶点式，进而得出2−4a＝4，即△可求出a的值；
（2）求出直线CD的表达式，再与抛物线解析式联立，求出交点横坐标即可得出点E的坐标；
（3）设点F（x， ），则点E（x，0），证明四边形FPDE是正方形，可得点P的坐标为（
， ），求出直线AM的表达式，将点P坐标代入求出x的值，即可得出点E的坐标．
（1）
解：抛物线 与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，
∵当x＝0时，y＝2，∴A（0，2），
∵对称轴为x＝− ＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝45°，
∵FC⊥AB交y轴于点C，交x轴于点D，EF⊥x轴于点E，
∴∠FDE＝∠DFE＝45°，
∴DF＝ EF，
∵FD的最大值是 ，
∴EF的最大值为4，
∴MB＝4，
∵ ，
∴2−4a＝4，
∴a＝ ；
（2）
∵点D恰好是OB的中点，
∴D（1，0），
∵∠CDO＝∠FDE＝45°，
∴OC＝OD＝1，
∴点C的坐标为（0，−1），
设直线CD的表达式为y＝kx＋b（k≠0），
代入C（0，−1），D（1，0）得： ，
解得： ，
∴直线CD的表达式为：y＝x−1，
由（1）知抛物线解析式为 ，联立 ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴点E的坐标为（ ，0）；
（3）
：
设点F（x， ），则点E（x，0），
∵EF＝ED，
∴点D的横坐标为：x−（ ）＝ ，
如图，点 与点 关于直线 对称，连接DP、FP、PE，
∴DF垂直平分PE，
∴FP＝FE，DP＝DE，
∵EF＝ED，
∴FP＝FE＝DP＝DE，
∴四边形FPDE是菱形，
又∵∠FED＝90°，
∴菱形FPDE是正方形，
∴点P的坐标为（ ， ），
∵A（0，2），M（2，4），
设直线AM的表达式为y＝mx＋n，
代入A（0，2），M（2，4），得 ，
解得： ，
∴直线AM的表达式为y＝x＋2，
当点P落在线段AM上时，有 ，
解得：x＝ 或x＝ （舍去），∴点E的坐标为（ ，0），
故答案为：（ ，0）．
【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性
质，直线与抛物线的交点，轴对称的性质，正方形的判定和性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是证出
DEF是等腰直角三角形．
△
10．(1)
(2)x＝1或2或
0
【分析】（1）根据对称轴和C点坐标即可确定抛物线解析式；
（2）因为OC和PE都垂直于x轴，所以只要PF＝OC就能确定以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，求
出此时x 的值即可．
0
（1）
解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝ ，
∴对称轴x＝ ＝ ＝ ，
∴b＝ ，
又∵直线y＝ x+2与y轴交于C，
∴C（0，2），
∵C点在抛物线上，
∴c＝2，即抛物线的解析式为 ；
（2）
解：∵点P的横坐标为x，且在抛物线上，
0
∴P ，
∵F在直线y＝ x+2上，
∴F（x， x+2），
0 0
∵PF∥CO，
∴当PF＝CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
①当0＜x＜3时，
0
PF＝ ，
∵OC＝2，
∴ ，
解得x ＝1，x ＝2，
01 02
即当x＝1或2时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
0
②当x≥3时，
0
PF＝ ，
∵OC＝2，
∴ ，
解得x ＝ ，x ＝ （舍去），
03 04即当x＝ 时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
0
综上当x＝1或2或 时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形．
0
【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数及平行四边形的性质等知识点，难点在第二小题中要分情况考虑P
点在F点上和下两种情况．
11．(1)点 的坐标是 ，抛物线的对称轴是
(2)① ，② 或
【分析】（1）根据函数与 轴相交，横坐标为 ，代入函数解析式即可求出答案；函数的坐标轴为 ，把
二次函数的二次项系数、一次项系数代入即可求出二次函数的对称轴．
（2）①抛物线与直线 相交，可求出交点坐标的纵坐标是 ，从而求出交点横坐标 、 的关系，结合
，即可求出抛物线的表达式；②根据求根公式得出 、 关于系数 的表达式， 的关系，即
可求出 的取值范围．
（1）
解：根据题意得，点 的横坐标为 ，
∴ ，
故点 的坐标是 ，
抛物线 的对称轴为：直线 .
（2）
①解：根据题意得，坐标点 ， ， ，即 ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ， ，
解方程组得， ，即 ， ，
将点 ， 代入抛物线得， ，
故抛物线得解析式是 ．
②解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 或 ．
故当 时， 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，根据函数与坐标轴的关系找出交点的坐标，根据一元二次方程根与
系数的关系列方程组，利用求根公式即可表示出根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．(1)
(2)① ；②是，定值为 ，理由见解析
【分析】（1）由当 时， ，可知 ， 是 的两根，代入方程可得 从而得解；
（2）①把 代入抛物线解析式可得D点坐标，再 代入抛物线解析式可得C点坐标，
从而得知线段 轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用 求面积；
②设 ，用待定系数法求出直线 与直线 的解析式，再令 得 ， ，从而
得出 ， 的长，从而得到 是定值8．
（1）
解：∵当 时， ，∴ ， 是 的两根， ，
∴ ，
解得： ，
抛物线的表达式为： ；
（2）
①把 代入 得： ，
．
又当 ， ，
，
线段 轴．
，
，
；②设 ，
直线 ， ，
因此可得：
或 ，
解得： 或 ，
直线 ，
．
令 得 ， ，
， ，
．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数法和面
积求法是解题的关键．
13．(1)A（-2，0），B（6，0），C（0，-6）
(2)当m=3时，△PBC的面积最大，最大值为
(3)存在，（4，-6）或 或
【分析】（1）把x=0和y=0代入抛物线解析式，即可求解；
（2）过点作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，求出直线BC的解析式为y=x-6，可得D（m，m-6），从而得到，可得到△PBC的面积关于m的解析式，然后二次函数的性质，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当四边形ACFE为平行四边形时；当四边形ACEF为平行四边形时，即可求解．
（1）
解：当x=0时，y=-6，
∴点C（0，-6），
当y=0时， ，
解得： ，
∴点A（-2，0），B（6，0）；
（2）
解：如图，过点作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，
设直线BC的解析式为 ，
把点B（6，0），C（0，-6）代入，得：
，解得：
∴直线BC的解析式为：y=x-6，
∵点P（m，n），即点P（m， ），
∴D（m，m-6），
∴ ，
∴ ，
∴当m=3时，△PBC的面积最大，最大值为 ；
（3）解：存在，
如图，当四边形ACFE为平行四边形时， ，
∴ 轴，
∵抛物线的对称轴为直线 ，点C（0，-6），
∴点F（4，-6）；
如图，当四边形ACEF为平行四边形时，则 ，
过点F作FG⊥AE于点G，
∴ ，
∴FG=OC=6，
当y=6时， ，
解得： ，
∴点F的坐标为 或 ；
综上所述，点F的坐标为（4，-6）或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，平行四边形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，
转化条件．
14．(1)
(2)D（5，8）或（﹣1，8）(3)存在，（2，1）
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先求出点C（0，3），可得AC=2，根据三角形的面积可得到n＝±8，再代入抛物线解析式，即可求解；
（3）根据抛物线的对称性可得当点P与点B，C共线时，△PAB的周长最小，求出直线BC的解析式，即可求解．
（1）
解：由题意得∶ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）
解：令y=0，则 ，
解得： ，
∴点C（0，3），
∴AC=2，
设D（m，n），
∵△ACD的面积为8，
∴ ×2×|n|＝8，
∴n＝±8，
当n＝8时， ，解得x＝5或﹣1，
∴D（5，8）或（﹣1，8），
当n＝﹣8时， ，方程无解，
综上所述，D（5，8）或（﹣1，8）；
（3）
解：连接BC与直线x＝2交于点P，
∵点A与点C关于x＝2对称，
∴AP=CP，
∴△PAB的周长为PA+PB+AB=PC+PB+AB≤BC+AB，∴当点P与点B，C共线时，△PAB的周长最小，为BC+AB，
当x=0时，y=3，
∴y＝x2﹣4x+3与y轴的交点为B（0，3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
把点B（0，3），C（3，0）代入得：
，解得 ，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当x=2时，y=1
∴直线BC与x＝2的交点坐标为：（2，1）
∴点P的坐标为：（2，1）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，学会用转化的思想思考问题．
15．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）由解析式求出点C坐标，再由S ABC求出AB的长，根据对称轴为直线 可得A、B的坐标，
△
进而求解即可；
（2）设 与 轴交于点 ，由∠BPD＝2∠BCO可得 ，即∠EBC=∠ECB，EB=EC，通过勾股定
理求出点E坐标，从而求出直线BE的解析式，联立方程可得D的横坐标，进而求解即可；
（3）过点 作 轴交直线 于点 ，由S PCQ＝S BCQ可得Q为BP中点，从而得到 ，
△ △
设点 ，可用含t代数式表示点M，求出AC所在直线方程，将点M代入求解．
（1）令y＝ax2＋3ax＋4中x=0，得y=4，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴由对称性知 ， ，
把 代入抛物线的解析式得 ，
∴ ，
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）
设 与 轴交于点 ，
∵ 轴，∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
设 ，则 ，
∴在 中， ，∴ ，∴ ，
设直线 的解析式为y=kx+b，
将 和 代入y=kx+b得，
，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，消 得， ，
∴ ，∵ ，∴ ，即 ，∴ ， ，
∴ ；
（3）
不存在；
理由如下：过点 作 轴交直线 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
设 ，则 ，
设直线 的解析式为y=ax+b，
把（-4，0）和（0，4）代入，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，
∵ ，∴此方程无实数根，
∴符合条件的点 不存在．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，二次函数与方程的关系，通过添加
辅助线求解．
16．(1)
(2)点 的坐标为： ， ， ， ， ，
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）设 ， ，则 ， ， ，根据以
点 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为边的菱形，可得： 或 ，分两种情况分别建立方程求
解即可得出答案．
（1）
解： 抛物线 与 轴交于 ， 两点，
设抛物线解析式为 ，将 代入得： ，
解得： ，
，
该抛物线的解析式为 ；
（2）
，抛物线对称轴为直线 ，
设 ， ，
， ，
， ， ，
以点 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为边的菱形，
或 ，
当 时， ，
，
解得： ， ，
， ， ， ；
当 时， ，
，
，
， ；
综上所述，点 的坐标为： ， ， ， ， ， ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、菱形性质等知识点，熟练掌握二
次函数图象和性质，运用分类讨论思想是解题关键．17．(1) ；
(2) ；
(3)存在， ， ，﹣1，2
【分析】（1）根据待定系数法即可求出解析式；
（2）先取 的三等分点 ，得出 ，当 ， ， 三点共线时即为最小值；
（3）先设出点 的坐标，根据矩形的性质列出关于 点坐标的方程组，即可求出 点的坐标．
（1）
把 ， 代入 中，
得： ，
， ，
；
（2）
在 上取一点 ，使得 ，
连接 ， ，
，对称轴 ，
， ，
， ，，
又 ，
，
△
，
，
当 ， ， 三点共线时， 最小为 ，
，
的最小值为 ；
（3）
存在，
， ，
设 ，
则 ， ， ，
以点 ， ， ， 为顶点构成的四边形是矩形，
是直角三角形，
若 是斜边，则 ，
即 ，
解得： ， ，
的横坐标为 或 ，
若 是斜边，则 ，
即 ，
解得 （与点 重合，舍去）或 ，
的横坐标是 ，
若 是斜边，则 ，即 ，
解得 （与点 重合，舍去）或 ，
的横坐标为2，
综上 的横坐标为 ， ， ，2．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，求解析式常用的是待定系数法，一般都是第一问，也是后面内容的
基础，必须掌握且不能出错，否则后面的两问没法做，对于相似三角形，要牢记它的判定与性质，考试中一般都
是先判定，再用性质．
18．(1)抛物线的解析式为 ；
(2)D点的坐标为 或 或 ， 或 ， ．
【分析】（1）根据题意 ，求得 ，即可得到抛物线的解析式；
△
（2）作 轴于 ，求得 、 、 、 的坐标，根据 求得 ，
即可得到 ，解得 的纵坐标，代入抛物线解析式即可求得横坐标．
（1）
抛物线 的顶点 在 轴上，
，
△
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）
作 轴于 ，，
， ，
，
，解得 ， ，
， ，
，
，
，
设 点到 的距离为
，
解得 ，
的纵坐标为4或14，
把 代入 得 或 ，
把 代入 得
点的坐标为 或 或 ， 或 ， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，三角形
的面积，求得交点坐标是解题的关键．
19．(1)
(2)（0，4）
(3)（-5，1）或（1，7）或（-3，-1）【分析】（1）已知抛物线上的三点用待定系数法求解析式；
（2）根据抛物线的解析式，设出点M的坐标，作一条竖线交AB于N，利用公式 求△ABM
的面积；
（3）求出点E坐标，利用平行四边形的性质和平移求点F的坐标，注意分类讨论．
（1）
解：将点A(2，0)，B(-2，4)，C(-4，0)分别代入 得：
，
解得 ．
∴抛物线的表达式为y= ．
（2）
如图，作MN y轴交直线AB于点N，
设点M(m， )．
设直线AB的方程为 ，将 代入解析式得：
，
解得 ，∴直线AB的解析式为： ，
∴ ， ，
∴ ，
∵-1＜0，且-2＜0＜2，
∴当m=0时，ΔABM的面积最大，此时 ，所以M的坐标为（0，4）．
（3）
∵抛物线的对称轴为直线 ，
将 代入 得y=3，
∴E（-1，3），
当BC为对角线时，构成 ．
∵B(-2，4)，E（-1，3），
∴点E到点B向左一个单位长度，向上1个单位长度，
∴点C到点F也向左一个单位长度，向上1个单位长度，
∵C(-4，0)，
∴ F（-5，1）．
同理，当BE为对角线时，构成 ，可得F（1，7）；
当BF为对角线时，构成 ，可得F（-3，-1）．
综上所述点F得坐标为（-5，1）或（1，7）或（-3，-1） ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直角坐标系中三角形面积求法，与已知平行四边形三个顶点
求第四个点坐标的方法，记住面积公式和会分类讨论是解题的关键．
20．(1)①顶点坐标为（2，0）；当x≤2时，函数值y随x的增大而减小；②t＞3或t＜1
(2)① 或 ，图象G上有且只有两个点到x轴的距离为2；② 或 时，满
足题意
【分析】（1）①将解析式化为顶点式y＝x2−4x＋4＝（x−2）2，即可求解；
②由抛物线开口向上，则点离对称轴越远，所对应的函数值越大；
（2）①分两种情况讨论：当m＞0时，2m＝2，此时G上有两个点到x轴的距离为2，当−m2＋2m＝−2时，，此时G上有三个点到x轴的距离为2，则 时，图象G上有且只有两个点到x轴的距离为
2；当m＜0时，−m2＋2m≤−2，可得 时，图象G上有且只有两个点到x轴的距离为2；
②由题意可求矩形的顶点坐标C（3，3），B（−3，−1），D（3，−1），分两种情况讨论：当m＞0时，−m2＋
2m≤−1，解得 时，满足题意；当m＜0时，2m≤−1解得m≤− ，当图象G经过A点时，解得m＝− ，求
得 ≤m≤− 时，满足题意．
（1）
解：当m＝2时，y＝x2−4x＋4，
①∵y＝x2−4x＋4＝（x−2）2，
∴顶点坐标为（2，0），
当x≤2时，函数值y随x的增大而减小；
②∵y＝x2−4x＋4＝（x−2）2，
∴抛物线的对称轴为x＝2，
∵y＞y，
1 2
∴|t−2|＞|3−2|，
∴|t−2|＞1，
∴t＞3或t＜1，
故答案为：t＞3或t＜1．
（2）
解：y＝x2−2mx＋2m＝（x−m）2−m2＋2m，
∴抛物线的顶点坐标为（m，−m2＋2m），
当x＝2m时，y＝2m，
①如图1，当m＞0时，2m＝2即m＝1，此时G上有两个点到x轴的距离为2，
当−m2＋2m＝−2时， 或 （舍去），
此时G上有三个点到x轴的距离为2，
∴当 时，图象G上有且只有两个点到x轴的距离为2；如图2，当m＜0时，−m2＋2m≤−2，
解得 或 ，
∴当 时，图象G上有且只有两个点到x轴的距离为2；
综上所述： 或 ，图象G上有且只有两个点到x轴的距离为2；
②∵矩形ABCD的对称中心为（0，1），点A的坐标为（−3，3），
∴C（3，3），B（−3，−1），D（3，−1），
当x＝m时，y＝−m2＋2m，
当x＝2m时，y＝2m；
如图3，当m＞0时，−m2＋2m≤−1，
解得： 或 （舍去），
∴ 时，图象G与矩形ABCD交AD、BC边于两点，p＝3，q＝−1，
∴p−q＝4，∴ 时，满足题意；
如图4，当m＜0时，2m≤−1，
解得m≤ ，
当图象G经过A点时，9＋6m＋2m＝3，
解得m＝ ，
∴ 时，图象G与矩形ABCD交AD、BC边于两点，p＝3，q＝−1，
∴ 时，满足题意；
