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专题 06 二次函数的变换（课后小练）
满分100分 时间：45分钟 姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共24分)
1．(本题4分)（2022·福建·福州三牧中学八年级期末）将抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移1个单位长度，
再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x+3）2﹣1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣5
【答案】D
【解析】
【分析】
先得到抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），再利用点的平移规律得到点（-2，-3）平移后
对应点的坐标为（-1，-5），然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式．
【详解】
解：抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），把（﹣2，﹣3）向右平移1个单位长度，再向下
平移2个单位长度后得到对应点的坐标为（﹣1，﹣5），所以平移后抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣5．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题
关键．
2．(本题4分)（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣
ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
根据题意分 两种情况讨论，结合函数图象即可求解．
【详解】
解：A.正比例函数中 ，二次函数开口向上， ，与 轴的交点在 轴正半轴，则 ，矛盾，故
A不正确；
B.正比例函数中 ，二次函数开口向上， ，与 轴的交点在 轴正半轴，则 ，矛盾，故B不
正确；
C.正比例函数中 ，二次函数开口向下， ，与 轴的交点在 轴正半轴，则 ，故C正确；
D. .正比例函数中 ，二次函数开口向下， ，与 轴的交点在 轴正半轴，则 ，矛盾，故D
不正确；
故选C
【点睛】
本题考查了正比例函数与二次函数的图象的性质，掌握正比例函数与二次函数的图象的性质是解题的关键．
3．(本题4分)（2022·河北保定·九年级期末）二次函数 的图象如图所示， ，则下列判
断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线开口方向、对称轴和与y轴交点位置确定a、b、c的取值范围，结合函数图象，当x=1时，函
数值为负，求得a+b+c<0，从而求解．
【详解】
解：观察图象得：抛物线开口向下，
∴ ，故A选项错误，不符合题意；
抛物线的对称轴 ，∴ ，故B选项错误，不符合题意；
抛物线与y轴交于正半轴，
∴ ，故C选项错误，不符合题意；
∵ ，
∴当 时， ，故D选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
4．(本题4分)（2022·黑龙江哈尔滨·一模）抛物线 与x轴交于点A（－1，0），点B（3，
0），交y轴于点C，直线 经过点C，点B（3，0），它们的图象如图所示，有以下结论：
①抛物线对称轴是直线 ；
② ；
③ 时， ；
④若 ，则 ．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意易得点A、B关于对称轴对称，则有抛物线的对称轴为直线 ，把点A代入抛物线解析式可判
断②，然后由函数图形可判断③，进而把 ，点A（－1，0），点B（3，0）代入可求抛物线解析式，
然后可得点C的坐标，最后可判断④．
【详解】
解：由题意得：点A、B关于对称轴对称，则抛物线的对称轴为直线 ，故①正确；
把点A（－1，0）代入解析式得： ，故②正确；由图象可知当 时， ，故③正确；
由 ，点A（－1，0），点B（3，0）可设二次函数解析式为 ，
∴ ，
∴当x=0时，则 ，
∴点 ，
把点B、C的坐标代入一次函数解析式得： ，
解得： ，故④正确；
综上所述：正确的个数有4个，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质及一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质及一次函数是解题的关
键．
5．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）如图，直线y x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛
物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，
CE+EF的最小值是（ ）
A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6
【答案】C
【解析】
【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为
所求最短距离．
【详解】
∵y=x2+2x﹣2的对称轴为 ，C(0，﹣2)，
∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)，
过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，
∴CE=C'E，
则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值；
∵直线y x+3，
设直线C'F的解析式为 ，
将C'(﹣2，﹣2)代入得： ，
解得： ，
∴C'F的解析式为y x ，
解方程组 ，
得： ，∴F( ， )，
∴C'F ．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为
线段C'F的长是解题的关键．
6．(本题4分)（2022·青海海东·九年级期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分对应值如下表所示，
则下列判断不正确的是（ ）
x 0 1 2
y 0 1.5 2 1.5
A．当 时，y随x的增大而增大 B．当 时，
C．顶点坐标为(1，2) D． 是方程 的一个根
【答案】B
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出二次函的解析式，得出顶点坐标，可判断选项C；由函数的增减性质可判断选项A；
代入x=4，可求得y的值，可判断选项B；由x=-1时，y=0，可判断选项D；即可得出结论．
【详解】
解：由题意得： ，解得 ，
∴二次函数y=ax2+bx+c的解析式为y=- x2+x+ =- （x-1）2+2，
∴顶点坐标为(1，2)，选项C不符合题意；
∵- 开口向下，∴x＜1时，y随x的增大而增大，
∴x＜0时，y随x的增大而增大，选项A不符合题意；当x=4时，y=-2.5，选项B符合题意；
∵x=-1时，y=0，∴x=-1是方程 的一个根，选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点等知识．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
7．(本题5分)（2022·全国·九年级课时练习）如图是二次函数 和一次函数y＝kx+t的图象，
2
当y≥y 时，x的取值范围是_____．
1 2
【答案】﹣1≤x≤2
【解析】
【分析】
根据图象可以直接回答，使得y≥y 的自变量x的取值范围就是直线y=kx+m落在二次函数y=ax2+bx+c的
1 2 1 2
图象上方的部分对应的自变量x的取值范围．
【详解】
根据图象可得出：当y≥y 时，x的取值范围是：﹣1≤x≤2．
1 2
故答案为：﹣1≤x≤2．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更形象、直观，降低了题
的难度．
8．(本题5分)（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图，二次函数 的图
象经过A（1，0），B（5，0），以下结论：① ② ③ ④图象的对称轴是直线
，正确的是_________【答案】④
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】
解：由图象可知： ，故①错误；
∵二次函数 的图象经过A（1，0），B（5，0），
∴ ，故②错误；根据二次函数的对称性可知抛物线的对称轴为直线 ，故④正确；
∴由图象可知当x=-1时，则 ，故③错误；
∴正确的有④；
故答案为④．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
9．(本题5分)（2022·江苏无锡·中考真题）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右
平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．
【答案】m>3
【解析】
【分析】
先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式
m-3>0，据此即可求解．
【详解】
解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，
此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，
m-3），∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴m-3>0，
解得：m>3，
故答案为：m>3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的
顶点坐标．
10．(本题5分)（2021·内蒙古包头·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y
的部分对应值如表． 下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=4时，y=5；
④3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根；其中正确的有______ ．（填正确结论的序号）
x -1 0 1 3
y -1 3 5 3
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出二次函数解析式为y＝﹣x2+3x+3，然后判断出①正确，②错误；再根据代自变量求函
数值和一元二次方程的解法判定③④．
【详解】
解：将（﹣1，﹣1）、（0，3）、（1，5）代入y＝ax2+bx+c，
得 ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+3．
经检验，当x=3时，y=3满足函数关系式.
①ac＝﹣1×3＝﹣3＜0，
∴结论①正确；
②∵y＝﹣x2+3x+3＝﹣（x− ）2 ，∴当x 时，y的值随x值的增大而减小，
∴结论②不正确；
③当x＝4时，y＝﹣42+3×4+3＝﹣1，
∴结论③不正确；
④ax2+（b﹣1）x+c＝﹣x2+2x+3＝﹣（x+1）（x－3）＝0，
∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，
∴结论④正确；
故答案为：①④．
【点睛】
本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、二次函数的性质以及因式分解法解一元二次方程，根据点的
坐标利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．
三、解答题(共56分)
11．(本题10分)（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．
（1）m的值为________；
（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；
（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；
（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．
【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4
【解析】
【分析】
根据函数的图象和性质即可求解．
【详解】
解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，故答案为3；
（2）m＝3时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
函数的对称轴为直线x＝ ＝1，
∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为x＞1；
（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，
从图象看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方；
故答案为﹣1＜x＜3；
（4）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，
而抛物线的顶点坐标为（1，4），
故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4，
故答案为﹣5≤y≤4．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及系数的关系是解题
的关键．
12．(本题10分)（2019·北京·101中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系 中，抛物线
与直线 交于 ， 两点，且点 在 轴上，点 在 轴的正半轴上.
（1）直接写出点 的坐标；
（2）若 ，求直线 的解析式；
（3）若 ，求 的取值范围.【答案】（1） ；（2） ；（3）a<−1或a>3
【解析】
【分析】
（1）抛物线C：y=ax2-2ax+3与y轴交于点A，令x=0，即可求得A的坐标；
（2）令y=0，解方程即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l的解析式；
（3）当a=3时，抛物线C过点B（1，0），此时k=-3．当a=-1时，抛物线C过点B（3，0），此时
k=-1．结合图象即可求得．
【详解】
(1)∵抛物线C:y=ax2−2ax+3与y轴交于点A，
∴点A的坐标为(0,3).
(2)当a=−1时,抛物线C为y=−x2+2x+3.
∵抛物线C与x轴交于点B，且点B在x轴的正半轴上，
∴点B的坐标为(3,0).
∵直线l:y=kx+b过A，B两点，
∴ .解得 .
∴直线l的解析式为y=−x+3.
(3)如图，
当a>0时，
当a=3时,抛物线C过点B(1,0)，此时k=−3.
结合函数图象可得a>3.
当a<0时，
当a=−1时,抛物线C过点B(3,0)，此时k=−1.
结合函数图象可得a<−1.
综上所述，a的取值范围是a<−1或a>3.【点睛】
本题考查一次函数和二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式.
13．(本题12分)（2021·天津市北仓第二中学九年级期中）已知抛物线 （ ， ，是常数，
），与 轴交于点A，B，与 轴交于点C，点M为抛物线顶点．
(1)若点A（ ， ），B（ ， ），求抛物线的解析式；
(2)直线 经过抛物线顶点M，且相交于点D．当CD//x轴时，求抛物线的解析式．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据点A（ ， ），B（ ， ），可得对称轴为直线 ，再把点A（ ， ）代入，即可求解；
（2）根据点M（h，-2）在直线y=x-6上，可得h=4．根据直线 与抛物线相交于点D．可得
1
，再由CD∥x轴，可得 ，即可求解．
(1)
解：∵抛物线 与 轴交于点A（ ， ），B（ ， ），
∴对称轴为直线 ，
∴h=2，
把点A（ ， ）代入得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
(2)
解：如图，点M（h，-2）在直线y=x-6上，
1∴-2=h-6，解得：h=4．
此时y=a（x-4）2-2=ax2-8ax+16a-2
∴点C（0，16a-2），
∵直线 与抛物线相交于点D．
∴x-6=ax2-8ax+16a-2，
即ax2-（8a+1）x+16a+4=0．
解得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴ ，
∵CD∥x轴，
∴点C与点D关于直线x=h=4对称，
∴ ，
解得： ，
∵当 时，点C与点D重合，不合题意，舍去，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ．【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
14．(本题12分)（2022·全国·九年级）已知抛物线C ： 的顶点为P，与x轴正半轴交于点
2
B，抛物线C 与抛物线C 关于x轴对称，将抛物线C 向右平移，平移后的抛物线记为C ，C 的顶点为
2 1 2 3 3
M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C 的解析式．
3
【答案】
【解析】
【分析】
先求出点P的坐标，再令y＝0，解方程求出点B的坐标，然后根据中心对称求出点M的坐标，然后根据对
称性利用顶点式形式写出C 的解析式即可．
3
【详解】
解：由题意可知，点P的坐标为（﹣2，﹣5），
令y＝0，则 （x+2）2﹣5＝0，
解得x＝1，x＝﹣5，
1 2
∴点B的坐标为（1，0），
∵点P、M关于点B对称，
∴点M的坐标为（4，5），
∵抛物线C 与抛物线C 关于x轴对称，抛物线C 向右平移得到C ，
2 1 2 3
∴抛物线C 的k值为 ，
3
∴抛物线C 的解析式为y （x﹣4）2+5．
3
【点睛】
本题考查二次函数图象的对称和平移问题，熟练掌握二次函数图象的性质和中心对称的概念是解决本题的关键．
15．(本题12分)（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线 的对称轴为直线 ，
且经过点（0，1），求该抛物线的表达式．
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴 ，即可确定b的值，将点（0，1）代入函数解析式确定c的值，由此即可确
定函数解析式．
【详解】
解：∵抛物线 的对称轴为直线 ， ，
∴ ，
∴ ．
∵抛物线经过点（0，1），代入函数解析式可得：
∴ ．
∴该抛物线的解析式为 ．
【点睛】
题目主要考查利用对称轴及点的坐标确定函数解析式，熟练掌握根据待定系数法确定函数解析式是解题关
键．
