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第 05 讲 等边三角形的性质和判定
知识点1：等边三角形的概念和性质
知识点2：等边三角形的判定
知识点3：含30°的直角三角形
1. 等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.
注意：
（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直
角）.
180A
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ 2 .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一
定是等边三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高
线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
（2）三个角都是60°
【题型1：利用等边三角形的性质求边长】
【典例 1】如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
若BE=2，AE=8，则CE的长是（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识
点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明△ACD≌△BCE(SAS)，再根据全等三
角形的性质即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，CD=CE，
∠ACB−∠DCB=∠ECD−∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
{
AC=BC
)
∠ACD=∠BCE ，
CD=CE
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE=2，
∵AE=8，
∴DE=AE−AD=8−2=6，
∴CE=DE=6，
故选：C．
【变式1】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，连接
EB、EC，若∠EBC=45°,BC=6，则ED等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明
BD=CD=3，∠BDE=90°，再证明∠BED=∠EBC=45°，从而可得答案．
【详解】解：在等边三角形ABC中，AD⊥BC，BC=6，
∴BD=CD=3，∠BDE=90°，
∵∠EBC=45°，
∴∠BED=∠EBC=45°，∴DE=DB=3，
故选：A
【变式2】如图，等边△ABC的边长为2，点D、E分别在边AB、BC上（不与△ABC的
顶点重合），将△BDE沿DE翻折，点B落在点F处，则三个阴影三角形的周长和为
（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，应用转化思想是解题的关键．
由折叠的性质可得BD=FD,BE=FE，再把三个阴影三角形的周长和转化成等边
△ABC的三边之和，即可解答．
【详解】解：∵由折叠的性质可得：BD=FD,BE=FE，
∴三个阴影三角形的周长和为：AC+DF+EF+AD+CE=AC+BD+BE+AD+CE，
∵AB=AD+BD，BC=BE+CE，
∴三个阴影三角形的周长和=AC+AB+BC=2+2+2=6，
故选：B．
【变式3】如图，△ABC为等边三角形，点D是BC边上异于B，C的任意一点，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高线AM=10，则DE+DF=
（ ）A．5 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积额，利用等积法求解是解答本题
的关键．连接AD，根据S =S +S ，再代入数值可得答案．
△ABC △ABD △ACD
【详解】解：连接AD，
∵△ABC是等边三角形，AM=10，
∴AB=AC=BC．
∵S =S +S ，
△ABC △ABD △ACD
1 1 1
∴ BC⋅AM= AB⋅DE+ AC⋅DF，
2 2 2
1 1
即 ×10×BC= BC(DE+DF)，
2 2
∴DE+DF=10．
故选：B．
【题型2：利用等边三角形的性质求角度】
【典例2】如图，△ABC是等边三角形，E为BC上一点，在AB上取一点D，使AD=AE，且∠AED=65°，则∠EAC的度数是（ ）
A．10° B．20° C．15° D．5°
【答案】A
【分析】根据等边对等角可得∠ADE=65°，再根据三角形内角和定理求出
∠DAE=50°，最后根据等边三角形的性质即可求解．
本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用．
【详解】解：∵AD=AE，且∠AED=65°，
∴∠ADE=65°，
∴∠DAE=50°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠EAC=∠BAC−∠DAE=10°，
故选：A．
【变式1】如图，等边△ABC的顶点A、B分别在直线a，b上，且a∥b，若∠2=80°，
则∠1的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质
等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
由平行线的性质可得∠3=80°，再根据等边三角形的性质结合三角形外角的定义及性
质求解即可．
【详解】解：如图：∵a∥b，
∴∠2=∠3=80°；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠1=∠3−∠C=80°−60°=20°．
故选：A．
【变式2】如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的中线，点E在AC边上，连接DE，若
AD=AE，则∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．25° C．10° D．15°
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，
1
先根据等边三角形的性质得∠CAD= ∠BAC=30°,∠ADC=90°，再根据等腰三角
2
形的性质求出∠ADE，然后根据∠CDE=∠ADC−∠ADE得出答案．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，且AD是BC边上的中线，
1
∴∠CAD= ∠BAC=30°,∠ADC=90°．
2
∵AD=AE，
180°−30°
∴∠ADE=∠AED= =75°，
2
∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=90°−75°=15°．
故选：D．【变式3】如图，在等边三角形ABC中，BD=CE，AD于BE相交于点P，则∠APE的度
数是（ ）
A．80° B．45° C．60° D．70°
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质，
正确找出两个全等三角形是解题关键．
先根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠C=∠ABC=60°，再根据三角形全等的判
定定理证出△ABD≌△BCE，然后根据三角形全等的性质可得∠BAD=∠CBE，最后
根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：∵ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠C=∠ABC=60°，
在△ABD和△BCE中
{
AB=BC
)
∠ABD=∠C ，
BD=CE
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°，
故选：C．
（1）三个角相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【题型3：等边三角形的判定】【典例3】下列条件中，能判定△ABC为等边三角形的是（ ）
A．∠A=60° B．∠B+∠C=120°
C．∠B=∠C D．∠B=60°,AB=AC
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满
足三个角均为60°，或一个角为60°的等腰三角形．
【详解】解：A、不能判定△ABC为等边三角形，不符合题意；
B、不能判定△ABC为等边三角形，不符合题意；
C、不能判定△ABC为等边三角形，不符合题意；
D、能判定△ABC为等边三角形，符合题意；
故选D．
【变式1】下列条件不能判断△ABC是等边三角形的是（ ）
A．∠A=∠B=∠C B．AB=BC,∠A=∠C
C．AB=BC,∠B=60° D．AB=BC,AC=BC
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）
由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等
的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角
形．
根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边
三角形，故本选项不符合题意；
B、AB=BC得到∠A=∠C，那么只能得到△ABC是等腰三角形，故不能判断为等边
三角形，符合题意；
C、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，
故本选项不符合题意；
D、AB=BC,AC=BC，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意；
故选：B．
△ABC (a−b) 2+∣b−c∣=0
【变式2】 若 的三边长a，b，c满足 ，则
△ABC的形状是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查非负性和等边三角形的判定，根据非负性得到a−b=0,b−c=0，
从而得出a=b=c，即可得出结果．
【详解】解：∵(a−b) 2+|b−c)=0
∴∵∴a−b=0,b−c=0
∴a=b=c，即△ABC是等边三角形．
故选：C．
【变式3】如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，AD⊥BC．若添加一个条件可以证
明△ABC是等边三角形，则这个条件可以是（ ）
A．∠B=60° B．∠BAD=30° C．AB=BC D．以上都可以
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定．先证明AD
是线段BC的垂直平分线，推出AB=AC，∠DAB=∠DAC，再根据等边三角形的判
定定理即可判断．
【详解】解：∵D是BC的中点，AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，∠DAB=∠DAC，
当添加∠B=60°时，
∴△ABC是等边三角形；
当添加∠BAD=30°时，则∠BAC=2∠BAD=60°，
∴△ABC是等边三角形；
当添加AB=BC时，则AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形；
故选：D．【题型4：等边三角形的判定与性质】
【典例4】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且
AD=AB，AC=4，∠EDF=60°，∠EDF的两边分别交AB，AC于点E，F，
AF=1．
(1)求证：△ABD是等边三角形．
(2)求AE的长．
【答案】(1)见详解
(2)3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判
定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=60°，再由AD=AB，
即可得出结论；
（2）由△ABD是等边三角形，得出∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD，证出
∠BDE=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF，结合已知和
AE=AB−BE=AC−BE即可．
【详解】（1）证明： AB=AC，AD⊥BC，
1∵
∠BAD=∠DAC= ∠BAC．
2
∴
∠BAC=120°，
∵ 1
∠BAD=∠DAC= ×120°=60°．
2
∴
又 AD=AB，
△∵ABD是等边三角形．
∴（2）证明： △ABD是等边三角形，
∠ABD=∠∵ADB=60°，BD=AD．
∴∠EDF=60°，
∵∠ADB=∠EDF．
∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE，
∴∠BDE=∠ADF．
∴在△BDE与△ADF中，
{∠DBE=∠DAF=60°
)
BD=AD ，
∠BDE=∠ADF
△BDE≌△ADF(ASA)．
∴BE=AF，
∴又 AF=1，
B∵E=1，
∴AC=4，AB=AC，
∵AE=AB−BE=AC−BE=3．
【变∴式1】如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线
段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，
交AE于点P，连接MN．
(1)求证：AE=BD；
(2)求∠APD的度数；
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和
定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到AC=DC,∠ACD=60°,EC=BC,∠ECB=60°，
证明∠ACE=∠DCB，即可证明△AEC≌△DBC(SAS)，得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠EAC=∠BDC，根据三角形内角和定理即可得到
答案．
【详解】（1）证明：∵等边△ACD和等边△BCE，
∴AC=DC,∠ACD=60°,EC=BC,∠ECB=60°，∵∠ACE=∠ACD+∠DCE=60°+∠DCE，
∠DCB=∠DCE+∠ECB=∠DCE+60°，
∴∠ACE=∠DCB，
在△AEC和△DBC中，
{
AC=∠DC
)
∠ACE=∠DCB ，
EC=BC
∴△AEC≌△DBC(SAS)，
∴AE=BD；
（2）解：∵△AEC≌△DBC(SAS)，
∴∠EAC=∠BDC，
∵∠AMC=∠DMP，
∠MAC+∠ACM+∠AMC=180°,∠MDP+∠DMP+∠APD=180°，
∴∠APD=∠ACD=60°．
【变式2】如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=20°，AD平分∠BAC，交BC于点D，
过点D作DE∥AB，交AC于点E．
(1)求∠ADC的度数．
(2)若△ADC与△EDC的周长分别为11和9，求DE的长．
【答案】(1)100°
(2)2
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，
证明△ADE是等边三角形是解题的关键．
（1）由三角形内角和定理得到∠BAC=180°−∠B−∠C=120°，由AD平分
1
∠BAC得到∠BAD=∠CAD= ∠BAC=60°，由三角形外角的性质得到
2
∠ADC=∠BAD+∠B=100°，
（2）证明△ADE是等边三角形，则AD=DE=AE，由三角形周长得到
AD+CD+AC=DE+CD+AC=11,DE+CD+CE=9，则
AE=AC−CE=11−9=2，即可得到DE=AE=2．【详解】（1）解：∵∠B=40°，∠C=20°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=120°，
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=60°，
2
∴∠ADC=∠BAD+∠B=100°，
（2）∵DE∥AB
∴∠ADE=∠BAD=60°，
∴∠AED=180°−∠ADE−∠CAD=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE
∵△ADC与△EDC的周长分别为11和9，
∴AD+CD+AC=DE+CD+AC=11,DE+CD+CE=9，
∴AE=AC−CE=11−9=2，
∴DE=AE=2．
【变式3】如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE
、BD相交于点O，连接DE．
(1)求证：△CDE是等边三角形；
(2)若AO=12，求OE的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）证明∠C=60°，CD=CE，即可解决问题．
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠ABD=∠DBC=30°，所
OA=OB，再根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可得OE
的长，即可解决问题．
【详解】（1）证明：△CDE是等边三角形．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，1 1
∴AC=BC，CD=CE= AC= BC，∠C=60°，
2 2
∴△CDE是等边三角形；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，
∴AE、BD分别是△ABC的中线，
∴∠BAE=∠ABD=∠DBC=30°，
∴OA=OB，
∴OB=2OE，
∴AO=2OE，而AO=12，
∴OE=6．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质，在直角三
角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，做题的关键是掌握在直角三角形
中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
含30°角的直角三角形的性质
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【题型5：含30°角的直角三角形的性质】
【典例5】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，则AB的长为（ ）
A．30 B．15 C．12 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质．直接根据30度角的性质作答即可．
【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=2BC=12
故选：C
【变式1】如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端
点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=52cm，且与闸机侧立面夹角
∠PCA=∠QDB=30∘，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．62 B．54 C．64 D．74
【答案】A
【分析】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对
的直角边等于斜边的一半．过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可AE和
BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大
宽度．
【详解】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，
∠PCA=∠BDQ=30°
，
1 1
则Rt△ACE中，AE= AC= ×52=26(cm)，
2 2
同理可得，BF=26cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为26+10+26=62(cm)，
故选：A．
【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD⊥AB于点D，且BD=2，
则AD= ．【答案】6
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握30°所对的直角边等于斜边的一半
是解题的关键．先根据直角三角形两锐角互余可得∠A=30°，进而得到
∠BCD=30°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得BC=2BD=4；同理可得
AB=2BC=8，最后根据AD=AB−BD即可解答．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=30°，
∵BD=2，
∴BC=2BD=4，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=8，
∴AD=AB−BD=8−2=6．
故答案为：6．
【变式3】某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知∠A=150°，
这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元．
【答案】150a
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形的面积公式，含30度角的
直角三角形的性质，关键在于作出AB边上的高，根据相关的性质推出高CD的长度，
正确的计算出△ABC的面积．作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，则
∠DAC=30°，由AC=30m，即可求出CD=15m，然后根据三角形的面积公式即可
推出△ABC的面积为150m2，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
【详解】解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵∠BAC=150°
，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
1 1
∴S = AB×CD= ×20×15=150m2 ，
△ABC 2 2
∵每平方米售价a元，
∴购买这种草皮的价格：150a元．
故答案为：150a．
一、单选题
1．已知等腰三角形的一边长为5，且其有一个内角的度数为60°，则该等腰三角形的周长
是（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，当等腰三角形有一个内角为60°
时，该三角形必为等边三角形．因此，无论已知边长为5的是底边还是腰，其余两边
均为5，周长可直接计算．
【详解】解：∵一个等腰三角形的一个内角为60°，
∴该等腰三角形是等边三角形，
又∵其一边长为5，
∴它的周长是5×3=15．
故选：B．
2．如图，一辆货车为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知∠ACB=90°，
∠BAC=30°，BC=1.6m，则AB的长为（ ）m．A．1.6 B．0.8 C．3.2 D．2.8
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据30°所对直角边是斜边的一半即可求解，
熟练掌握30°所对直角边是斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
1
∴BC= AB=1.6m，
2
∴AB=3.2m，
故选：C．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，∠B=90°．若AC=2，则AB的长为（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
2
【答案】B
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，根据30度角所对的直角边等于
斜边的一半求解即可．
【详解】解：∵∠C=30°，∠B=90°，AC=2，
1
∴AB= AC=1．
2
故选B．
4．如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，∠BAC=30°，则缆车从
点A到点B的过程中竖直上升的高度（BC的长）为（ ）A．60米 B．45米 C．30米 D．15米
【答案】D
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，根据 30度角所对的直角边等于斜边一
半求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=30米，
1
则BC= AB=15米，
2
故选：D．
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB,D为垂足，DE交BC
于点E，若BE=10，则AC的长为（ ）
A．5 B．5❑√3 C．10 D．10❑√3
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角定理，含30°角的直
角三角形的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
先利用线段垂直平分线的性质和外角定理得出∠AEC=30°，再利用含30°角的直角
三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB=10，
∴∠EBA=∠EAB=15°，
∴∠AEC=∠EBA+∠EAB=30°，
∵∠C=90°，
1
∴AC= EA=5，
2
故选：A．6．如图，在等边三角形△ABC中，E为AB上一点，过点E的直线交AC于点F，交BC延
长线于点D，作EG⊥AC垂足为G，如AE=CD,AB=6，则GF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌
握相关判定与性质是解题关键，作EM∥BC交AC于点M，证明△AEM是等边三角
1 1
形，进而证明△EMF≌△DCF，得出FM=CF= CM，GM=AG= AM，即可
2 2
求出结论．
【详解】解：作EM∥BC交AC于点M，
在等边三角形△ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°,AB=AC=6，
∴∠AEM=∠B=∠AME=∠ACB=∠A=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AE=EM，
∵AE=CD，
∴EM=CD，
∵EM∥BC，
∴∠MEF=∠D,∠EMF=∠DCF
∴△EMF≌△DCF
1
∴FM=CF= CM
2∵△AEM是等边三角形，EG⊥AC，
1
∴GM=AG= AM
2
1 1 1
∴GF=GM+MF= AM+ CM= AC=3，
2 2 2
故选：B．
二、填空题
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为点E，
连接AD，若AD平分∠CAB，CD=2，则BD的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，角的平分线上的点
到角的两边的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形
的性质得到∠DAB=∠DBA，根据角平分线的性质得到DE=DC，根据直角三角形
的性质计算即可．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠DAB=∠DAC，DE=DC，
∴∠DAB=∠DBA=∠DAC=30°，
1
∴DE= BD，
2
1
∴CD= BD，
2
∴BD=4，
故答案为：4．8．在△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=60°，则BC= cm．
【答案】4
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，先根据有一个角是60°的等腰三角形是
等边三角形得到△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵AB=AC=4cm，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=4cm，
故答案为：4．
9．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，
∠ECD=20°，则∠ABE= °．
【答案】40
【分析】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，
关键是由等边三角形三角形的性质推出AD垂直平分BC．
由等边三角形的性质推出∠ABC=60°,AD垂直平分BC，得到BE=CE，推出
∠EBD=∠ECD=20°，即可求出∠ABE的度数．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠ABC=60°，
∴AD垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴∠EBD=∠ECD=20°，
∴∠ABE=∠ABC−∠EBD=40°，
故答案为：40．
10．已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点
B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的
度数为 ．【答案】80°
【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、角形的内角和定理等知识点，
掌握折叠后的对应角相等及三角形内角和定理是解题关键．
由题意可得∠A=∠B=∠C=60°，由折叠可知
∠BDE=∠B′DE，∠B′ED=∠BED，又∠ADF=80°，所以
∠BDE=∠B′DE=50°，∠B′ED=∠BED=70°，∠CEG=40°，最后根据角的
和差即可解答．
【详解】解：∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
由折叠可知，∠BDE=∠B′DE，∠B′ED=∠BED，
∵∠ADF=80°，
∴∠BDE=∠B′DE=50°，
∴∠B′ED=∠BED=180°−∠B−∠BDE=180°−60°−50°=70°，
∴∠CEG=180°−∠BED−∠B′ED=180°−70°−70°=40°，
∴∠EGC=180°−∠CEG−∠C=180°−40°−60°=80°．
故答案为：80°．
三、解答题
11．如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且AD=CE，求∠BOD
的度数．
【答案】60°
【分析】本题等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知
识点．先根据SAS证明△BCE≌△CAD，再由三角形的外角性质即求解．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=∠CAD=60°，BC=CA，
在△BCE和△CAD中，
¿，
∴△BCE≌△CAD(SAS)，
∴∠CBE=∠ACD，
∴∠BOD=∠OCB+∠CBE=∠OCB+∠ACD=∠ACB=60°．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)尺规作图：过点C作斜边AB边上的高CD，垂足为D；（不写作法，只保留作图痕
迹）；
(2)在（1）的条件下，若∠A=30°,BC=6，求BD的长．
【答案】(1)图见解析
(2)3
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含
30度角的直角三角形的性质，是解题的关键：
（1）根据尺规作垂线的方法，作图即可；
（2）根据同角的余角相等，结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，CD即为所求；
（2）解：∵∠ACB=90°,CD⊥AB，
∴∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=∠BDC=90°，
∴∠BCD=∠A=30°，
∵∠CDB=90°,BC=6，1
∴BD= BC=3．
2
13．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，
(1)求证：BC=3AD．
(2)若AB=6，AD=4，求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)18
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，
（1）根据等腰三角形的性质得∠C=∠B=30°，再求出∠BAD=∠B，进而得出
AD=BD，然后根据直角三角形的性质得DC=2AD，则答案可得；
1
（2）作AE⊥BC，根据直角三角形的性质得AE= AB=3，再由（1）得
2
1
BC=3AD，然后根据S = BC×AE得出答案．
ΔABC 2
【详解】（1）证明：∵AB=AC,∠BAC=120°，
∴∠C=∠B=30°．
∵AD⊥AC交BC于点D，
∴∠DAC=90°，∠BAD=∠BAC−∠DAC=120°−90°=30°=∠B，
∴AD=BD．
∵在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴DC=2AD，
∴BC=BD+DC=AD+2AD=3AD；
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEC=90°．
∵∠B=30°，1 1
∴AE= AB= ×6=3，
2 2
由（1）可知BC=3AD=3×4=12，
1 1
∴S = BC×AE= ×12×3=18．
ΔABC 2 2
14．如图，在等边△ABC中，点D、E在边BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE交于
点F．
(1)求证：△ABD≌△BCE；
(2)过点A作AG⊥BE，求线段AF与GF的数量关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)AF=2GF
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性
质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定即可证明；
（2）利用全等三角形的性质得到∠BAD=∠CBE，推出∠AFG=60°，结合
AG⊥BE即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中，
{
AB=BC
)
∠ABD=∠BCE ，
BD=CE
∴△ABD≌△BCE(SAS)．
（2）解：∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠AFG=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABD=60°，
∵AG⊥BE，∴∠AGB=90°，
∴∠FAG=30°，
∴AF=2GF．
15．如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等边三角形ABD、等边三角形AEC，BE
和DC相交于点M．
(1)求证：BE=DC．
(2)求∠DME．
【答案】(1)见详解
(2)∠DME=120°
【分析】（1）根据等边三角形性质得出AB=AD，AE=AC，
∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC，根据SAS证
△ABE≌△ADC即可；
（2）根据全等求出∠ADC=∠ABE，在△DMB中根据三角形的内角和定理和
∠ADB=∠DBA=60°，即可求出答案；
本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合
运用，熟练掌握这些知识，学会运用数形结合的思想是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，即∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ADC中，
{
AB=AD
)
∠BAE=∠DAC ，
AE=AC
∴△ABE≌△ADC(SAS)，
∴BE=DC；
（2）解：由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠ADC+∠BDC=∠ABE+∠BDC=∠BDA=60°，∴在△DMB中，
∠BMD=180°−∠BDM−∠DBA−∠ABE
=180°−∠DBA−(∠ADC+∠BDM)
=180°−60°−60°
=60°；
∴∠DME=180°−60°=120°
