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21.3实际问题与一元二次方程
2.（1）2人握手，每人和他人握手 1 次，
共握手 1 次。
单循环和双循环问题
（2）3人握手，每人和他人握手 2 次，
1.（1）2人互赠礼物，每人要送 1 份礼物，
共握手 3 次。
共赠出 2 份礼物
（3）4人握手，每人和他人握手 3 次，
（2）3人互赠礼物，每人要送 2 份礼物，共 共握手 6 次。
赠出 6 份礼物
（4）x人握手，每人和他人握手 （ x-1 ）
1
（3）4人互赠礼物，每人要送 3 份礼物，共
次，共握手 x （ x- 1 ） 次。
赠出 1 2 份礼物 2
（4）x人互赠礼物，每人要送 （ x- 1 ） 份礼
物，共赠出 x （ x- 1 ） 份礼物
总结：
（1）互赠问题∶若每两人之间进行2次活动，则x人共进行了x（x-1）次活动；
1
（2）握手问题∶若每两人之间进行1次活动，则x人共进行了 x（x-1）次活动；
2
1
（3）x人握手总次数=x人互赠总次数×
2
题型1：单循环和双循环问题
1.在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的
有x人，可得方程（ ）
A．x（x﹣1）＝190 B．x（x﹣1）＝380
C．x（x﹣1）＝95 D．（x﹣1）2＝380
【答案】A
【解析】【解答】解：设共有x人参加联欢会，可得方程：
x（x﹣1）÷2＝95，
x（x﹣1）＝190．故答案为：A．
【分析】根据“ 共握手95次 ”即可列出方程。
【变式1-1】要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90
场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（ ）
1 1
A． x（x+1）＝90 B． x（x﹣1）＝90
2 2
C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【答案】D
【解析】【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝90．
故答案为：D．
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛每两队之间都进行两场比赛，可得共比赛x（x﹣
1）场，根据共比赛90场建立方程即可.
【变式1-2】某旅游团旅游结束时，其中一名旅客建议大家互相握手道别，细心的小明发现，每两个参
加旅游的人互握一次手，共握了66次，问这次旅游的旅客人数是多少？
【答案】解：这次旅游的游客人数为 x .
1
依题意，得 x ( x -1 ) =66 ，
2
解得 x =12 ， x =-11 (不合题意，舍去)
1 2
答：这次旅游的游客人数为12.
【解析】【分析】 设这次旅游的游客人数为 x ，根据题意列出方程，解方程求出x的值，再进行检
验，即可得出答案.
传播问题（2轮）：解决传播问题的关键点需要找清楚两个量：
１）每一轮传播的传播源的数量a，
２）每一个传播源每轮传播的数量x。
数量关系：传播总量=a+x+（a+x）x
化简得：传播总量=a（1+x）2
题型2：传播问题
2.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．若每轮感染
中平均一台电脑会感染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．x（x+1）=81 B．1+x+x2=81
C．（1+x）2=81 D．1+（1+x）2=81
【答案】C
【解析】【解答】解：每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，列方程得：
1+x+x（1+x）=81，
即（1+x）2=81故选：C．
【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染 x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电
脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感
染．
【变式2-1】有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流
感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过 人．
【答案】11
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，
由题意得，2+2x+（2+2x）x=288，
解得：x=11，x=﹣13，
1 2
答：每轮传染中平均一个人传染了11个人．
故答案为：11．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染 x人，根据经过两轮传染后共有288人患了流感，列出方程求
解即可．
【变式2-2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感
染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控
制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？
【答案】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有1+x+（1+x）x=81
即（1+x）2=81
解得x=8，x=﹣10（不合舍去），
1 2
所以经过三轮感染后，被感染的电脑共有81+81×8=729台﹣
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．经过三轮感染后，被感染的电脑共有729台
【解析】【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染 x台电脑，则有1+x+（1+x）x=81，再解方程求
出满足条件的x的值，然后计算81（1+x）即可．
平均变化率问题：
（1）连续增长两次问题：原量×（1+x）2=新量；
（2）连续下降两次问题：原量×（1-x）2=新量.
题型3：平均变化率问题
3.由于受H7N9禽流感的影响，今年1月份市场上鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤25元经过
连续两次降价后，售价下调到每斤l6元．设平均每次降价的百分率为a，则下列所列方程中正确的是
（ ）
A．16（1+a）2=25 B．25（1﹣2a）=16
C．25（1﹣a）2=16 D．25（1﹣a2）=16
【答案】C
【解析】【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，
则第一次每斤的价格为：25（1﹣x），
第二次每斤的价格为25（1﹣x）2=16；
所以，可列方程：25（1﹣x）2=16．
故选C．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均每次下
调的百分率为x，根据“由原来每斤16元下调到每斤9元”，即可得出方程．
【变式3-1】扬州一农场去年种植水稻10亩，总产量为6000kg，今年该农场扩大了种植面积，并且引
进新品种“超级水稻”，使总产量增加到18000kg，已知种植面积的增长率是平均亩产量的增长率的
2倍，求平均亩产量的增长率．
【答案】解：设平均亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率是2x，
6000
根据题意得：10×（1+2x）× ×（1+x）=18000，
10
解得：x=50%，x=﹣200%（舍去）．
1 2
答：平均亩产量的增长率为50%
【解析】【分析】设平均亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率是2x，根据总产量=种植面积×平
均亩产量即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【变式3-2】某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫
情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到
36300个.
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【答案】（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为x，
根据题意，得30000（1＋x）2＝36300，
解得x＝−2.1（舍去），x＝0.1＝10%，
1 2
答：口罩日产量的月平均增长率为10%
（2）解：36300（1＋10%）＝39930（个）.
答：预计4月份平均日产量为39930个.
【解析】【分析】（1） 设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得30000(1＋x)2＝36300，求
解即可；
（2）利用3月份平均日产量×(1+增长率)即可求出4月份平均日产量.
面积问题：
（1）矩形面积=1条长×1条宽；
（2）正确写出长和宽（用x表达）；
（3）全封闭∶某条边=周长÷2-另一边
（4）一边靠墙∶平行于墙的 BC=篱笆总长-2AB（AB垂直墙）；当靠墙用篱笆围矩形养鸡
场时，平行于墙的边要小于墙长，否则鸡逃跑了.
题型4：面积问题（1）
4.小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅
矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．【答案】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，
根据题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
解得：x=﹣70（不符合题意，舍去），x=5．
1 2
答：金色纸边的宽度为5cm
【解析】【分析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据
题目条件列出方程，求出其解就可以．
【变式4-1】如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下
的部分种上草坪．要使草坪的面积为450 ，求道路的宽．
【答案】 解：设道路的宽为x, 由题意得：
(20-x)(27-x)=450,
整理得x2-47x+90=0,
(x-45)(x-2)=0,
∴x=2或x=45(舍去)，
∴道路的宽为2m.
【解析】【分析】设道路的宽为x, 因为矩形的空白部分，正好能拼成一个矩形，则根据长方形的面积
=长×宽，列出等式，再求解即可，注意舍去不合题意的解.
【变式4-2】如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，
使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米 ❑ 2 ，问小
路宽为多少米？
【答案】解：设小路宽为x米，则种植草坪的六块区域可合成长为 (32−2x) 米、宽为 (20−x) 米
的矩形，
根据题意得： (32−2x)(20−x)=570 ，
整理得： x2−36x+35=0 ，解得： x =1 ， x =35( 错误，舍去 ) ．
1 2
答：小路宽为1米．
【解析】【分析】利用图形的平移变换，将种植草坪的六块区域合成一个长方形，根据长方形的面积
公式列方程求解即可。
题型5：面积问题（2）
5.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN
最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为
300m2．
【答案】解：设 AB=x m，则 BC=(50−2x) m，
根据题意得方程： x(50−2x)=300,
解得: x =10,x =15,
1 2
当 x=10 时 50−2x=30>25 （不合题意，舍去），
当 x=15 时 50−2x=20<25 （符合题意）．
答:当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米．
【解析】【分析】抓住已知矩形花园ABCD的AD边靠墙，因此设AB为Xm，即可表示出BC边，再
根据矩形的面积公式列出方程，根据50−2x≤25，得出x≥12.5，即可得出结果。
【变式5-1】如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边
各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞
AD）．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？
【答案】（1）解：∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x，
∴AB=-2x+44
（2）解：由题意得，（-2x+44）•x=192，
即2x2-44x+192=0，
解得x=6，x=16，
1 2
44
∵x=16＞ （舍去），
2 3
∴AD=6，
∴AB=-2×6+44=32．
答：AD长为6米，AB长为32米．【解析】【分析】（1）栅栏的长度为40，根据题意AD为x，BC为x-2，根据三条边的和为40，即可
表示AB的长度。
（2）已知AD和AB的代数式，根据矩形的面积公式，计算式子，即可得到x的值，根据题目规定的
AB＞AD，选择合适的x的值即可，即可求出矩形的长和宽。
【变式5-2】如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一
道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇
小门．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
【答案】（1）24﹣3x
（2）解：由题意可得：（22﹣3x+2）x=45，
解得：x=3；x=5，
1 2
∴当AB=3时，BC=15＞14，不符合题意舍去，
当AB=5时，BC=9，满足题意．
答：花圃的长为9米，宽为5米．
【解析】【解答】解：（1）设宽AB为x，
则长AD=BC=22﹣3x+2=（24﹣3x）米；
【分析】（1）利用篱笆的长度为22米，可知AB+DC+BC=22，列式求解即可；
(2) 利用花圃的面积为45，解方程求解即可，注意墙的最大可用长度为14米，判断结果是否符合题
意。
商品销售利润问题（难点）：
（1）关系式∶（售价-成本）×销售量=总利润；
（2）一般都是设涨价（或降价）x元，然后间接求定价或进货量.
注意：实际销售量一般需要用含x的式子表示：实际销售量=原销售量±变化量
题型6：商品销售利润问题
6.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，
尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每
天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
【答案】解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元．
根据题意得（45﹣x）（20+4x）=2100，
解得x=10，x=30．
1 2
因尽快减少库存，故x=30．答：每件衬衫应降价30元
【解析】【分析】商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利﹣降价
数．设每件衬衫应降价x元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．
【变式6-1】某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市
场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证
每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【答案】解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）=6000，
整理，得x2﹣15x+50=0，
解这个方程，得x=5，x=10．
1 2
要使顾客得到实惠，应取x=5．
答：每千克水果应涨价5元
【解析】【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利
×日销售量，依题意得方程求解即可．
【变式6-2】某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高
售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件．
（1）要使每天获得利润700元，请你帮忙确定售价；
（2）问售价定在多少时能使每天获得的利润最多？并求出最大利润．
【答案】（1）解：设每件商品提高x元，则每件利润为（10+x﹣8）=（x+2）元，
每天销售量为（200﹣20x）件，
依题意，得：（x+2）（200﹣20x）=700．整理得：x2﹣8x+15=0．解得：x=3，x=5．∴把售价定为
1 2
每件13元或15元能使每天利润达到700元；答：把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700
元
（2）解：设应将售价定为x元时，才能使得所赚的利润最大为y元，
根据题意得：
x−10
y=（x﹣8）（200﹣ ×10），
0.5
=﹣20x2+560x﹣3200，
=﹣20（x2﹣28x）﹣3200，
=﹣20（x2﹣28x+142）﹣3200+20×142
=﹣20（x﹣14）2+720，
∴x=14时，利润最大y=720．
答：应将售价定为14元时，才能使所赚利润最大，最大利润为720元
【解析】【分析】第1小题，关键是找相等关系，每件利润X每天销售量=每天获得总利润；第2小
题，把每天获得的总利润表示成二次函数，由二次函数的性质可解决问题。
数字问题：
根据题设：十位上的数记得×10，百位上的数记得×100，以此类推
题型7：数字问题7.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数
小4，若设个位数字为a，则可列方程为( )
A．a2+(a-4)2=10(a-4)+a-4 B．a2+(a+4)2=10a+a-4-4
C．a2+(a+4)2=10(a+4)+a-4 D．a2+(a-4)2=10a+(a-4)-4
【答案】C
【解析】【解答】依题意得：十位数字为：a+4，这个数为：a+10(a+4)，
这两个数的平方和为：a2+(a+4)2，
∵两数相差4，
∴a2+(a+4)2=10(a+4)+a−4.
故答案为：C.
【分析】设个位数字为a十位数字为：a+4，这个数为：a+10(a+4)，这两个数的平方和为：a2+(a+4)2，
根据个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4列出方程即可。
【变式7-1】有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的
积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数.
【答案】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），
根据题意得：3x（x+2）=10x+（x+2），
整理得：3x2-5x-2=0，
1
解得：x=2，x= − （不合题意，舍去），
1 2 3
∴x+2=4，
∴这个两位数为24.
【解析】【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），根据十位上的数字与个位上的数
字的积的3倍刚好等于这个两位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.
【变式7-2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数
字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数.
【答案】解：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2－9）.
∴10（x2－9）+x－10x－（x2－9）=27，
解得x=4，x=－3（不符合题意，舍去）.
1 2
∴x2－9=7，
∴原两位数为74
【解析】【分析】由题意设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2－9），根据相等关系
原两位数-新两位数=27列方程可求解.
一、单选题1．已知长方形的面积为48 ，若它的长比宽多2cm，则它的宽为（ ）
A．8cm B．6cm C． 4cm D．2cm
【答案】B
【解析】【解答】设小长方形的宽为 cm，则它的长为 cm，由题意可得 ，解
得 ， 不符合题意舍去，故答案应选择B．
【分析】本题也可由每个选项中的“宽”，算出“长”，然后用“长比宽多2cm”进行验证得到答案
2．商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方
程正确的是( )
A．289(1-x)2=256 B．256(1-x)2=289
C．289(1-2x)=256 D．256(1-2x)=289
【答案】A
【解析】【分析】本题的等量关系：降价后的售价=降价前的售价×（1-平均每次降价的百分率）.
由题意可列方程为289(1−x) 2=256.
选A
3．若两个连续整数的积是56，则它们的和为（ ）
A．11 B．15 C．﹣15 D．±15
【答案】D
【解析】【解答】解：设这两个连续整数为x，x+1．
则x（x+1）=56，
解之得，x=7或x=﹣8，
1 2
则x+1=8或﹣7，
则它们的和为±15．
故选D
【分析】设这两个连续整数中较小的一个是为x，则较大的是x+1．根据两个连续整数的积是x
（x+1），根据关键描述语“两个连续整数的积是56”，即可列出方程求得x的值，进而求得这两个数
的和．
4．王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖
长方形工具箱，根据题意列方程为（ ）
A．（80﹣x）（70﹣x）=3000 B．80×70﹣4x2=3000
C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000 D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=3000
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得，
（80﹣2x）（70﹣2x）=3000，
故选C．
【分析】根据题意可知裁剪后的底面的长为（80﹣2x）cm，宽为（70﹣2x）cm，从而可以列出相应
的方程，本题得以解决．
5．用一根长为24cm的铁丝围成一个矩形，如果矩形的面积是35 cm2，那么这个矩形的长与宽分别是
（ ）
A．7 cm，5 cm B．8 cm，4 cm C．9 cm，3 cm D．6 cm，6 cm
【答案】A
【解析】【分析】设矩形的长为xcm，则宽为（12-x)cm，根据矩形的面积是35 cm2即可列方程求解。
【解答】设矩形的长为xcm，则宽为（12-x)cm，由题意得，
x(12-x)=35
解得x=5或7
则这个矩形的长与宽分别是7cm，5cm
故选A.
【点评】解题的关键是读懂题意，找到等量关系，根据矩形的周长公式及面积公式正确列方程求解。
6．某种品牌手机经过二、三月份再次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分
率为（ ）
A．20% B．11% C．10% D．9.5%
【答案】C
【解析】【解答】解：设每次降价的百分率为x，依题意得：1000（1﹣x）2=810，
化简得：（1﹣x）2=0.81，
解得：x=0.1或1.9（舍去），
所以平均每次降价的百分率为10%．
故选：C．
【分析】等量关系：原售价×（1﹣降低率）2=降低后的售价，依此列出方程求解即可．
7．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多
少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
1
A．x2=21 B． x（x﹣1）=21
2
1
C． x2=21 D． x（x﹣1）=21
2
【答案】B
【解析】【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
1
x（x﹣1）=21，
2
故答案为：B
【分析】设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，则共赛x(x-1)场，但两队之间只有一场比赛，故可
1
得方程 x(x−1)=21.
2
二、填空题
8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支
的总数为133，则每个支干长出 个小分支
【答案】11
【解析】【解答】设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1=133，
解得：x=11或x=−12(不合题意,应舍去)；
∴x=11；
故每支支干长出11个小分支.
【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个
分支，则共有x2+x+1个分支，结合题意即可列方程求解.
9．有三个连续的自然数，已知其中最大的一个数比另外两个数的积还大1，那么这个最大的数是．
【答案】3
【解析】【解答】解：最大的一个数为n+2，则另外两个数为n+1，n，由题意得：
n（n+1）+1=n+2，
解得：n=±1，
∵自然数为非负数，
∴n=1，n+1=2，n+2=3，
最大的数是3.故答案为：3
【分析】最大的一个数为n+2，则另外两个数为n+1，n，根据最大的一个数比另外两个数的积还大
1，列出方程，求解并检验即可。
10．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降价的百分率为
x，则列方程为 ．
【答案】60（1﹣x）2=48.6
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为60×（1﹣x），二次降价后的价格在第一次降价后的价
格的基础上降低的，为60×（1﹣x）×（1﹣x），所以可列方程为60（1﹣x）2=48.6．
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）=48.6，
把相应数值代入即可求解．
11．某镇2014年有绿地面积50公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2016年达到72公顷，则该镇
2014年至2016年绿地面积的年平均增长率是 ．
【答案】20%
【解析】【解答】解：设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得
【分析】设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出2016年的绿地面积，根据2016年的绿地
面积达到72公顷建立方程求出x的值即可；
50（1+x）2=72
解得：x=0.2，x=﹣2.2（不合题意，舍去）
1 2
答：增长率为20%；
故答案为：20%．
三、解答题
12．将一段铁丝围成面积为 的矩形，且它的长比宽多 ，求矩形的长．【答案】解：设矩形的长为 cm，则 解得： （不合题意，舍去），
答：矩形的长为15cm．
【解析】【分析】实际中矩形的长不可能为负数，所以舍去 ．
13．某县2013年公共事业投入经费40000万元，其中教育经费占15%，2015年教育经费实际投入
7260万元，若该县这两年教育经费的年平均增长率相同．
（1）求该县这两年教育经费平均增长率；
（2）若该县这两年教育经费平均增长率保持不变，那么2016年教育经费会达到8000万元吗？
【答案】解：（1）2013年教育经费：40000×15%=6000（万元）
设每年平均增长的百分率为x，根据题意得：
6000（1+x）2=7260，
（1+x）2=1.21，
∵1+x＞0，
∴1+x=1.1，
x=10%．
答：该县这两年教育经费平均增长率为10%；
（2）2016年该县教育经费为：7260×（1+10%）=7986（万元），
∵7986＞8000，
∴2016年教育经费不会达到8000万元．
【解析】【分析】（1）等量关系为：2013年教育经费的投入×（1+增长率）2=2015年教育经费的投入，
把相关数值代入求解即可；
（2）2016年该区教育经费=2015年教育经费的投入×（1+增长率）．
14．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿
地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行
通道的宽度．【答案】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
化简整理得，（x﹣1）（x﹣8）=0．
解得x=1，x=8（不合题意，舍去）．
1 2
答：人行通道的宽度是1m
【解析】【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程．
15．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某
农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究.去年A、B两个品种各种植了10亩.收获
后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品
种全部售出后总收入为21600元.
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两
个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价
20
将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加
9
a%.求a的值.
【答案】（1）解：设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意得，
{ y−x=100
，
10×2.4(x+ y)=21600
{x=400
解得： ，
y=500
答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；
20
（2）解：2.4×400×10（1+a%）+2.4（1+a%）×500×10（1+2a%）＝21600（1+ a%），
9
解得：a＝0.1，
答：a的值为0.1.
【解析】【分析】（1）设未知数，根据“ B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品
种全部售出后总收入为21600元. ”可列方程组，求解即可；
（2）根据题意可列一元二次方程，求解即可.
