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2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
22.1.3 二次函数 y = a(x - h) 2 +k 的图像和性质
题型导航
题型1
顶点坐标
二
次 题型2
对称轴
函
数
题型3
增减性
题型4
最值
题型5
根据二次函数的图像和性质求参数
题型变式
【题型1】顶点坐标
1．（2022·浙江温州·九年级期末）抛物线 的顶点坐标是_________
【变式1-1】
2．（2022·湖北恩施·九年级期末）抛物线 上的顶点坐标为______．
【题型2】对称轴1．（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校二模）抛物线 的对称轴是直线______．
【变式2-1】
2．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）请写出一个函数表达式，使其开口向下，图象的对称轴为直线
∶______．
【题型3】增减性
1．（2022·河南南阳·一模）若点 、 、 都在二次函数 的图象上，则
、 、 的大小关系是______________．（用“>”连接）
【变式3-1】
2．（2022·广西河池·九年级期末）当 时，函数 的函数值 随 的增大而减小， 的
取值范围是__________．
【题型4】最值
1．（2022·江苏盐城·九年级期末）二次函数 最大值是______．
【变式4-1】
2．（2022·宁夏固原·九年级期末）二次函数 的最大值是________．
【题型5】根据二次函数的图像和性质求参数1．（2022·江西南昌·二模）已知抛物线 过不同的两点 ， ，则当点
在该函数图象上时，m的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
【变式5-1】
2．（2022·湖南长沙·九年级期末）二次函数y＝-(x-1)2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大
值为5n，则m+n的值为___________．
专项训练
一．选择题
1．（2018·湖南岳阳·中考真题）抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知一抛物线与二次函数 图象的开口大小相同，开口方向相同
且顶点坐标为（-1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国·九年级专题练习）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛
物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤2或m≥3 B．m≤3或m≥4 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
4．（2015·山东泰安·中考真题）在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能
是（ ）．A． B． C． D．
5．（2021·全国·九年级课时练习）关于二次函数y＝ (x+1)2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下 B．经过原点
C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是(﹣1，0)
6．（2021·浙江·温州市南浦实验中学一模）在平面直角坐标系中，当a＜﹣4时，抛物线y＝a（x﹣2）2+7
与直线y＝2x+1上的三个不同的点A（x，m），B（x，m），C（x，m）总有x+x+x＞6，则m的值可以
1 2 3 1 2 3
是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
7．（2022·湖北十堰·九年级期末）抛物线 的对称轴是__________________．
8．（2018·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为_____．
9．（2020·全国·九年级课时练习）已知二次函数 ，如果 ，那么 随 的增大而
__________．
10．（2022·广西河池·三模）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件
下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y=-0.3x2+1.5x-1，则最佳加工时间为__min．
11．（2022·全国·九年级专题练习）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边
是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如： ．根据以上知识解决问题：
（1）若x☆3=1，则x的值为_________________．
（2）抛物线 的顶点坐标是________________．
（3）若 的值小于0，则方程 有________________个根．
12．（2020·全国·九年级课时练习）平面直角坐标系中，C（0，4），A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动时，OB+BC的最小值为_____．
三、解答题
13．（2021·江苏·九年级专题练习）画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶
点．怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？
14．（2022·全国·九年级单元测试）已知抛物线y=ax2-2ax-6+a2（a≠0）
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其对应的函数的解析式．
15．（2021·全国·九年级专题练习）A、B两地果园分别有橘子40吨和60吨，C、D两地分别需要橘子30
吨和70吨；已知从A、B到C、D的运价如表：
到C地 到D地
A果园 每吨15元 每吨12元
B果园 每吨10元 每吨9元
（1）若从A果园运到C地的橘子为x吨，则从A果园运到D地的橘子为____吨，从A果园将橘子运往D
地的运输费用为____元；（2）设总运费为y元，请你求出y关于 的函数关系式；
（3）求总运输费用的最大值和最小值；
（4）若这批橘子在C地和D地进行再加工，经测算，全部橘子加工完毕后总成本为w元，且w=-
(x-25)2+4360，则当x＝___ 时，w有最 __ 值（填“大”或“小”）．这个值是 ___ ．
16．（2021·新疆·乌鲁木齐市实验学校九年级期中）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，
水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，
水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
17．（2020·全国·九年级课时练习）设二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0，c＞1），当x＝c时，y＝0；当0＜x
＜c时，y＞0．
（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；
（2）当x＞0时，求证： ．18．（2020·北京交通大学附属中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点
（3，3）．
（1）用含a的式子表示b；
（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的
取值范围．
