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专题 22.5 二次函数与三角形存在性问题
【例题精讲】
【例1】如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点
，顶点为 ，连接 ， ， ，直线 与抛物线的对称轴 交于点 ．
（1）求抛物线的解析式和直线 的解析式；
（2）求四边形 的面积；
（3） 是第一象限内抛物线上的动点，连接 ， ，当 时，求点 的
坐标；
（4）在抛物线的对称轴 上是否存在点 ，使得 为等腰三角形？若存在，请直接
写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】如图，已知抛物线 与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，点
是抛物线上一动点，连接 ， ．
（1）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）如图1，当点 在直线 上方时，过点 作 上 轴于点 ，交直线 于点
．若 ，求 的面积；
（3）抛物线上存在一点 ，使 是以 为直角边的直角三角形，求点 的坐标．【题组训练】
1．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点．
（1）求抛物线顶点 的坐标（用含 的代数式表示）， ， 两点的坐标；
（2）证明 与 的面积相等；
（3）是否存在使 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理
由．3．如图，抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，点 的坐标为
，点 坐标为 ，对称轴为 ．点 为线段 上的一个动点（不与两端点
重合），过点 作 轴，交抛物线于点 ，交 于点 ．
（1）求抛物线及直线 的表达式；
（2）过点 作 ，垂足为点 ．求线段 的最大值；
（3）试探究点 在运动过程中，是否存在这样的点 ，使得以 ， ， 为顶点的三
角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线 相交于 ， 两点，
其中 ， ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点 为直线 下方抛物线上任意一点，连接 ， ，求 面积的最大值
及此时点 的坐标；
（3）点 为抛物线对称轴上的一点，当以点 ， ， 为顶点的三角形为等腰三角形
时，直接写出点 的坐标．5．如图，已知二次函数 的图象与 轴的两个交点为 与点 ，与 轴
交于点 ．
（1）求此二次函数关系式和点 的坐标；
（2）请你直接写出 的面积；
（3）在 轴上是否存在点 ，使得 是等腰三角形？若存在，请你直接写出点 的
坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知二次函数 的图象交 轴于点 ， ，交 轴于点 ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将直线 向下移动 个单位 ，若直线与抛物线有交点，求 的取值范围；
（3）直线 分别交直线 和抛物线于点 ， ，当 是等腰三角形时，直接
写出 的值．7．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点
，且 的面积为6．
（1）求 ， 两点的坐标；
（2）求该二次函数的表达式；
（3）如果点 在坐标轴上，且 是等腰三角形，直接写出 点坐标．8．如图，直线 和抛物线 都经过 和 两点，抛物线
与 轴交于 、 两点（点 在点 右侧）．
（1）求直线和抛物线的函数表达式；
（2）求四边形 的面积 ；
（3）在 轴上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形？若存在，求出
所有的点 ，若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线 与坐标轴交于点 、 、 ，点 为抛物
线上动点，设点 的横坐标为 ．
（1）若点 与点 关于抛物线的对称轴对称，求 点的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点 在第四象限，连接 、 及 ，当 为何值时， 的面积最大？最
大面积是多少？
（3）是否存在点 ，使 为以 为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ，点 在 轴上，点 在 轴上，其中
，已知抛物线 经过点 和点 ．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点 在直线 上，点 为 轴右侧抛物线上一点，连接 、
， ，若 ，求 点坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下， 为射线 上一点，作 直线 于点 ，连接
， ， ，若 为直角三角形，请直接写出 点坐标．11．如图，抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）连接 ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使 是直角三角形？若存在，
请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点 ， ，
交 轴于点 ．
（1）求抛物线 的表达式和顶点 的坐标．
（2）将抛物线 关于 轴对称的抛物线记作 ，点 为抛物线 上一点若 是以
为直角边的直角三角形，求点 的坐标．13．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
抛物线的顶点为 ，连接 ， 为线段 上的一个动点 不与 、 重合），过
点 作 轴，交抛物线于点 ，交 轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 时，求点 的坐标；
（3）连接 、 、 、 ，当 的面积等于 的面积时（点 与点
不重合），求点 的坐标；
（4）在（3）的条件下，在 轴上，是否存在点 ，使 为等腰三角形，若存在，请
直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．14．将抛物线 向下平移6个单位长度得到抛物线 ，再将抛物线 向左平
移2个单位长度得到抛物线 ．
（1）直接写出抛物线 ， 的解析式；
（2）如图（1），点 在抛物线 （对称轴 右侧）上，点 在对称轴 上， 是以
为斜边的等腰直角三角形，求点 的坐标；
（3）如图（2），直线 ， 为常数）与抛物线 交于 ， 两点， 为线
段 的中点；直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为线段 的中点．求
证：直线 经过一个定点．15．已知抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴相交于 ， 两点（点
在点 右侧），与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式和 ， 两点的坐标；
（2）如图，若点 是抛物线上 、 两点之间的一个动点（不与 、 重合），过点
作 轴的平行线，交直线 于点 ；
①设点 的横坐标为 ，用含 的式子表示出 的长，并求出 的最大值及此时
点的坐标；
②过点 作 ，交抛物线于点 ，是否存在点 使 为等腰直角三角形？
若存在，求出点 的横坐标 的值；若不存在，说明理由；
（3）点 为 轴正半轴上一点，直接写出使 为等腰三角形的点 的坐标．16．在平面直角坐标系中，抛物线 ， 是常数， 与 轴交于 、
两点，与 轴交于点 ，对称轴为直线 ．
（1）填空： （用含 的代数式表示）；
（2）当 时，抛物线上的点到 轴的最大距离为5，求 的值；
（3）若点 的坐标为 ，点 的坐标为 （其中 ，点 为抛物线上一动点，
是否存在以 为斜边的等腰直角三角形 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．17．如图，抛物线 的图象过点 、 、 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小，若存在，请求出点
的坐标及 的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求出所有符
合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左边），
与 轴交于点 ，连接 ．
（1）求 、 、 三点的坐标；
（2）若点 为线段 上的一点（不与 、 重合）， 轴，且 交抛物线于
点 ，交 轴于点 ，当线段 的长度最大时，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，当线段 的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点 ，使得
为直角三角形，直接写出点 的坐标．19．如图，抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点 ，且点
与点 的坐标分别为 ， ，点 是抛物线的顶点，点 为线段 上一个
动点，过点 作 轴于点 ，若 ．
（1）求二次函数解析式；
（2）设 的面积为 ，试判断 有最大值或最小值吗？若有，求出其最值，若没有，
请说明理由；
（3）在 上是否存在点 ，使 为直角三角形？若存在，请写出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．20．如图，抛物线 过点 和点 ，与 轴交于点 在 轴上有一
动点 （其中 为实数， ，过动点 作直线 轴，交抛物线于点 ．
（1）求抛物线解析式及点 的坐标；
（2）当 时，在直线 上是否存在第一象限内的点 ，使得 是以 为底角的
等腰三角形，若存在，求点 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）连接 并延长交 轴于点 ，连接 ， 若 的面积等于 面积
的2倍，求 的值．21．如图，抛物线 经过 ， 两点，与 轴交于点 ， 为第一
象限抛物线上的动点，连接 ， ， ， ， 与 相交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点 的坐标；
（3）是否存在点 ，使 为直角三角形，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，
说明理由．
