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专题 22.4 二次函数与线段最值
【例题精讲】
【例1】如图，二次函数图象与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，抛物线的顶点坐标是
，且经过点 ．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 最短？若存在，求点 的坐
标；若不存在，请说明理由；
（3）连接 、 、 ，求四边形 的面积．
【解答】解：（1） 抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，
抛物线经过点 ，
，解得 ，
抛物线的函数解析式为 ；
（2）存在，求解过程如下：
二次函数 的对称轴为直线 ，
当 时，有 ，解得 或 ，
， ，
点 关于对称轴 对称的点的坐标为 ，
由对称性得： ，
则 ，
由两点之间线段最短可知，当点 ， ， 在一条直线上时， 最短，
设直线 的函数解析式为 ，
把 ， 代入 ，
得： ，
解得 ，
，
取 ，则 ，
；
（3）由（1）得 ， ， ，
如图，过点 作 平行 轴，交 于点 ，
设 的解析式为 ，把点 和 代入 ，
得： ，
解得： ，
，
取 ，则 ，
解得 ，
，
， ，
，
四边形 的面积为30．
【例2】如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，且 ，
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点 ，使得
的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点 ， 分别代入 得： ．
解得 ．
抛物线的解析式为 ；
（2）连接 交对称轴于点 ，则 为所求的点，
设直线 的解析式为 ，
， ．
．
解得 ．直线 的解析式为 ．
对称轴为直线： ．
当 时， ．
点 的坐标为 ．
【题组训练】
2．如图，二次函数 的图象过点 和 ，与 轴交于点 ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若在该二次函数的对称轴上有一点 ，使 的长度最短，求出 的坐标．
【解答】解：（1） 二次函数 的图象过点 ， ，
，解得 ，
二次函数的关系式为 ；
（2） ，
抛物线的对称轴是直线 ，与 轴交点 ，
点 关于直线 的对称点是 ，
与对称轴的交点即为点 ，使 的长度最短，如图：设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得：
，解得
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
；
3．如图，已知点 的坐标为 ，直线 与 轴， 轴分别交于点 和点 ，
连接 ，顶点为 的抛物线 过 ， ， 三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
（2）动点 在抛物线对称轴上，当 最短时求 点坐标；
【解答】解：（1） 直线 与 轴， 轴分别交于点 和点 ，
， ，
抛物线经过点 ， ，抛物线的解析式为 ，
把 代入 ，
得到 ，
抛物线的解析式为 ，即 ，
顶点 坐标 ．
（2）如图1中，连接 交对称轴于 ，此时 的值最小，
直线 的解析式为 ，对称轴 ，
．
4．如图，顶点为 ， 的抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交
于 、 两点．
（1）求抛物线解析式及 、 两点坐标；
（2）在抛物线对称轴上有一点 ，使 到 、 两点的距离和最短，求点 坐标；【解答】解：（1）设抛物线解析式为： ，
抛物线顶点为 ， ，
抛物线解析式为： ，
抛物线与 轴交于点
，
；
当 时，即： ，
解得： ， ，
， ；
（2） 抛物线顶点为 ，
对称轴是直线 ，
点 、 关于对称轴 对称，
连接 交对称轴与点 ，就是到 、 两点的距离和最短的 点，设直线 解析式为 ，
，
解得： ，
，
当 时， ，
点 坐标为 ， ；
5．如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，
顶点为 ，连接 ， ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 是抛物线的对称轴上一点，使得 最短，求点 的坐标；
（3）点 是第一象限内抛物线上的动点，连接 ， ．当 最大时，求点 的坐标．【解答】解：（1） 抛物线 过点 和点 ，
，解得： ，
抛物线解析式为： ；
（2）抛物线 的对称轴为 ，
当 时， ，即 ，
由对称性可知， ，
则 ，
由两点之间线段最短可知，点 即为所求，
设直线 的解析式为 ，将点 ， 代入得： ，
解得 ，
则直线 的解析式为 ，
当 时， ，
最短时，点 的坐标为 ；
（3）如图：连接 ，
设点 的坐标 ，
点 ， ，
， ，
，可得关于 的二次函数，利用二次函数的最值求解即可得．
，
时， 最大， ，
故当 最大时，点 的坐标为 ．
6．如图，二次函数图象与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，抛物线的顶点坐标是，且经过 ．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求 的面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 最短？若存在，求出 的坐
标．若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，
抛物线经过点 ，
，解得 ，
抛物线的函数解析式为 ；
（2）当 时，有 ，
解得 或 ，
， ，
，
当 时，有 ，
，
，的面积 ；
（3）存在，理由如下：
二次函数 的对称轴为直线 ，
点 关于对称轴 对称的点的坐标为 ，
由对称性得： ，
则 ，
由两点之间线段最短可知，当点 ， ， 在一条直线上时， 最短，
设直线 的函数解析式为 ，
把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
，
取 ，则 ，
．
7．如图，抛物线与 轴交于 、 两点，于 轴交于点 ，顶点为 ．
（1）求该抛物线的解析式及顶点 的坐标；
（2）请计算以 、 、 、 为顶点的四边形的面积；
（3）在 坐标轴上是否存在点 ，使得 点到 、 两点的距离之和最短，若存在，请
直接写出 点坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为 ，
将点 、 、 的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为 ，
抛物线的对称轴为 ，当 时， ，
故点 的坐标为 ；
（2）由点 、 、 的坐标知， ， ， ，
则 ，则 为直角三角形，
四边形 的面积 ；
（3）存在，理由：
作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则点 为所求点，设直线 的表达式为 ，则 ，解得 ，
故直线 的表达式为 ，
令 ，解得 ，
故点 的坐标为 ， ．
8．已知抛物线与 轴相交于点 ， （点 在点 右边），与 轴相交于点 ，该抛物
线的顶点为 ，且经过点 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求 的面积；
（3）在 轴上是否存在一点 ，使得 最短？若 点存在，求出 点的坐标；若
点不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为： ，
由于抛物线经过点
所以 ，解得 ．
所以 ，即
（2）当 时，即 ，
解得： ，所以点 ，点 ，
当 时， ，
所以点
所以
所以 的面积为3；
（3）在 轴上存在一点 ，使得 最短．
点 ． 关于 轴的对称点 ，
连接 交 轴于点 ，点 是满足条件的点．
设直线 的解析式为 ，
所以 ，解得
所以 ，
当 时，
所以 ，
所以点 ，
9．如图，抛物线 经过 、 、 三点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线上存在一点 ，使 的面积为8，请求出点 的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 最短？若 点存在，求出 点
的坐标；若 点不存在，请说明理由．【解答】解：（1） 二次函数 过点 、 、
，
解得，
二次函数的解析式为 ；
（2） ，
设 的高为 ，
的面积为8，
解得： ，
当 时， ，
解得： ，
；
当 时， ，解得： ， ，
， ， ， ，
即 点的坐标为 或 ， 或 ， ；
（3）存在，
理由是： ，
即抛物线的对称轴是直线 ，
作 点关于直线 的对称点 正好在抛物线上），连接 ，交直线 与 ，此时
最短，
点的坐标为 ，
点的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
把 、 的坐标代入得： ，
解得： ， ，
即直线 的解析式为 ，把 代入得： ，
即点 的坐标是 ．
10．已知二次函数 的图象经过点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）该抛物线与 轴交于点 ，顶点为 ，求 ， 两点的坐标；
（3） 轴上是否存在一点 ，使得 最短？若 点存在，求出 点的坐标；若
点不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把点 代入 ，
得： ，
解得： ，或 （不合题意，舍去），
，
二次函数的解析式为 ；
（2）令 ，得 ，
点坐标为 ．
将 配方得： ，
点坐标为 ．
（3）存在；点 的坐标为 ．理由如下：
由两点之间线段最短知 ，当 ， ， 三点共线时， 最短．
设直线 的解析式为 ，
根据题意得： ，
解得： ， ，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，
点 的坐标为 ．
11．如图，已知二次函数 的图象与 轴、 轴分别相交于点 和
，其顶点为 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若该二次函数的图象与 轴的另一个交点为 ，求 的面积；
（3）请判断：在该函数图象的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长最短．若存在请
求出点 的坐标，若不存在请说明理由．【解答】解：（1） 抛物线经过点 和 ，
，
解得 ，
抛物线解析式为 ；
（2） ，
，
当 时， ，
解得 ， ，
则抛物线 点坐标为 ，
而 ，
；
（3）存在．
连接 交直线 于点 ，如图，由对称性知 ，
，
此时 的值最小， 的周长最短，
易得直线 的解析式为 ，
当 时， ，
点 坐标 ．13．如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ．抛物线与 轴相交于 ，
两点，点 在点 的左侧，点 为抛物线与 轴的交点．
（1）求 和 的值；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点 ，使 最短，请求出点 的坐标．
（3）抛物线上是否存在一点 ，使 的面积等于 的面积的4倍？若存在．求出
点 所有的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 抛物线 的对称轴为直线 ，
，解得 ，
把 代入 得： ，
，， ；
（2）由（1）知抛物线为 ，令 则 ，
解得 或 ，
， ，
连接 ，交直线 于 ，如图：
关于直线 的对称点是 ，
，而 、 、 共线，故此时 最小，最小值为 的长度，
设直线 为 ，将 ， 代入得： ，
解得
直线 为 ，
令 得 ，
；
（3）存在点 ，使 的面积等于 的面积的4倍，
如图：， ，
，
设 ，
，
的面积等于 的面积的4倍，
，即 ，
当 时，解得 或 ，
， 或 ， ，
当 时，解得 ，
，
综上所述，点 的坐标为 ， 或 ， 或 ．
14．如图，已知抛物线 的图象与 轴交于 和 ，与 轴交于点
．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点 ，使得 的周长最小，请求出点 的坐标．【解答】解：（1）将 、 代入抛物线的解析式，得：
，
解得： ，
该抛物线的解析式为 ；
（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线 ，点 ，
连接 交直线 于 ，如图，则 ，
，
此时 的值最小， 的周长最小．
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得，
，
解得 ．
直线 的解析式为 ．
当 时， ，此时 点坐标为
点坐标为 时， 的周长最小．
15．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，且 ，
．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点 是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得
的周长最短？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） ， ，
， ，
将点 与 代入 ，
， ，
；（2） 函数的对称轴为 ， 关于对称轴的对称点为 ，
连接 与对称轴交于点 即为所求点；
，
，
易求 ，
直线 的解析式为 ，
， ，
当 ， 时 的周长最短；
16．如图，二次函数 的图象经过 ， 两点．
（1）求该函数的解析式；
（2）若该二次函数图象与 轴交于 、 两点，求 的面积；
（3）若点 在二次函数图象的对称轴上，当 周长最短时，求点 的坐标．
【解答】解：（1）把 ， 代入 得 ，解得
，
抛物线的解析式为 ；
（2）当 时， ，解得 ， ，、 点的坐标为 ， ，
而 ，
的面积 ；
（3） ，
抛物线的对称轴为直线 ，
作 点关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于 ，则 ，
，
，
此时 的值最小，则 周长最短，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
．
17．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， ，
，连接 和 ．
（1）求抛物线的解析式；（直接写出解析式，不写过程）（2）点 在抛物线的对称轴上，当 的周长最小时，点 的坐标为 ， ．
【解答】解：（1） ， ，
， ，
将 ， ，代入 ，
得 ，
解得： ， ，
抛物线得解析式为： ．
（2）在 中，
对称轴为直线 ，
点 与点 关于对称轴 对称，
如图1，可设 交对称轴于点 ，由两点之间线段最短可知，此时 有最小值，
而 的长度是定值，故此时 的周长取最小值，
在 中，
当 时， ， ，
点 的坐标为 ，设直线 的解析式为 ，
将点 代入，
得， ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ， ；
故答案为： ， ．
18．如图，抛物线 的顶点坐标 交 轴于 、 两点，与 轴交于
，若抛物线上有一点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在对称轴上有一点 ，连结 、 、 ，求 周长最短时，点 的坐标；
（3）求点 的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为 ，
将点 代入得：
，
解得 ，
抛物线表达式为： ，
即 ；
（2）如图1，
点 、 关于抛物线对称轴对称，
取直线 与对称轴的交点为点 时， 周长的最小，
抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
解得： 或 ，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，
，直线 的解析式为 ，
抛物线的对称轴为 ，
当 时， ，
；
②如图2，过 作 交 于点 ，作 轴于点 ，
，
，
， ，
，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，
，
，
直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得 （舍去），或 ，．
19．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求出抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）若抛物线交 轴于 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长
最小？若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将 ， 代入得：
，
解得 ，
则该抛物线的解析式为： ；
（2） ，
抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ；
（3）存在，理由：
如图1，点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，设直线 的解析式为： ，
将点 、 代入得：
，
解得 ，
故直线 解析式为： ，
直线 与抛物线对称轴 的交点为 ，此时 的周长最小．
解方程组 ，解得 ，
故点 的坐标为 ．
20．已知抛物线 的对称轴为直线 ，且抛物线经过点 ，它
与 轴的另一交点为 ，与 轴的交点为 ．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）在直线 上求点 ，使 的周长最小，并求 的周长．
【解答】解：（1） ，
点 关于直线 的对称点是点 ，，
解得 ，
抛物线所对应的函数表达式为 ；
（2） 抛物线 与 轴的交点为 ．
连接 ，交对称轴于点 ，则此时 周长最小，
设直线 的关系式为： ，
把 ， 代入 得，
，
解得 ．
直线 的关系式为 ，
当 时， ，
点坐标为 ；
， ，
的周长 ；
