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22.1.1 二次函数
二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的
函数是二次函数.
注意：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，
若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若 a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，
b=c=0，则y=ax2.
当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分
别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越
大，抛物线的开口越小.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c
（a≠0）是二次函数的一般式.
题型1：二次函数的概念
1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
1
A．y=5x−1 B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1 D．y=x2+
x
【变式1-1】下列函数中，是二次函数的有（ ）
1
①y=1−√2x2②y= ③y=x(1−x)④y=(1−2x)(1+2x)
x2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1
【变式1-2】下列函数中①y=3x+1 ；②y=4x2−3x ；③y= ；④y=−2x2+5 ，是二次函数的
x
有（）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
题型2：利用二次函数定义求字母的值
2.已知 y=(m+1)x|m−1|+2m 是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．−1 B．3 C．−1 或 3 D．0【变式2-1】若函数
y=(m2+m)xm2−2m−1
是二次函数，则m的值是（ ）
A．2 B．-1或3 C．-1 D．3
【变式2-2】若函数y=(1+m)xm2−2m−1是关于x的二次函数，则m的值是（
）
A．2 B．-1或3 C．3 D．-1± √2
题型3：二次函数的一般形式
3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（ ）
A．2、0、﹣3 B．2、﹣3、0 C．2、3、0 D．2、0、3
【变式3-1】二次函数y=2x（x﹣3）的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣4
【变式3-2】关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10
C．一次项是100 D．常数项是20000
题型4：根据实际问题列二次函数
4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2 ，那么y与x的关系式是
【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长
方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是
．
【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反
映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每
件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）
C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x
题型5：自变量的取值范围
5.．若 y=(a−2)x2−3x+4 是二次函数，则 a 的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a>0 C．a>2 D．a≠0
√x+2
【变式5-1】函数y= 的自变量取值范围是（ ）
x−1A．x≥−2 B．−2≤x<1
C．x>1 D．x≥−2且x≠1
【变式5-2】若
y=(m+1)xm2−2m−1
是二次函数，则m= ，其中自变量x的取值范围是
．
一、单选题
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
1
A．y=√x2+3 B．y=ax2+bx+c C．y=t2−2t+2 D．y=x2+
x
2．函数y=（m+2） xm2+m +2x+1是二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣2或1 D．1
3．一元二次方程3x2-2x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）．
A．3，2，1 B．-3，2，1 C．3，-2，-1 D．-3，-2，-1
4．若函数
y=(1+m)xm2−2m−1
是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2 B．-1或3 C．3 D．−1±√2
5．下列函数式中，是二次函数的是（ ）
A．y=x2﹣4x+1 B．y=﹣3x C．y=3x3+2x2 D．y=ax2+bx+c
6．若y=（a﹣1）x2﹣ax+6是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1 B．a≠0 C．无法确定 D．a≠1且a≠07．若y=2xm2−2是二次函数，则m等于（ ）
A．-2 B．2 C．±2 D．不能确定
8．已知x是实数，且满足（x﹣2）（x﹣3） √1−x =0，则相应的函数y=x2+x+1的值为（ ）
A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3
二、填空题
9．已知 y=(m−2)x|m|+2 是y关于x的二次函数，那么m的值为 。
10．已知函数
y=(m−1)xm2+1+5x−3
的图象是抛物线，则m= .
1
11．函数 y=(k− )x2k2+k+1 是二次函数，则k= ；
2
12．若函数y=（m﹣2）x|m|是二次函数，则m= ．
三、解答题
13．如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．
14． 矩形的长和宽分别是4cm, 3cm ，如果将长和宽都增加x cm ，那么面积增加ycm2
（1）求y与x之间的关系式.
（2）求当边长增加多少时，面积增加8 cm2
