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专题22.1.1 二次函数的概念（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1. 理解二次函数的概念；
2. 会根据简单的实际应用列二次函数解析式；
3. 能根据二次函数定义求参数。
【知识点梳理】
考点 1 二次函数的概念 ：
一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数.
其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常
数项．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；
②化简后自变量的最高次数是2；
③二次项系数不为0．考点2 二次函数解析式
（1）一般式：y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）
（2）顶点式：y=a(x-h)²+k（a,b,c是常数， a≠0），其中（h，k）为顶点坐
标
（3）交点式：y=a(x- x1)(x-x2)(a≠0，x1， x2 是抛物线与x轴两交点的坐
标，即一元二次方程ax²+bx+c=0 的两个根 )。
【典例分析】
【考点1 根据简单实际应用求二次函数解析式】
【例1】（2020•萧山区模拟）长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到
的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（ ）
A．y＝32﹣4x（0＜x＜6） B．y＝32﹣4x（0≤x≤6）
C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6） D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）
【变式1-1】（2021秋•浦东新区期末）在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使
小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数
解析式是 ．
【变式1-2】（2021秋•海珠区期中）小王想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩
形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．则S与x之间的
函数关系式是 ．（不用写自变量的取值范围）
【变式1-3】（2021秋•硚口区期中）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的
矩形苗圃园，设苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米，则y与x
的函数关系式是 ．
【考点2 二次函数的概念】
【例2】（2022•福州模拟）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝5x2 B．y＝22﹣2xC．y＝2x2﹣3x3+1 D．
【变式2-1】（2021秋•舞阳县期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2
【变式2-2】（2021秋•上城区期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝﹣
C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x）
【变式2-3】（2021秋•龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
【例3】（2021秋•天津期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是
（ ）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
【变式3-1】（2021秋•娄星区期末）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范
围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
【变式3-2】（2021秋•宿松县校级期末）若y＝（m﹣1） 是二次函数，则m的值是
（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2
【变式3-3】（2021秋•莱芜区期中）若抛物线 是关于x的二次
函数，那么m的值是（ ）
A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3
【考点3 二次函数的判定】
【例4】（2021秋•定南县期中）已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
【变式4-1】（2021春•西湖区校级月考）已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
【变式4-2】（2020•相山区二模）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【变式4-3】（2021秋•碑林区校级月考）一个二次函数y＝（k﹣1） +2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x＝0.5时y的值？专题22.1.1 二次函数的概念（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
4. 理解二次函数的概念；
5. 会根据简单的实际应用列二次函数解析式；
6. 能根据二次函数定义求参数。
【知识点梳理】
考点 1 二次函数的概念 ：
一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数.
其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常
数项．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；
②化简后自变量的最高次数是2；
③二次项系数不为0．考点2 二次函数解析式
（1）一般式：y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）
（2）顶点式：y=a(x-h)²+k（a,b,c是常数， a≠0），其中（h，k）为顶点坐
标
（3）交点式：y=a(x- x1)(x-x2)(a≠0，x1， x2 是抛物线与x轴两交点的坐
标，即一元二次方程ax²+bx+c=0 的两个根 )。
【典例分析】
【考点1 根据简单实际应用求二次函数解析式】
【例1】（2020•萧山区模拟）长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到
的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（ ）
A．y＝32﹣4x（0＜x＜6） B．y＝32﹣4x（0≤x≤6）
C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6） D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）
【答案】A
【解答】解：∵长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形
的周长为ycm，
∴y与x之间的关系式是：y＝2[（10﹣x）+（6﹣x）]＝32﹣4x （0＜x＜6）．
故选：A．
【变式1-1】（2021秋•浦东新区期末）在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使
小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数
解析式是 ．
【答案】 y ＝﹣ 4 x 2 +8 x
【解答】解：∵在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部
分的宽度均为x，
∴小正方形的边长为2﹣2x，
根据题意得：y＝22﹣（2﹣2x）2，
整理得：y＝﹣4x2+8x．故答案为：y＝﹣4x2+8x．
【变式1-2】（2021秋•海珠区期中）小王想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩
形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．则S与x之间的
函数关系式是 ．（不用写自变量的取值范围）
【答案】 y ＝﹣ x 2 +30 x
【解答】解：∵矩形的一边长为x米，
∴另一边长为（30﹣x）米，
则矩形的面积S＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x．
故答案为：y＝﹣x2+30x．
【变式1-3】（2021秋•硚口区期中）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的
矩形苗圃园，设苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米，则y与x
的函数关系式是 ．
【答案】 y ＝﹣ 2 x 2 +30 x
【解答】解：设苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（30﹣
2x）米．
依题意可得：y＝x（30﹣2x），即y＝﹣2x2+30x．
故答案为：y＝﹣2x2+30x．
【考点2 二次函数的概念】
【例2】（2022•福州模拟）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝5x2 B．y＝22﹣2x
C．y＝2x2﹣3x3+1 D．
【答案】A
【解答】解：A、y＝5x2，是二次函数，故A符合题意；
B、y＝22﹣2x，是一次函数，故B不符合题意；
C、y＝2x2﹣3x3+1，不是二次函数，故C不符合题意；D、y＝ ，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：A．
【变式2-1】（2021秋•舞阳县期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2
【答案】C
【解答】解：A．y＝ ，不是二次函数，故A不符合题意；
B．y＝ ，不是二次函数，故B不符合题意；
C．y＝x2+2x﹣1，是二次函数，故C符合题意；
D．y＝x﹣2，不是二次函数，故B不符合题意；
故选：C．
【变式2-2】（2021秋•上城区期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝﹣
C．y＝（x﹣5）2﹣x2 D．y＝x（1﹣x）
【答案】D
【解答】解：A．y＝2x﹣3，不是二次函数，故A不符合题意；
B．y＝﹣ ，不是二次函数，故B不符合题意；
C．y＝（x﹣5）2﹣x2＝x2﹣10x+25﹣x2＝﹣10x+25，不是二次函数，故C不符合题意；
D．y＝x（1﹣x）＝﹣x2+x，是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
【变式2-3】（2021秋•龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x【答案】C
【解答】解：A、y＝4x，是一次函数，错误；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y＝x2，是二次函数，正确；
D、y＝ hx，h一定，是一次函数，错误．
故选：C．
【例3】（2021秋•天津期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是
（ ）
A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1
【答案】B
【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，
∴|a+3|＝2且a+1≠0，
解得a＝﹣5，
故选：B．
【变式3-1】（2021秋•娄星区期末）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范
围是（ ）
A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0
【答案】A
【解答】解：由题意得：a﹣2≠0，
解得：a≠2，
故选：A．
【变式3-2】（2021秋•宿松县校级期末）若y＝（m﹣1） 是二次函数，则m的值是
（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2
【答案】B
【解答】解：∵y＝（m﹣1） 是二次函数，
∴m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1或m＝1（舍），
∴m＝﹣1，故选：B．
【变式3-3】（2021秋•莱芜区期中）若抛物线 是关于x的二次
函数，那么m的值是（ ）
A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3
【答案】C
【解答】解：由题意得，m2﹣5m+8＝2且m﹣3≠0，
解得m ＝2，m ＝3，且m≠3，
1 2
所以，m＝2．
故选：C．
【考点3 二次函数的判定】
【例4】（2021秋•定南县期中）已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何
值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
【答案】（1）m＝ （2）（ ，﹣8）．
【解答】解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得
，
解得m＝ ，
当m＝ 时，y是x的一次函数；
（2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得
，
解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去），
当m＝2时，y是x的二次函数，
当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2，
解得x＝ ，故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（ ，﹣8）．
【变式4-1】（2021春•西湖区校级月考）已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
【答案】（1）m＝﹣2； （2）m≠﹣2且m≠0．
【解答】解：（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m＝0，m≠0，
解得：m＝﹣2；
（2））∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
【变式4-2】（2020•相山区二模）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【答案】（1）m＝0 （2）m≠0且m≠1
【解答】解：（1）依题意得
∴
∴m＝0；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
∴m≠0且m≠1．
【变式4-3】（2021秋•碑林区校级月考）一个二次函数y＝（k﹣1） +2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x＝0.5时y的值？
【答案】（1）k＝2 （2）x＝0.5时，y＝
【解答】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，
解得：k＝2；（2）把k＝2代入y＝（k﹣1） +2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，
当x＝0.5时，y＝ ．
