文档内容
第 04 讲 正方形的性质和判定
【题型1 正方形的概念和性质】
【题型2正方形的判定】
【题型3正方形的性质与判定综合】
考点1：正方形的概念与性质
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图
形，有两条对称轴）
【题型1 正方形形的概念和性质】
【典例1】（2023秋•顺德区期末）在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别
在边BC和CD上，则∠CEF＝（ ）
A．75° B．60° C．50° D．45°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，
故选：D．
【变式1-1】（2023秋•禅城区期末）如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的
一点．连接BE，且AB＝AE，则∠EBC的度数是（ ）
A．45° B．30° C．22.5° D．20°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝ ＝67.5°．
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：C．
【变式1-2】（2023秋•淄川区期末）如图所示，在正方形 ABCD中，O是对角线AC、BD
的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD，
又∵OE⊥OF，
∴∠EOB+∠BOF＝90°＝∠BOF+∠COF，
∴∠EOB＝∠COF，∴△BEO≌△CFO（ASA），
∴BE＝CF＝3，
又∵AB＝BC，
∴AE＝BF＝4，
∴Rt△BEF中，EF＝ ＝ ＝5．
故选：C．
【变式1-3】（2023秋•西宁期末）如图，正方形AOBC的边OB，OA分别在x轴和y轴上，
点A（0，4），点D（4，3）在BC边上，将△ACD以点A为旋转中心，顺时针旋转90°
得到△AOD′，AM平分∠DAD′交OB于点M，则点M的坐标是 （ 2. 4 ， 0 ） ．
【答案】（2.4，0）．
【解答】解：连接DM，
∵将△ACD以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△AOD′，
∴AD'＝AD，D'O＝CD，
∵AM平分∠DAD′交OB于点M，
∴∠D'AM＝∠DAM，
∵AM＝AM，
∴△D′AM≌△DAM，
∴D'M＝DM，
∵点A（0，4），点D（4，3），四边形AOBC是正方形，
∴OA＝BC＝4，BD＝3，CD＝1，设OM＝x，则D'M＝DM＝1+x，BM＝4﹣x，
∴DM2＝BM2+BD2，
∴（1+x）2＝32+（4﹣x）2，
解得x＝2.4，
∴M的坐标为（2.4，0），
故答案为：（2.4，0）．
【变式1-4】（2023秋•磐石市期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是
另一个正方形A'B'C'O的一个顶点．若两个正方形的边长均为2，则图中阴影部分图形的
面积为 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设A′O与AB交于点E，C′O与BC交于点F，
因为四边形ABCD是正方形，
所以AO＝BO，∠AOB＝90°，∠EAO＝∠FBO．
∴∠AOE+∠BOE＝90°．
又∠BOF+∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF．
所以△AEO≌△BFO（ASA）．
∴四边形EBFO面积＝△BEO面积+△BFO面积＝△BEO面积+△AEO面积＝△ABO面
积．
因为正方形ABCD边长为2，
∴正方形面积为4，∴△ABO面积为1．
所以阴影部分面积为1．
故答案为1．
考点2：正方形的判定
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：
【题型2正方形的判定】
【典例2】（2023•秦都区校级二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．BD＝AB B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD
【答案】B
【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形．故选：B．
【变式2-1】（2023春•黄岩区期末）如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判
断不正确的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
【答案】D
【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可
得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．
故A、B正确；
如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，
∴∠FAD＝∠ADF，
∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形 AEDF是菱形，故C
正确；
如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D
错误．
故选：D．
【变式2-2】（2023春•楚雄州期末）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C．有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．各边都相等的四边形是正方形
【答案】A
【解答】解：∵菱形是特殊的平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，
∴对角线相等的菱形同时也是矩形，∴对角线相等的菱形是正方形，
故A正确；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但不一定是正方形，
故B错误；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，
故C错误；
根据菱形的判定定理，各边都相等的四边形是菱形，
故D错误，
故选：A．
【变式2-3】（2023春•江都区期末）小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和
特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件：
①AB＝AD；
②AC＝BD；
③AC⊥BD；
④AC平分∠DAB中，
选择其中一个条件填入（ ）处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解答】解：根据一组邻边相等的矩形是正方形，可得①符合题意；
矩形的对角线本身是相等的，所以添 AC＝BD不能判定四边形ABCD是正方形，故②
不符合题意；
根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可得③符合题意；
由AC平分∠DAB，可证明矩形ABCD的四边相等，根据四边相等的矩形是正方形，可
得④符合题意，
所以所有正确选项的序号是①③④．故选：C．
【变式2-4】（2023春•迁安市期末）如图，一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到
正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：
①a→c→d
②a→b→c
③b→d→c，
则正确的添加顺序是（ ）
A．仅① B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【解答】解：①a→c→d，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的
四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形，符合题意；
②a→b→c．只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，不符合题意．
③b→d→c，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边
形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，符合题意．
故选：C．
【题型3正方形的性质与判定综合】
【典例3】（2023春•秦淮区期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3 ，点E
为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻
边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中， ，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝ AB＝ ×3 ＝6是定值．
【变式3-1】（2023春•建昌县期末）如图，Rt△ABC两条外角平分线交于点 D，∠B＝
90°，过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE是正方形；
（2）若BF＝6，点C为BF的中点，直接写出AE的长．
【答案】2．
【解答】（1）证明：如图所示：过点D作DH⊥AC，
∵DE⊥BA，DF⊥BC，
∴∠E＝∠F＝∠B＝90°，
∴四边形BFDE是矩形，
∵AD平分∠EAC，DE⊥BA，
∴DE＝DH，
∵CD平分∠ACF，DF⊥BC，DH⊥AC，
∴DH＝DF，
∴DE＝DF，
∴四边形BFDE是正方形；
（2）解：∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝∠DHC＝90°，
由（1）∠E＝∠F＝90°，DE＝DH，DH＝DF，
∴∠AHD＝∠DHC＝∠E＝∠F＝90°，
在Rt△AED和Rt△AHD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL），
∴AE＝AH，
同理可以证明Rt△DFC≌Rt△DHC（HL），
∴CH＝CF，
∵BF＝6，C为BF中点，
∴BC＝CF＝CH＝3，
∵四边形BFDE是正方形，
∴BE＝BF＝6，
设AE＝x，则AB＝BE﹣AE＝6﹣x，AC＝AH+CH＝x+3，
由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解之得：x＝2，
∴AE的长为2．
【变式3-2】（2023春•青海月考）如图，已知菱形ABCD，E、F是对角线BD所在直线上
的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的周长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）4 ．【解答】解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF，
∴BE+OB＝DF+DO，
∴FO＝EO，
∴EF与AC垂直且互相平分，
∴四边形AECF是菱形，
∴∠AEF＝∠CEF，
又∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形；
（2）∵菱形AECF是正方形，BD＝4，BE＝3，
∴OD＝2，
∴FD＝3，
∴EF＝10，
∴AC＝10，
∴OC＝5，
∴CD＝ ＝ ＝ ，
∴菱形ABCD的周长＝4CD＝4 ．
答：菱形ABCD的周长为4 ．
【变式3-3】（2022春•赣县区期末）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的
点，且AE＝BF＝CM＝DN
（1）求证：四边形EFMN是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFMN的周长．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）20．
【解答】（1）证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS）．
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形，
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°．
∴∠ENM＝90°．
∴四边形EFMN是正方形；
（2）解：∵AB＝7，AE＝3，
∴AN＝BE＝AB﹣AE＝4，
∴EN＝ ＝5，
∴正方形EFMN的周长＝4×5＝20．
【变式3-4】（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形 ABCD中，点E，F分别在BC，CD边
上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若 ，BE＝1，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明过程见解析；
（2）17．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵AE＝AF，
∴∠AFE＝∠AEF，
∵∠CEF＝45°，∠C＝90°，
∴∠CFE＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
（2）解：∵由（1）可知： ，
又BE＝1，∠B＝90°，
∴由勾股定理得， ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ．
【变式3-5】（2022•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交
BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．
（1）求证：四边形AFDE为正方形；
（2）若AD＝2 ，求四边形AFDE的面积．
【答案】（1）见解答．
（2）4．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠EAD．
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠FAD．
∴∠EDA＝∠EAD．
∴AE＝DE．
∴四边形AFDE是菱形．
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFDE是正方形．
（2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝2 ，
∴AF＝DF＝DE＝AE＝ ＝2．
∴四边形AFDE的面积为2×2＝4
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•沈丘县期末）用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，
则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【解答】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积
为1×1÷2＝ ；是原正方形的面积的一半；故选：A．
2．（2023•陵城区校级一模）如图，在正方形 ABCD中，E为对角线BD上一点，连接
AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（ ）A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，
∵DE＝DE，
∴△AED≌△CED（SAS），
∴∠EAD＝∠ECD，
又∵∠BCE＝70°，
方法1：∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BCE＝20°．
方法2：∴∠BEC＝65°，
∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，
即65°＝45°+∠ECD，
∴∠ECD＝20°，
∴∠EAD＝20°．
故选：C．
3．（2023春•许昌期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是90° B．四边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
【答案】B
【解答】解：∵正方形的性质为：对边平行且相等，四条边相等，四个角为直角，对角
线互相垂直平分，相等，且每条对角线平分一组对角，
矩形的性质为：对边平行且相等，四个角为直角，对角线互相平分，相等，
∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是：四边相等，
故选：B．
4．（2023•江津区二模）如图，延长正方形ABCD边B至点E，使AE＝BD，则∠E为（
）A．22.5° B．25° C．30° D．45°
【答案】A
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，且∠CAB＝45°，
又∵BD＝AE，
∴AE＝CA，
∴∠E＝∠ACE，
∵∠CAB＝∠ACE+∠E＝2∠E＝45°，
∴∠E＝22.5°．
故选：A．
5．（2022秋•周村区期末）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条
件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ）
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴当BC＝CD时，四边形ABCD是正方形，
故选：A．
6．（2023秋•于洪区期末）小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图
1），测得对角线 ，将正方形学具变形为菱形（如图2），∠DAB＝60°，
则图2中对角线AC的长为（ ）A．20cm B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，AC＝10 cm，
∴AB＝AD＝ AC＝10cm，
在图2中，连接BD交AC于O，
∵∠ABC＝60°，AB＝AD＝10cm，
∴△ABD是等边三角形，则BD＝10cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝ ＝5cm，AO＝CO，AC⊥BD，
∴AO＝ ＝ ＝5 （cm），
∴AC＝2AO＝10 （cm），
故选：C．
7．（2023春•武汉期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（0，1），
B（2，0）均在坐标轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（1，3） B．（3，2） C．（2，3） D．（2，4）
【答案】B
【解答】解：过C作CH⊥x轴于H，如图：∵A（0，1），B（2，0），
∴OA＝1，OB＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠CBH＝∠BCH，
∵∠AOB＝∠BHC＝90°，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴OA＝BH＝1，OB＝CH＝2，
∴OH＝OB+BH＝3，
∴C（3，2）；
故选：B．
8．（2023春•方城县期末）如图，在正方形ABCD中，点P在边AB上，AE⊥DP于点E，
CF⊥DP于点F，若AE＝4，CF＝7，则EF＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝90°，CD＝DA，
∴∠CDF+∠ADE＝90°，
∵AE⊥DP，CF⊥DP，
∴∠AED＝∠DFC＝90°，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，
∴∠CDF＝∠DAE，在△CDF和△DAE中，
∵∠DFC＝∠AED＝90°，∠CDF＝∠DAE，CD＝DA，
∴△CDF≌△DAE（AAS），
∴CF＝DE＝7，DF＝AE＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：C．
9．（2023春•青秀区校级期末）如图，在正方形ABCD外侧作等边△ABE，连接DE，则
∠EDB的度数为（ ）
A．15° B．20° C．22.5° D．30°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，∠BAE＝∠ABE＝60°，
在△ADE中，AD＝AE，∠DBE＝∠ABD+∠ABE＝90°+60°＝150°，
∴∠EDB＝ （180°﹣150°）＝15°，
故选：A．
10．（2023春•五莲县期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E
为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．12
【答案】B
【解答】解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，∵F为DE的中点，
∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，
∵OF＝1，
∴BE＝2OF＝2，
∵CE＝6，
∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，
∴CD＝BC＝8，
在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，
∴ED＝ ，
∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．（2023春•泰兴市期末）如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，
EF⊥CD，EG⊥AD，垂足分别为F、G，已知EG＝1，EF＝3，则BE的长度为
．
【答案】 ．
【解答】解：如图所示，连接DE，GF，∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°，∠ADC＝90°，
又∵CE＝CE，
∴△CBE≌△CDE（SAS），
∴BE＝ED，
∵EF⊥CD，EG⊥AD，
∴∠EGD＝∠GDF＝∠DFE＝90°，
∴四边形GEFD是矩形，
∴GF＝DE，
在Rt△EFG中，EG＝1，EF＝3，
∴FG＝ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．（2023秋•白银期末）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边BC上，AF⊥AE交
CD的延长线于点F，则四边形AECF的面积为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠DAF＝90°﹣∠DAE＝∠BAE
∵∠ADF＝∠ABE＝90°，
∴△ADF≌△ABE（ASA），
∴△ADF的面积＝△ABE的面积，
∴四边形AECF的面积＝△ADF的面积+四边形ADCE的面积＝△ABE的面积+四边形
ADCE的面积＝正方形ABCD的面积＝22＝4．故答案为：4．
13．（2022秋•锦江区期末）小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得
AC＝5，∠B＝60°，接着，她又将这个学具活动成为图2所示正方形，此时A'C'的长为
5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵AC＝5，
∴AB＝BC＝5，
∵四边形A′B′C′D′为正方形，
∴∠A′B′C′＝90°，
由旋转的性质得出A′B′＝B′C′＝AB＝5，
∴A′C′＝ ＝5 ，
故答案为：5 ．
14．（2023春•孝义市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，请你添加一
个条件使它是正方形，你添加的条件是 ∠ ABC ＝ 90 ° （答案不唯一） ．
【答案】∠ABC＝90°（答案不唯一）．【解答】解：根据有一个内角为90°的菱形是正方形可知添加的条件∠ABC＝90°（答案
不唯一），
故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．
15．（2023春•西丰县期中）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O
作射线OM，ON，分别交CD，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，连接EF给出下列结论：
①△COE≌△BOF；
②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的 ；
③EF平分∠OEC；
④DE2+BF2＝EF2．
其中正确的是 ①②④ （填序号）．
【答案】①②④．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠BOF，
∴△COE≌△BOF（ASA），故①正确；
②由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ，故②正确；
③∵△COE≌△BOF，
∴OE＝OF，
∴∠OFE＝∠OEF＝45°，
∵∠CEO≠90°，
∴∠OEF≠∠CEF，故③错误；
④∵△COE≌△BOF，
∴CE＝BF，∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴DE＝CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，
∴DE2+BF2＝EF2，故④正确；
综上所述，正确的是①②④，
故答案为：①②④．
三．解答题（共3小题）
16．（2023秋•礼泉县期末）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且
AE＝BF＝CM＝DN．求证：四边形EFMN是正方形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：四边形EFMN是正方形．
证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF．
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形．
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°．
∴∠ENM＝90°．
∴四边形EFMN是正方形．
17．（2022春•醴陵市期末）如图，在矩形 ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且
AE⊥BF，垂足为M．
（1）若矩形ABCD为正方形，求证：AE＝BF；
（2）若AE＝BF，求证：矩形ABCD为正方形．【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）证明过程详见解答．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，
∴∠ABF+∠CBF＝90°，
又∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠ABF+∠CBF＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AB＝BC，
又∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．
18．（2022 春•桂林期末）如图，在矩形 ABCD 中，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，
EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）2﹣ ．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中， ，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）∵矩形ABCD，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，
∴四边形ABEF是正方形；
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∴AD＝ ，∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴DF＝ ﹣1，
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴DF＝FO＝ ﹣1，
∴DO＝ DF＝2﹣ ．
