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专题 05 二次函数的概念、图像和性质（课后小练）
满分100分 时间：45分钟 姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2021·广西贺州·九年级期中）下列函数表达式中，是二次函数的是（ ）．
A． B．y=x+2 C．y=x2+1 D．y=（x+3）2-x2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义分析得出答案．二次函数的定义：一般地，形如 （ 是常数，
）的函数，叫做二次函数．
【详解】
A、y＝ ，是反比例函数，故此选项不符合题意；
B、y＝x+2，是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝x2+1，是二次函数，故此选项符合题意；
D、y＝（x+3）2﹣x2＝6x+9，是一次函数，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2．（2022·浙江温州·一模）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣3）在同一个函数的图象上，这
个函数可能是（ ）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝﹣x2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正比例函数和反比例函数还有二次函数的图象的对称性进行分析即可．【详解】
解：∵A（﹣1，m），B（1，m），
∴点A与点B关于y轴对称；
由于y＝x，y＝﹣ 的图象关于原点对称，因此选项A、B错误；
∵y＝ax2的图象关于y轴对称
由B（1，m），C（2，m-3）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
对于二次函数只有a<0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴D选项正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正比例函数和反比例函数及二次函数的图象，理解正比例函数和反比例函数及二次函数的图象
的对称性是解题的关键．
3．（2021·浙江杭州·九年级阶段练习）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（2，0） D．（0，0）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，可以直接写出该函数的顶点坐标．
【详解】
解： ，
该抛物线的顶点坐标为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，由顶点式可以直接写出顶点坐标是解答本题的关键．
4．（2021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）抛物线 的对称轴是（ ）
A．x =1 B．x =2 C．x =－1 D．x =－2
【答案】A
【解析】
【分析】根据顶点式 的对称轴为 ，求解即可．
【详解】
解：抛物线 的对称轴是 ，
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式 的对称轴为 ，掌握顶点式是解题的关键．
5．（2022·浙江湖州·九年级期末）已知一元二次方程2x2+bx 1＝0的一个根是1，若二次函数y＝2x2+bx 1
的图象上有三个点（0，y）、（ 1，y）、（ y），则y，y，y 的大小关系为（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 1 2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用一元二次方程根的意义求得b值，将b值代入二次函数的解析式，求出抛物线的对称轴，利用二次函
数图象的性质即可得出结论．
【详解】
∵元二次方程2x2 + bx- 1 = 0的一个根是1，
∴2+b-1= 0，
∴b=-1，
∴二次函数y=2x2-x-1=2(x- )2- ，
∴抛物线y= 2x2 - x - 1的对称轴为直线x= ，
∵该抛物线开口向上，点(0， y)、(-1， y)．（ ，y )到对称轴的距离分别为：
1 2 3
且 < < ，
所以 < < ，故选：C．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一元二次方程根的意义，利用二次函数
的增减性解答是解题的关键．
6．（2022·青海西宁·中考真题）如图， ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，
AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的△距离为x， DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（
） △
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可
求出答案．
【详解】
解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，
根据相似比可知： ，
即 ，
解得：EF=2（3-x），则△DEF的面积y= ×2（3-x）x=-x2+3x=-(x- )2+ ，
故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为( ， )的抛物线．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题
7．（2022·河南南阳·九年级期末）已知点 在二次函数 的图象上，则 的值等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】
把点的坐标代入函数解析式计算即可得解．
【详解】
解：∵点P(a， )在二次函数y=2x2的图象上，
∴ =2a2，即a2= ，
解得a=± ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了函数图象上的点的坐标满足函数解析式．
8．（2022·全国·九年级专题练习）若点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系
为： _________ （填“>”，“=”或“<”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y，y 的值，比较后即可得出结论．
1 2
【详解】
解：∵若点A(−1，y)，B(2，y)在抛物线y=2x2+m上，
1 2
y=2×（-1）2+m=2+m，y=2×22+m=8+m，
1 2
∵2+m＜8+m，
∴y﹤y．
1 2
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y，y 的值是解题的关
1 2
键．
9．（2022·山东烟台·期末）已知抛物线与x轴只有一个交点，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，请写出一
个满足条件的抛物线的解析式 ____________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质解答即可．
【详解】
解：∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴设抛物线解析式 ，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即是h=-2，
∴抛物线解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数 的性质是解题关键．
10．（2022·山东枣庄·九年级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中，自变量x
与函数值y之间满足下面对应关系：
x … ﹣5 ﹣3 ﹣1 …
y＝ax2+bx+c … ﹣2.5 1.5 1.5 …则 的值是__________．
【答案】－10
【解析】
【分析】
由抛物线经过点（﹣3，1.5），（﹣1，1.5）可得抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2，从而可得 ＝4，
由抛物线的对称性可得抛物线经过（1，﹣2.5），从而可得a+b+c＝﹣2.5，进而求解．
【详解】
解：∵抛物线经过点（﹣3，1.5），（﹣1，1.5），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2，
∴ ＝4，
∵抛物线经过点（﹣5，﹣2.5），抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线经过点（1，﹣2.5），
∴当x＝1时，y＝a+b+c＝﹣2.5，
∴ ＝4×（﹣2.5）＝﹣10，
故答案为：﹣10．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级专题练习）已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．
（1）求m的值；
（2）画出函数的图象．
【答案】（1）m=1；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的定义以及性质，求解即可；（2）描点法画出函数的图像即可．
【详解】
解：（1）∵ 为二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴ ，
∴
∴
（2）由（1）得这个二次函数解析式为 ，自变量x的取值范围是全体实数，
自变量
描点连线，如图所示．
【点睛】
此题考查了二次函数的定义以及性质，描点法画函数图像，解题的关键是掌握二次函数的定义以及性质．
12．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数 ．
(1)求证：无论k取任何实数，该函数的图象与x轴总有交点；
(2)如果该函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数图象的对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)见解析
(2)对称轴为 ，顶点坐标为
【解析】
【分析】（1）计算判别式的值得到 ＝（k−1）2≥0，然后根据判别式的意义可判断此二次函数的图象与x轴总有交
点；
（2）由 可得 的值，进而将二次函数化为顶点式即可求解．
(1)
证明：令y＝0，则kx2＋（k＋1）x＋1＝0
∵a＝k，b＝k＋1，c＝1
∴ ＝k2−2k＋1
＝（k−1）2，
∵（k−1）2≥0，即 ≥0，
∴此二次函数的图象与x轴总有交点；
(2)
该函数的图象与x轴只有一个交点，
=0
即（k−1）2=0
解得
二次函数
该函数图象的对称轴为： ，顶点坐标为
【点睛】
本题考查了二次函数与x轴的交点，把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐
标问题转化为解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0．△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
13．（2022·山东青岛·九年级期末）小颖同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，取
自变量x的6个值，分别计算出对应的y值，如表：
x …… ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ……
y …… 11 2 ﹣1 2 5 m ……
由于粗心，小颖算错了其中的一个y值．
(1)求该二次函数表达式；
(2)请你指出这个算错的y值；
(3)通过计算求m的值．【答案】(1)
(2)5
(3)26
【解析】
【分析】
（1）根据表格数据待定系数法求解析式即可；
（2）根据对称性可知 与 的函数值相等，将 代入（1）的解析式求解即可；
（3）将 代入即可（1）中的解析式求解即可．
(1)
根据表格数据可知对称轴为 ，当 时， ，
设该二次函数表达式 ，
将 ， 代入
得
解得：
(2)
对称性可知 与 的函数值相等，
当 时，
则这个算错的y值是
(3)
当 时，
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的对称性，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题
的关键．
14．（2022·河南郑州·九年级期末）在平面直角坐标系内，二次函数 的图象经过点 和．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求出二次函数的顶点坐标；
(3)将该二次函数的图象向右平移几个单位，可使平移后所得的图象经过坐标原点，请在图中直接画出平移
后的二次函数的大致图象，并写出平移后的图象与 轴的另一个交点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)图见解析，
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把抛物线解析式化为顶点式，即可求解；
（3）先求出原抛物线与x轴的交点，再根据平移的性质，即可求解．
（1）解：把点 和 的坐标代入，得 解这个方程组，得 ∴二次函数表
达式为 ．
（2）解∶ ．∴二次函数的顶点坐标是 ．
（3）解：当 时， ∴如图，抛物线与 轴的交点坐标为 ， ∴将二
次函数图象向右平移一个单位，可以使图象经过原点，平移后的图象如图．此时 的坐标是 ．【点睛】
本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
15．（2022·河南商丘·九年级期末）已知二次函数y＝ x2﹣3x+ ．
(1)请把二次函数的解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（直接写出结果），并写出图象的顶点坐标和对称
轴；
(2)请在如图所示的坐标系内画出函数的图象（不必列表）．
【答案】(1)y＝ （x−3）2−2，顶点坐标为（3，−2），对称轴为直线x＝3；
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用配方法得到y＝ （x−3）2−2，然后根据二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标、对称轴；
（2）求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标，结合抛物线的顶点坐标，描点后画出二次函数的图象即可．
（1）解：∵y＝ x2−3x＋ ＝ （x−3）2−2，∴抛物线的顶点坐标为（3，−2），对称轴为直线x＝3；（2）当y＝0时，即 x2−3x＋ ＝0，解得x＝1，x＝5，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（5，
1 2
0），当x＝0时，y＝ ，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0， ），又∵抛物线的顶点坐标为（3，−2），
∴函数图象如图，
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象和性质，正确求出二次函数顶点坐标是解题关键．
