文档内容
跟踪训练 04 椭圆
一．选择题（共15小题）
1．直线 与椭圆 的一个交点坐标为
A． B． C． D．
2．已知椭圆 的左焦点是 ，过 的直线 与圆： 交于
， 两点，则 的长为
A． B． C．2 D．
3．已知椭圆 的离心率为 ，则 的长轴长为
A． B． C． D．4
4．已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，且 ，则点
到 轴的距离为
A． B． C． D．
5．椭圆 的长轴长为
A． B． C．4 D．2
6．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同
扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，小椭圆的短轴长为
，则小椭圆的长轴长为 ．
A．30 B．20 C． D．10
7．椭圆 的焦距是
A． B． C．4 D．8
8．已知点 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在此椭圆上，则△ 的周
长等于
A．16 B．20 C．18 D．14
9．若过椭圆 内一点 的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为
A． B． C． D．
10．2022年10月7日21时10分，中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射
运载火箭，采用“一箭双星”方式，成功将微厘空间北斗低轨导航增强系统 试验卫
星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，其中的“地球同步转移轨
道”是一个以地心（地球的中心） 为一个焦点的椭圆，如图，已知它的近地点（离地面
最近的点） 距地面 天文单位，远地点（离地面最远的点） 距地面 天文单位，并且
， ， 在同一直线上，地球半径约为 天文单位，则卫星轨道的离心率为A． B． C． D．
11．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲
面）的一部分．过对称轴的截口 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 上，片
门位于另一个焦点 上．由椭圆的一个焦点 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到
另一个焦点 ．已知 ， ， ．若透明窗 所在的直线与截口
所在的椭圆交于一点 ，且 ，则△ 的面积为
A．2 B． C． D．5
12．已知椭圆 ，直线 ，则椭圆 上的点到直线 的距离的最大
值是
A． B． C． D．13．已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，若
，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
14．方程 ，化简的结果是
A． B．
C． D．
15．椭圆 的左顶点为 ，点 ， 均在 上，且关于 轴对称．
若直线 ， 的斜率之积为 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
16．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在 上（异于左右顶点），
记△ 的面积为 ，则
A．当 时，
B． 的取值范围为 ，
C．△ 的面积的最大值为D．椭圆 上有且只有4个点 ，使得△ 是直角三角形
17．已知直线 经过椭圆 的一个焦点 ，且与 交于不同
的两点 ， ，椭圆 的离心率为 ，则下列结论正确的有
A．椭圆 的短轴长为
B．弦 的最小值为3
C．存在实数 ，使得以 为直径的圆恰好过点
D．若 ，则
18．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角
坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与
半圆的直径重合．若直线 与半圆交于点 ，与半椭圆交于点 ，则下列结论正
确的是
A．椭圆的离心率是
B．线段 长度的取值范围是C． 面积的最大值是
D． 的周长不存在最大值
19．已知椭圆 与椭圆 ，则
A． B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
20．已知 是椭圆 上的动点， 是圆 上的动点，则
A．椭圆 的焦距为 B．椭圆 的离心率为
C．圆 在椭圆 的内部 D． 的最小值为
三．填空题（共5小题）
21．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 且倾斜角为
的直线 与 交于 ， 两点．若△ 的面积是△ 面积的2倍，则 的离心
率为 ．
22．如图，已知 是椭圆 的左焦点， 为椭圆的下顶点，点 是椭圆上任意一
点，以 为直径作圆 ，射线 与圆 交于点 ，则 的取值范围为 ．23．椭圆 的焦点为 ， ，点 在椭圆上，若 ，则 等于 ．
24．某休闲广场呈椭圆形，在该椭圆的两个焦点及中心处分别安装有三盏景观灯 ， ，
，其中灯 位于灯 的正东 处．小王沿着该休闲广场的边沿散步，在散步的过程
中，他与灯 的最短距离为 ．当小王行走到点 处时，他与灯 ， 的距离之比为
，则此时他与灯 的距离为 ．
25．已知椭圆 ，斜率为 的直线 交椭圆于 ， 两点．若 的
中点坐标为 ，试写出椭圆 的一个标准方程 ．
四．解答题（共3小题）
26．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的焦点为 ， ，且满足_____，
椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，右顶点为 ，直线 过点 且垂直于 轴．现有如下
两个条件分别为：
条件①：椭圆过点 ，条件②：椭圆的离心率为 ．
请从上述两个条件中选择一个补充在横线上，并完成解答．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若点 在椭圆 上（且在第一象限），直线 与 交于点 ，直线 与 轴交于
点 ．试问： 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．27．椭圆 的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为 ， ，
点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程．
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点（异于点 ， ，记直线 与直线
交于点 ，试问点 是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说
明理由．28．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若椭圆 的上顶点为 ，过 的两条直线 ， 分别与 交于异于点 的 ， 两
点，若直线 ， 的斜率之和为 ，试判断直线 是否过定点？若是，求出该定点；若
不是，请说明理由．
