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九年级上期中测试卷（B）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．菱形 D．对角互补的四边形
【分析】根据 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图
形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【解答】解：A、等边三角形不是中心对称图形，故此选项错误；
B、直角三角形不是中心对称图形，故此选项错误；
C、菱形是中心对称图形，故此选项正确；
D、对角互补的四边形不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．
2．（3分）将一元二次方程x2﹣1＝﹣5x化为一般形式后，常数项为﹣1，二次项系数和一次项系数分别为
（ ）
A．1，5 B．1，﹣5 C．1，1 D．﹣1，1
【分析】先把﹣5x改变符号后从方程的右边移到方程的左边，再找出二次项系数和一次项系数即可．
【解答】解：x2﹣1＝﹣5x，
移项，得x2+5x﹣1＝0，
二次项系数和一次项系数分别是1，5，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，能熟记一元二次
方程的一般形式是解此题的关键，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，
a≠0），②找项的系数带着前面的符号．
3．（3分）把抛物线y＝﹣0.5x2先向左平移1个单位再向下平移2个单位长度后，所得的函数表达式为（
）
A．y＝﹣0.5（x+1）2+2 B．y＝﹣0.5（x+1）2﹣2
C．y＝﹣0.5（x﹣1）2+2 D．y＝﹣0.5（x﹣1）2﹣2
【分析】先确定抛物线y＝﹣0.5x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后
所得对应点的坐标为（﹣1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝﹣0.5x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移
2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣0.5（x+1）2﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移
后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法
求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4．（3分）方程x2﹣4x﹣6＝0配方之后变形为（ ）
A．（x﹣2）2＝10 B．（x﹣1）2＝4
C．（x﹣2）2＝7 D．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣6＝0，
∴x2﹣4x＝6，
∴x2﹣4x+4＝6+4，即（x﹣2）2＝10，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方
法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝m（x+3）2+n与y＝m（x﹣2）2+n+1交于点A，过点A
作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点C左侧）则线段BC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】设抛物线y＝m（x+3）2+n的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝m（x﹣2）2+n+1的对称轴
与线段BC交于点F，由抛物线的对称性结合BC＝2（AE+AF），即可求出结论．
【解答】解：设抛物线y＝m（x+3）2+n的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝m（x﹣2）2+n+1的对
称轴与线段BC交于点F，如图所示．由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，
∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣3）]＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性解决问题是解题的关键．
6．（3分）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C，点B'恰好落在CA的延长线上，∠B
＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝60°．
∵点B′恰好落在CA的延长线上，
∴∠BAC′＝180°﹣∠CAB﹣∠C′AB′＝60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是
解题的关键．
7．（3分）对于y＝2（x﹣3）2+2的图象下列叙述不正确的是（ ）
A．顶点坐标为（﹣3，2）
B．对称轴为直线x＝3C．当x≥3时y随x增大而增大
D．当x＝3时y有最小值2
【分析】根据二次函数的性质，结合顶点坐标，即可得出二次函数的顶点坐标以及对称轴和增减性，分
别分析即可．
【解答】解：A．当x＝3时，y＝2，∴顶点坐标是：（3，2），故本选项错误；
B．对称轴是直线x＝3，故本选项正确；
C．当x≥3时y随x增大而增大，根据对称轴以及开口方向，即可得出当x≥3时y随x增大而增大，故
本选项正确；
D．当x＝3时y有最小值2，根据顶点坐标即可得出答案，故本选项正确．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，根据题意灵活应用性质是中考中考查重点，同学们应熟练掌
握．
8．（3分）某个细胞经过两轮分裂后，共分裂出n个细胞，设每轮分裂中一个细胞可以分裂x个新的细胞，
则下列方程符合题意的是（ ）
A．1+x+x2＝n B．（1+x）2＝n C．x2＝n D．x（x+1）＝n
【分析】第一轮分裂成x个细胞，第二轮分裂成x•x＝x2个细胞，结合题意可得答案．
【解答】解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成x个细胞，那么可列方程为x2＝n，
故选：C．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到第二轮分裂后的等量关系是解决本题的
关键，属于一元二次方程的应用的基础题，比较简单．
9．（3分）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x﹣1与y＝﹣ 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．【分析】已知两函数解析式，分别求出它们经过的象限，开口方向，逐一判断即可．
【解答】解：∵y＝﹣x﹣1的图象过第二、三、四象限，y＝﹣ （x﹣1）2的开口向下，顶点在点（1，
0），
∴同时符合条件的图象只有选项A．故选A．
【点评】解答此题只要大致画出一次函数和二次函数的图象，就可以直接找出问题的答案．
10．（3分）下列说法正确的个数有（ ）
①同一底片印出来的不同尺寸的照片是相似的
②放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似的
③放大镜放大后的图形与原来的图形是相似的
④水平观看装在带有水的透明玻璃杯中的金鱼所组成的像与金鱼本身的像是相似的
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据相似图形的定义，对各选项进行一一分析，即可得出正确答案．
【解答】解：①同一底片印出来的不同尺寸的照片，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定
义，故正确；
②放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定
义，故正确；
③放大镜放大后的图形与原来的图形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；
④水平观看装在带有水的透明玻璃杯中的金鱼所组成的像与金鱼本身的像，形状相同，但大小不一定
相同，符合相似性的定义，故正确．
故选：D．
【点评】考查的是相似形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点中心对称的点的坐标是 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．
【解答】解：点（﹣2，3）关于原点中心对称的点的坐标是（2，﹣3）．
【点评】本题比较容易，要明确平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣
y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
12．（3分）如图，点A，B的坐标分别为（2，﹣5）和（5，﹣5），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线
段AB上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．若点D的横坐标最大值为10，则点C的
横坐标最小值为 ．【分析】根据题意可以得到n的值，m的取值范围，再根据点D的横坐标最大值为10，可以求得a的值，
从而可以求得点C的横坐标最小值．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（2，﹣5）和（5，﹣5），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线
段AB上运动，
∴n＝﹣5，2≤m≤5，
又∵x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），点D的横坐标最大值为10，
∴当m＝5时，函数y＝a（x﹣5）2﹣5与x轴的交点D的横坐标是10，
∴0＝a（10﹣5）2﹣5，得a＝ ，
∴当m＝2时，函数y＝ （x﹣2）2﹣5与x轴的交点C的坐标为（﹣3，0），此时点C的横坐标就是就
是该函数与x轴交点C的横坐标最小值，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的
关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
13．（3分）如图，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE．将△ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG
的位置（点F在正方形ABCD内部），连接DG．若AB＝10，BE＝6，DG∥AF，则CH＝ ．
【分析】由“HL”可证Rt△AFH≌Rt△ADH，可得FH＝DH，由“AAS”可证△DHG≌△FHN，可得
HG＝HN，可得ND＝FG＝6，由勾股定理可求AP，FN，DH，即可求解．【解答】解：如图，连接AH，过点F作FN⊥CD于点N，FP⊥AD于点P，
∵将△ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG的位置，
∴AB＝AF，∠ABE＝∠AFG＝90°，BE＝FG＝6，
∴AF＝AD，
在Rt△AFH和Rt△ADH中，
，
∴Rt△AFH≌Rt△ADH（HL），
∴FH＝DH，
∵DG∥AF，
∴∠AFG＝∠DGF＝90°，
在△DHG和△FHN中，
，
∴△DHG≌△FHN（AAS），
∴HG＝HN，
∴DN＝DH+HN＝FH+HG＝FG＝6，
∵FN⊥CD，PF⊥AD，∠ADC＝90°，
∴四边形PDNF是矩形，
∴PD＝FN，PF＝DN＝6，
∴AP＝ ＝ ＝8，
∴PD＝2＝FN，
∵FH2＝HN2+FN2，
∴DH2＝（6﹣DH）2+4，
∴DH＝ ，∴CH＝DC﹣DH＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出
FN的长是解题的关键．
14．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则关于x的方程
ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 ．
【分析】先利用抛物线的对称性写出抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），然后根据抛物线与x轴
的交点问题可得到关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
所以抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
即x＝﹣1或3时，函数值y＝0，
所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
故答案为：x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴
的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
15．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣3＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于 ．
【分析】将x＝m代入原方程即可求m2﹣m的值．
【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣3＝0可得：m2﹣m﹣3＝0，
所以m2﹣m＝3，
故答案是：3．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把（m2﹣m）当成一个整体．利用了整体的思想．
16．（3分）若关于x的函数y＝（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k的图象与坐标轴有两个交点，则k可取的值为
．
【分析】题意函数与坐标轴有两个交点，要分三种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点；③函数为二次函数，与y轴的交点也在x轴上，即图象经过原
点．针对每一种情况，分别求出k的值．
【解答】解：（1）当k﹣2＝0，即k＝2时，原函数解析式为：y＝﹣3x+2，此时b＝2≠0，
故一次函数图象不经过原点，则该函数图象与x轴有两个交点；
（2）当k﹣2≠0时，原函数为二次函数，
故该函数一定与y轴有一个交点，且仅有一个交点，其坐标为（0，k），
当该函数图象与坐标轴的交点为原点时，即k＝0，此时函数的解析式为：
y＝﹣2x2+x，
方程﹣2x2+x＝0的判别式Δ＝1＞0，
故此时函数图象与x轴有两个交点，其中一个点是原点，即与坐标轴有两个交点；
当该交点不是原点时，k≠0，
∵该函数与图象与坐标轴有两个交点，
∴该函数图象与x轴有且仅有一个交点，则方程（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k﹣2）•k＝0，
整理得，4a+1＝0，
解得， ．
故答案为：2、0或﹣ ．
【点评】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程
无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
三．解答题（共9小题，满分50分）
17．（4分）（1）已知a：b：c＝2：3：5，如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值；
（2）解方程：x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）根据a、b、c的比值可设a＝2k，b＝3k，c＝5k，得关于k的一元一次方程，求解即可；
（2）可利用一元二次方程的配方法求解．
【解答】解：（1）∵a：b：c＝2：3：5，
设a＝2k，b＝3k，c＝5k，
∵3a﹣b+c＝24，
∴6k﹣3k+5k＝24，
即8k＝24，
∴k＝3．∴a＝6，b＝9，c＝15．
（2）x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
即（x﹣2）2＝3．
∴x﹣2＝± ．
∴x＝2± ．
∴x ＝2+ ，x ＝2﹣ ．
1 2
【点评】本题考查了比例、一元一次方程及一元二次方程的解法，学会设常量k及掌握配方法解一元二
次方程的一般步骤是解决本题的关键．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对
应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°．则∠BAF的度数为 ；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝50°，根据旋转的性质得到∠EBF＝∠ABC＝50°，
AB＝BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AB＝10，根据旋转的性质得到BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，根据勾股定理即可得
到结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA＝ （180°﹣50°）＝65°，
故答案为：65°；
（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
∴AF＝ ＝4 ．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
19．（6分）如图，△ABC的三个顶点在网格上
（1）画出三角形关于原点O的中心对称图形△A B C ；
1 1 1
（2）直接写出点A 的坐标为 ．
1
【分析】（1）、（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A B C 为所作；
1 1 1
（2）点A 的坐标为（1，﹣3）．
1
故答案为（1，﹣3）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转
后的图形．
20．（6分）求证：无论k取何值时，关于x的一元二次方程x2﹣2x+k2+4k+7＝0都没有实数根．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝4﹣4（k2+4k+7）
＝4﹣4k2﹣16k﹣28
＝﹣4k2﹣16k﹣24
＝﹣4（k2+4k+6），
∵k2+4k+6＝k2+4k+4+2＝（k+2）2+2＞0，
∴Δ＜0，
∴无论k取何值时，该方程都没有实数根；
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式，本题属于基础题型．
21．（8分）画出二次函数y＝﹣ （x+2）2，y＝﹣ （x﹣2）2的图象，并回答下列问题：
（1）说出它们的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）抛物线y＝﹣ （x+2）2，y＝﹣ （x﹣2）2与y＝﹣ x2有什么关系？
【分析】（1）直接由顶点式得到开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）由二次项系数和顶点坐标得到三个函数间的关系．
【解答】解：（1）y＝﹣ （x+2）2，y＝﹣ （x﹣2）2的图象如下图所示，
∴y＝﹣ （x+2）2的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，0），
y＝﹣ （x﹣2）2的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，0）．
（2）抛物线y＝﹣ x2的图象向右平移2个单位得到y＝﹣ （x﹣2）2的图象，向左平移2个单位得到y＝﹣ （x+2）2的图象．
【点评】本题考查了二次函数的图象和图象的变换，解题的关键是准确作出二次函数的图象．
22．（10分）某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，
降低成本，2020年出厂价调整为100元．
（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定
降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降
低多少元？
【分析】（1）平均下降率为x，由2018年的出厂价×（1﹣下降率）2＝2020年出厂价可列出关于x的一
元二次方程，解方程即可得出结果；
（2）设单价降价y元，则每天的销售量是（20+2y）台，根据总利润＝每台利润×销售数量，即可得出
关于y的一元二次方程，解之即可求出结果．
【解答】解：（1）设这两年平均下降率为x，
根据题意得：144（1﹣x）2＝100，
等号两边同除以144得：（1﹣x）2＝
两边开方得：1﹣x＝± ＝± ，
所以x ＝ ＞1（不合题意，舍去），x ＝ ≈16.67%．
1 2
答：这两年平均下降率约为16.67%；
（2）设单价降价y元，
则每天的销售量是20+ ×10＝20+2y（台），
根据题意得：（140﹣100﹣y）（20+2y）＝1250，
整理得：y2﹣30y+225＝0，
解得：y ＝y ＝15．
1 2
答：单价应降15元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．2017春季全国糖酒会期间，某宾馆有100个房间供客人住宿．按规定：每天每个房间定价不低于200
元且不能高于700元，当每个房间每天定价为200元时，房间会全部住满；若房间单价每增加 10元，就会增加一个空闲房间．如果有客人住宿的房间，宾馆每间每天需花费 40元的各种维护费用．设每个
房间每天定价为x元（x为10的整数倍）．
（1）若每天入住房间数为y，请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x之间的函数关系式；
（3）当房价定为多少元时，宾馆每天的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）每个房间每天定价为x元减去200元，除以10，是10 的几倍，就要从100里减去几个床
位，从而求得y与x的函数关系式；
（2）每间房子的利润为x减去40元，宾馆一天的利润w元等于住有旅客的房间数乘以每间房子的利润，
从而得出w的表达式，再化简即可；
（3）由（2）知，利润w为关于x的开口向下的二次函数，故当x为该二次函数的顶点横坐标时，w有
最大值，从而求得该二次函数的顶点横坐标，再代入原函数，得出顶点的纵坐标，即为w的最大值，从
而问题得解．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝100﹣ ＝100﹣ +20＝120﹣
∴y与x之间的函数关系式为：y＝120﹣ ．
（2）由题意得：
w＝（120﹣ ）（x﹣40）
＝120x﹣4800﹣ +4x
＝﹣ +124x﹣4800
∴w与x之间的函数关系式为：w＝﹣ +124x﹣4800．
（3）∵w＝﹣ +124x﹣4800∴当x＝﹣ ＝620时，w有最大值，
最大值为：w＝﹣ +124×620﹣4800
＝﹣38440+76880﹣4800
＝33640
答：当房价定为620元时，宾馆每天的利润最大，最大利润是33640元．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用，求开口向下的二次函数的最大值时，可
以采用配方法，也可以先求顶点横坐标，再代入原函数求解．
24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，连接
AE，EF和CF．
（1）若△ABE≌△CBF，则BE＝ ，△CBF可以看成是△ABE以点 为旋转中心，按顺时针方
向旋转 度得到的；
（2）在（1）的条件下，
①当∠BCF＝25°时，求∠AEC的度数；
②试判断AE与CF之间的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）由全等三角形的性质可得BE＝BF，由旋转的性质可求解；
（2）①由全等三角形的性质可得∠BAE＝∠BCF＝25°，由外角的性质可求解；
②由全等三角形的性质可得∠BAE＝∠BCF，由余角的性质可得结论．
【解答】解：（1）∵△ABE≌△CBF，
∴BE＝BF，
∴△CBF可以看成是△ABE以点B为旋转中心，按顺时针方向旋转90度得到的；
故答案为：BF，B，90；
（2）①∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE＝∠BCF＝25°，∴∠AEC＝∠ABC+∠EAB＝90°+25°＝115°；
②如图，延长AE交AC于H，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE＝∠BCF，
∵∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠BAE+∠BFC＝90°，
∴∠AHF＝90°，
∴AE⊥CF．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决
问题是本题的关键．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线
l：y＝﹣x﹣1与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D（5，﹣6），已知P点为抛物
线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点
F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符
合条件的M点坐标．【分析】（1）由直线l：y＝﹣x﹣1可求出点A的坐标，再将点A，点D的坐标代入抛物线的表达式，
即可求解；
（2）PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，即可求解；
（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）∵直线l：y＝﹣x﹣1过点A，
∴A（﹣1，0），
又∵D（5，﹣6），
将点A，D的坐标代入抛物线表达式可得： ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4．
（2）如图，
设点P（x，﹣x2+3x+4），
∵PE∥x轴，PF∥y轴，
则E（x2﹣3x﹣5，﹣x2+3x+4），F（x，﹣x﹣1），
∵点P在直线l上方的抛物线上，
∴﹣1＜x＜5，∴PE＝|x﹣（x2﹣3x﹣5）|＝﹣x2+4x+5，PF＝|﹣x2+3x+4﹣（﹣x﹣1）|＝﹣x2+4x+5，
∴PE+PF＝2（﹣x2+4x+5）＝﹣2（x﹣2）2+18．
∵﹣1＜x＜5，
∴当x＝2时，PE+PF取得最大值，最大值为18．
（3）由（1）可求NC＝5，
∵NC是所求平行四边形的一边，
∴NC PM，设点p（t，﹣t2+3t+4），则M（t，﹣t﹣1），
由题意知：|y ﹣y |＝5，即|﹣t2+3t+4+t+1|＝5．
P M
化简得：t2﹣4t＝0或t2﹣4t﹣10＝0，
解得：t ＝0（舍去），t ＝4， ， ．
1 2
则符合条件的M点有三个： ， ．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
