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专题 22.3 二次函数与面积问题
【例题精讲】
【例1】如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，抛物线 ，
经过点 ，点 ，且交 轴于另一点 ．
（1）直接写出点 ，点 ，点 的坐标及抛物线的解析式．
（2）在直线 上方的抛物线上有一点 ，求四边形 面积的最大值及此时点 的
坐标．【例2】如图，已知抛物线 经过 ， 两点，与 轴相交于点 ，
点 为抛物线上一动点，过点 作 轴的垂线 ，交 轴于点 ，连接 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点 位于直线 上方时，连结 ， ， 的面积 能否取得最大值？若能，
请求出最大面积 ，并求出此时点 的坐标；若不能，请说明理由．
【题组训练】
1．如图，二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，另一个交点为 ，
且与 轴交于点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求 的面积；
（3）该二次函数图象上是否存在点 ，使 与 的面积相等？若存在，请求出
点的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，求：
（1）点 、 、 的坐标；
（2） 的面积．
3．如图，抛物线 ．与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 ，直线
经过点 且与抛物线交于另一点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 是位于直线 上方的抛物线上的一个动点，连接 ， ，求 的面积
的最大值．4．如图，抛物线 与 轴正半轴交于 点，与 轴交于点 ，直线
过 、 两点．点 为抛物线顶点，连接 、 ．
（1）求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
（2）求 的面积．
5．已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ， 是线
段 上一点，过点 作 轴交 轴于点 ，交抛物线于点 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果点 的横坐标为2，点 是第一象限抛物线上的一点，且 和
的面积相等，求点 的坐标．6．如图，抛物线 与 轴交于点 、 两点，与 轴交于点
．
（1）求出此抛物线和直线 的解析式；
（2）在直线 上方的抛物线上有一动点 ，求点 的横坐标 为何值时四边形
的面积最大？最大值是多少？并写出此时点 的坐标．
7．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．直
线 与抛物线交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ．
（1）求抛物线的解析式与直线 的解析式；
（2）若点 是抛物线上的点且在直线 上方，连接 、 ，求 面积最大值；
（3）由（2）并求出点 的坐标．8．如图抛物线 交 轴于点 和点 ．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）若该抛物线 轴交于点 ，顶点为 ，点 ，在该抛物线上，求四边形
的面积．
9．如图，已知抛物线的顶点为 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求 的面积．
（3）设 是直线 上方该抛物线上除点 外的一点，且 与 的面积相等，求
点 的坐标．10．如图，抛物线 ，与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），与
轴交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）抛物线上点 的横坐标为2，求四边形 的面积．
11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，
0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是二次函数图象上的一点．
（1）求二次函数和直线BC的解析式．
（2）若点P在直线BC的下方，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标．
（3）当S△PBC ＝ S△ABC 时，求点P的横坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与坐标轴相交于 ， ，
三点，其中点 坐标为 ，点 坐标为 ，连接 ， ．动点 从点 出发，
在线段 上以每秒 个单位长度向点 做匀速运动；同时，动点 从点 出发，在线
段 上以每秒1个单位长度向点 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停
止运动．连接 ，设运动时间为 秒．
（1）求 ， 的值；
（2）在 ， 运动的过程中，当 为何值时，四边形 的面积最小，最小值为多少？13．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，
， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点 ，使四边形 的面积最大，求出点 的坐
标．
14．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点，且
．直线 与抛物线交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 到 轴的距离为3．
（1）求抛物线的解析式与直线 的解析式．
（2）若点 是抛物线上的点且在直线 上方，连接 、 ，求当 面积最大时点
的坐标及该面积的最大值．15．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，顶
点为 ．
（1）直接写出抛物线的解析式、对称轴及顶点 的坐标．
（2）若直线 与抛物线交于 、 两点，求点 的坐标及 的面积．
16．抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，已知点 坐标为
．
（1）求实数 的值；
（2）若点 是抛物线在第一象限内图象上的点，求 面积的最大值，及此时点 的
坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交
于点 ．已知 ， ，点 是抛物线上的一个动点．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）当 的面积为8时，求点 的坐标．
18．如图，关于 的二次函数 的图象与 轴交于点 和点 ，与
轴交于点 ，作直线 ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）求二次函数的函数表达式；
（3）在直线 的下方，抛物线上是否存在一点 ，使 面积最大？若存在．请求出
点 的坐标．
