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第22章 二次函数单元检测
一、单选题
1
1．抛物线y=− x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
2
1 1
A．y=− x2+x B．y=− x2−4
2 2
1
C．y=− x2+2021x−2022 D．y=−x2+x+1
2
【答案】D
1
【解析】【解答】解：抛物线y=− x2+x+1经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，
2
而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到.
故答案为：D.
【分析】抛物线经过平移后，a的值不会发生改变，据此判断.
2．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐
标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是
( )
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【答案】A
【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-x2+4x的顶点坐标
的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．
【解答】∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-x2+4x的顶点坐标的纵坐标，
∴y=-x2+4x=-（x-2)2+4，
∴顶点坐标为：（2，4)，
∴喷水的最大高度为4米，
故选A．【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函
数的知识解决实际问题．
3．二次函数y=x2-2x+2与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】【分析】根据x轴上点的坐标特点令y=0，求出x的值即可．
【解答】∵△=（-2)2-4×1×2=-4＜0，
∴二次函数y=x2-2x+2与x轴没有交点，与y轴有一个交点．
故答案为：B．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
4．某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y
（万元）与新增加的投资额x（万元）之间函数关系为（ ）
A．y=25x+15 B．y=2.5x+1.5 C．y=2.5x+15 D．y=25x+1.5
【答案】C
【解析】【解答】解：新增加的投资额x万元，
250x
则增加产值 万元．
100
这函数关系式是：y=2.5x+15．
故选C．
【分析】每增加100元投资，一年增加250元产值，那么增加1万元投资，就要增加2.5万元的产值．
总产值=现在年产值+增加的年产值．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（2，0）．下列结论：
①ac＜0；②2a+b＝0；③若关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，则t＞0；④若
ax2+bx＝ax2+bx，且x≠x，则x+x＝4．
1 1 2 2 1 2 1 2
其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＞0，所以①不符合题意；
②∵顶点M（2，0），
b
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝2，
2a
∴4a+b＝0，所以②不符合题意；
③∵抛物线的顶点M的坐标为（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
又∵4a+b＝0，
∴b+c＝0，即b＝﹣c，4a＝c，
∵关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4a（c﹣t）＞0，即c2﹣c（c﹣t）＞0，
得ct＞0，
∵c＞0，
∴t＞0，所以③符合题意；
④∵ax2+bx＝ax2+bx，
1 1 2 2
则 ax ❑ 2+bx +c=ax ❑ 2+bx +c ，
1 1 2 2
∵当x＝x 与x＝x 时，y值相同，
1 2
∴x，x 关于对称轴x＝2对称，
1 2
x +x
则 1 2=2 ，即x+x＝4，所以④符合题意．
1 2
2故答案为：B．
【分析】由抛物线开口向上，得出a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方，得出c＞0，所以①不符
b
合题意；根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝2，4a+b＝0，所以②不符合题意；由抛物线的顶点
2a
M的坐标为（2，0），得到4a+2b+c＝0，再得4a+b＝0，b+c＝0，即b＝﹣c，4a＝c，由c＞0，得到
t＞0，所以③符合题意；由ax2+bx＝ax2+bx，得出x，x 关于对称轴x＝2对称，所以④符合题意．
1 1 2 2 1 2
6．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m绕原点旋转180°，在旋转后的抛物线上，
当x > 4时，y随x的增大而增大，则m的范围是（ ）
A．m > ﹣7 B．m ≥ ﹣7 C．m < ﹣7 D．m ≤ ﹣7
【答案】B
【解析】【解答】解：将抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m绕原点旋转180°后，得到的图象的解析式为﹣
y＝﹣（﹣x）2+（m﹣1）（﹣x）+m，
即y＝x2+（m﹣1）x﹣m，
∵在旋转后的抛物线上，当x＞4时，y随x的增大而增大，
m−1
∴﹣ ≤4，
2
解得，m≥﹣7，
故答案为：B.
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得旋转后的抛物线，根
m−1
据二次函数的性质得到﹣ ≥4，解得即可.
2
7．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（ ）
A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3
【答案】D
【解析】【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），
所以该抛物线有最大值是﹣3．
故选D．
【分析】由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），根据抛物线的性质可直接做出判断．
8．抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(−3，0) ，对称轴是直线 x=−1 ，则 a+b+c= （ ）
A．6 B．8 C．9 D．0
【答案】D【解析】【解答】解：∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(−3，0) ，对称轴是直线 x=−1 ，
∴根据对称性，抛物线 y=ax2+bx+c 一定经过点 (1，0) ，代入抛物线解析式得，
0=a+b+c ；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，由此求出a+b+c的值。
9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若ax2+bx+c=k（k≠0）有两个不相等的实数根，求k
的取值范围( )
A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞3
【答案】B
4ac−b2
【解析】【分析】先根据抛物线的图象可知a＞0，其最小值为3，故 =-3，再根据关于x的方
4a
程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根可知△＞0，进而可求出k的取值范围．
【解答】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线顶点的纵坐标为-3，
4ac−b2
=-3，即4ac-b2=-12a①，
4a
∵关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4a（c-k)＞0，即b2-4ac+4ak＞0②，把①代入②得，12a+4ak＞0，
∴3+k＞0，即k＞-3．
故选B．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点及一元二次方程的判别式、不等式的基本性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
10．二次函数y=﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y =﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（）
最大值
A．t=0 B．0≤t≤3 C．t≥3 D．以上都不对
【答案】C
【解析】【解答】解：∵y=﹣x2+6x﹣7=﹣（x﹣3）2+2，当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，
y =f（3）=2，与y =﹣（t﹣3）2+2矛盾．
max max
当3≥t+2时，即t≤1时，y =f（t+2）=﹣（t﹣1）2+2，与y =﹣（t﹣3）2+2矛盾．
max max
当3≤t，即t≥3时，y =f（t）=﹣（t﹣3）2+2与题设相等，故t的取值范围t≥3．
max
故答案为：C．
【分析】将标准式化为顶点式y=-x2+6x-7=-(x-3)2+2，由t≤x≤t+2时，y =-（t-3）2+2，当x≥3时，y
最大值
随x的增大而减小，由此即可求解。
二、填空题
11．已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图像与x轴分别交于点 A(−2，0) ， B(−4，0) ，则关于x
的方程 ax2+bx+c=0 的根为 ．
【答案】x =−2 ， x =−4
1 2
【解析】【解答】解：∵y=ax2+bx+c 的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），
∴ax2+bx+c=0 的根为 x =−2 ， x =−4 ，
1 2
故答案为： x =−2 ， x =−4 ．
1 2
【分析】根据 y=ax2+bx+c 的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），得出
ax2+bx+c=0 的根，即可得出答案。
12．二次函数的图象向下平移3个单位长度后，再向右平移3个单位长度，得到y＝x2+1的图象，则
原函数表达式为 .
【答案】y＝（x+3）2+4
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象向下平移3个单位长度后，再向右平移3个单位长度，得到y
＝x2+1的图象，
∴将y＝x2+1的图象向上平移3个单位长度后，再向左平移3个单位长度，得到原抛物线图象，
∴原抛物线的解析式为：y＝（x+3）2+4.
故答案为：y＝（x+3）2+4.
【分析】二次函数y=a（x-h）2+k向左平移m（m>0）个单位长度，得新二次函数的解析式为y=y=a
（x-h+m）2+k；二次函数y=a（x-h）2+k向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a（x-h-m）2+k；二次函数y=a（x-h）2+k向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数
的解析式为y=a（x-h）2+k+m；二次函数y=a（x-h）2+k向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二
次函数的解析式为y=a（x-h）2+k-m，据此即可得出答案.
13．用长为12米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，当x等于 时窗户的
透光面积最大（铝合金条的宽度不计）.
【答案】2
【解析】【解答】解：设矩形窗户的透光面积为 S 平方米，窗户的高为 x 米，则窗户的宽为
12−3x
米，
2
12−3x
由此得出 S=x( ) ，
2
3 3
整理得 S=− x2+6x=− (x−2) 2+6 ，
2 2
3
因为 − <0 ，抛物线开口向下，取 x=2 得最大值，最大值为6；
2
故答案为2.
【分析】设矩形窗户的透光面积为S平方米，窗户的高为x 米，利用矩形的性质，可得到y与x之间
的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出s的最大值.
14．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形．为了牢固起见，每段护栏按0.4m的间距加装不锈钢的支
柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则其中防护栏支柱AB 的长度为 m．
2 2
【答案】0.48
【解析】【解答】根据所建坐标系特点可设解析式为y=ax2+c的形式，结合图象易求D点和C点坐标，
代入解析式解方程组求出a，c的值得解析式；再根据对称性求出AB 长度：
2 2如图，建立平面直角坐标系，则由题意得D（0，0.5）、C（1，0）.
设抛物线的解析式为：y=ax2+c
1 1
代入得 a=-0.5，c=0.5，∴解析式为：y=− x2+ .
2 2
当x=-0.2时y=0.48，
∴这条防护栏的不锈钢支柱AB 的长度为0.48 m．
2 2
【分析】二次函数的应用．
15．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是
对称轴右侧抛物线上一点，且tan∠DCB＝3，则点D的坐标为 .
7 15
【答案】（ , ）
2 4
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴解得A（1，0），B（2，0），C（0，2），
∴OB＝OC
∴∠OBC＝45°，
如图，过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，
∴∠COB＝∠MGB＝90°
∴∠CBO+∠MBG＝90°
∴∠MBG＝45°
∴MG＝BG
∴△OCB∽△GBM
BC OC
∴ ＝
BM BG
MB
∵tan∠DCB＝ ＝3
BC
1 2
∴ =
3 BG
∴BG＝6
∴MG＝6
∴M（8，6）
设直线CM解析式为y＝kx+b，
把C（0，2），M（8，6）代入，
1
解得k＝ ，b＝2
2
1
所以直线CM的解析式为y＝ x +2
2
{ 1
y= x+2
联立 2
y=x2−3x+27
{ x =
{x =0 2 2
解得 1 ，
y =2 15
1 y =
2 4
7 15
∴D（ , ）
2 4
7 15
故答案为：（ , ）.
2 4
【分析】根据抛物线y＝x2−3x＋2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，得A、B、C的坐标，过
点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，易证等腰直角三角形OCB∽等腰直
角三角形GBM，可求得点M的坐标，用待定系数法可求得直线CM的解析式，联立直线和抛物线，
解方程组即可得点D的坐标.
三、解答题
16．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2−2x−15=0；
（2）(x+4) 2−5(x+4)=0．
【答案】（1）解：∵x2−2x−15=0，
∴(x−5)(x+3)=0，
∴x−5=0或x+3=0，
∴x =5，x =−3
1 2
（2）解：∵(x+4) 2−5(x+4)=0，
∴(x+4)(x+4−5)=0，
∴x+4=0或x−1=0，
∴x =−4，x =1．
1 2
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用十字相乘法分解因式，
故此题利用因式分解法求解；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故此题利用
因式分解法求解.
17．如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．【答案】解：作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，∠B=30°，
1 1
则AE= AB= x，
2 2
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD+BC=60﹣AB﹣CD=60﹣2x，
1 1 1 1
∴S= （AD+BC）×AE= （60﹣2x）× x=﹣ x2+15x（0＜x＜60）．
2 2 2 2
1 1
【解析】【分析】作AE⊥BC，在Rt△ABE中，求出AE= AB= x，利用梯形的周长可得出
2 2
AD+BC的值，代入梯形面积公式即可得出y与x的函数表达式．
18．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（4，0），B（0，﹣3），C（﹣2，0），求它的解析式，
直接写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【答案】解：∵A（4，0），B（0，－3），C（－2，0），
{
c=−3
∴ 16a+4b+c=0
4a−2b+c=0
3 3
解得：a= ，b=− ，C＝－3，
8 4
3 3
∴二次函数解析式为：y= x2− x−3.
8 4
3
∵a= >0，
8
∴二次函数的图象开口向上；
3
−
b 4
∵− =− =1，
2a 3
2×
8
∴二次函数的对称轴为x＝1；
3 3 27
将x=1代入y= x2− x−3得：y=− ，
8 4 827
∴二次函数的顶点坐标为（1，− ）.
8
【解析】【分析】由题意把点A、B、C的坐标代入二次函数 y＝ax2＋bx＋c ，可得关于a、b、c的方
程组，解方程组可求得二次函数的解析式，由a的符号可判断二次函数的图象开口向上；根据对称轴
b
x=− 可求得二次函数的对称轴为x＝1；把对称轴x=1的值代入二次函数的解析式求得y的值，即
2a
为顶点坐标.
1 8
19．如图，王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y=﹣ x2+ x，其中y
5 5
（m）是球飞行的高度，x（m）是球飞行的水平距离．
（1）飞行的水平距离是多少时，球最高？
（2）球从飞出到落地的水平距离是多少？
1 8 1 16 16
【答案】解：（1）∵y=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣4）2+ ，∴当x=4时，y有最大值为 ．所以当球水平
5 5 5 5 5
16 1 8
飞行距离为4米时，球的高度达到最大，最大高度为 米；（2）令y=0，则﹣ x2+ x=0，解得
5 5 5
x=0，x=8．所以这次击球，球飞行的最大水平距离是8米．
1 2
【解析】【分析】（1）把函数关系式配方成二次函数的顶点式，根据顶点式可知最值情况；
（2）球落到地面时高度为0，可令y=0，求出x的值即可．
20．已知x ，x 是一元二次方程x2−2x+k+2=0的两个实数根．
1 2
（1）求k的取值范围．
1 1
（2）是否存在实数k，使得等式 + =k−2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说
x x
1 2
明理由．
【答案】（1）解： ∵ 一元二次方程 x2−2x+k+2=0 有两个实数根，
∴Δ=(−2) 2−4×1×(k+2)≥0 ，解得： k≤−1 ．
（2）解： ∵x ， x 是一元二次方程 x2−2x+k+2=0 的两个实数根，
1 2
∴x +x =2 ， x x =k+2 ．
1 2 1 2
1 1
∵ + =k−2 ，
x x
1 2
x +x 2
∴ 1 2= =k−2 ，
x x k+2
1 2
∴k2−6=0 ，
解得： k =−√6 ， k =√6 ．
1 2
又 ∵k≤−1 ，
∴k=−√6 ．
1 1
∴ 存在这样的 k 值，使得等式 + =k−2 成立， k 值为 −√6 ．
x x
1 2
【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根可得△≥0，代入求解可得k的范围；
x +x 2
（2） 根据根与系数的关系可得x+x =2，xx=k+2，根据已知条件可得 1 2= =k−2 ，求解可
1 2 1 2 x x k+2
1 2
得k的值，然后利用k的范围进行取舍.
21．某网店经营一种热销商品，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件商品的售价不低于20元
且不高于28元，在销售过程中发现该商品每周的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关
系；当销售单价为22元时，销售量为36件；当销售单价为24元时，销售量为32件．
（1）请求出y与x的函数关系式；
（2）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为w元，
①写出w与x的函数关系式；
②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b ，
{22k+b=36
把 x=22 ， y=36 和 x=24 ， y=36 分别代入 y=kx+b 得， ，
24k+b=32
{k=−2
解得， ．
b=80
∴y 与 x 的函数关系式为 y=−2x+80 ；（2）解： ① 由题意可得： w=(x−20)(−2x+80)=−2x2+120x−1600 ，
∴w 与 x 的函数关系式为 w=−2x2+120x−1600 ．
②w=−2x2+120x−1600=−2(x−30) 2+200 ，
∵−2<0 ， w 有最大．且对称轴为直线 x=30 ，
∴ 在对称轴左侧，即 x<30 时， w 随 x 的增大而增大，
又 ∵ 售价不低于 20 元且不高于 28 元，即 20≤x≤28 ，
∴ 当 x=28 时， w =−2(28−30) 2+200=192( 元 ) ，
最大
答：该商品销售单价定为28元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元．
【解析】【分析】（1）设y与x的关系式为y=kx+b，将x=22、y=36；x=24、y=36代入求出k、b的
值，据此可得对应的关系式；
（2）①根据题意可得每件的利润为(x-20)元，由利润=每件的利润×销售量可得w与x的关系式；
②根据①的关系式结合二次函数的性质可得利润的最大值以及对应的销售单价.
22．如图，直线y=﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2交于B，C两点，点B坐标为
（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当 -x+2＞ax2 时，请观察图像直接写出x的取值范围.
【答案】（1）解：∵点B在抛物线上，
∴1=a×1，
∴a=1，
∴ y=x2 .
（2）由题意得：-x+2=x2
得 x =1，x = -2
1 2∴C(-2，4)
1
∴S = ×2×4=4
△AOC 2
（3）-2＜x＜1
【解析】【分析】(1)利用待定系数法抛物线解析式即可；
(2)联立直线和抛物线的函数式求出C点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；
(3)看图象，找出直线在抛物线上方部分，读出这时的x范围即可.
23．如图所示，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，-
3），已知AB=4，对称轴在y轴左侧．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点N在对称轴上，则抛物线上是否存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形，若存在，
请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，且S = ，请直接写出点P的坐标．
△PBC
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c交y轴于点C（0，-3），
∴c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2+bx-3，
设A（x ，0），B（x ，0），
1 2
由题意得x -x =4，
2 1
∴（x +x ）2-4x x =16，
1 2 1 2
∵x +x =-b,x x =-3，
1 2 1 2
∴b2+12=16，∴b=±2，
又∵对称轴在y轴左侧，
∴b=2，
∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3；
（2）存在点M，使得点A、O、N、M构成平行四边形．
∵抛物线的解析式为y=x2+2x-3，
∴y=0时，x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0），
①若OA为边，
∴AO∥MN，OA=MN=3，
∵N在对称轴x=-1上，
∴点M的横坐标为2或-4，
当x=2时，y=5，当x=-4时，y=5，
∴M（2，5）或（-4，5）；
②若OA为对角线时，
∵A（-3，0），O（0，0），
∴OA的中点的坐标为（- ，0），
∵N在直线x=-1上，
设M的横坐标为m,
∴
∴m=-2，
把m=-2代入抛物线解析式得y=-3，
∴M（-2，-3）．
综上所述，M的坐标为（2，5）或（-4，5）或（-2，-3）；
（3）∵B（1，0），C（0，-3），
∴S =
△OBC∴S =S =
△OBC △PBC
设BC的解析式为y=kx+n,
∴直线BC的解析式为y=3x-3，
过点O作OP∥BC交抛物线于P，则S =S ，直线OP的解析式为y=3x,
△OBC △PBC
