文档内容
第14 章 整式的乘法与因式分解（单元测试·培优卷）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（24-25八年级上·四川广安·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级上·云南红河·期末）若 ，则b等于（ ）
A．5 B． C．2 D．
3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）在计算整式 的值过程中， 的取值比原来扩大 ， 的取值比原
来缩小 ，则该整式的值（ ）
A．比原来扩大 B．比原来缩小
C．比原来扩大 D．比原来缩小
4．（23-24七年级下·广西贺州·期末）在一次数学活动课中，小林用如图所示的1张小正方形纸片A，4张
大正方形纸片B和若干张长方形纸片C恰好拼成一个新的正方形（将纸片进行无空隙，无重叠拼接），则
小林共用长方形纸片C为（ ）
A．2张 B．4张 C．6张 D．8张
5．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
6．（24-25八年级上·山东淄博·期中）如图，爱思考的小颖看到课本《因式分解》一章中这样写道：
形如 的式子称为完全平方式小颖思考，如果一个多项式不是完全平方式，我们对其作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现
完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，那么是否可以由此解决一些新的问题．若借助小颖的
思考，可以求得多项式 的最大值，则该最大值为（ ）
A． B． C．5 D．13
7．（2024·河北保定·一模）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各 张，小明要用这些
纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为 和 的长方形．下列判断正确
的是（ ）
A．甲种纸片剩余 张 B．丙种纸片剩余 张
C．乙种纸片缺少 张 D．甲种和乙种纸片都不够用
8．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变
异的“杨辉三角”，按箭头方向依次记为： ， ， ， ， ， ， ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24七年级上·湖北·周测）已知数 按图所示程序输入计算，当第一次输入 为 时，那么第
次输出的结果为（ ）A． B． C． D．
10．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位
数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示 ，运算
结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据
进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024八年级上·全国·专题练习）计算 = ．
12．（22-23七年级下·四川达州·期末）已知 ， ， ， ，则 ．
13．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）计算： ．（ 为正整
数）．
14．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若 ， ，且 ，则 的
值为 ．
15．（21-22八年级上·广西南宁·期中）若 与 乘积中 项的系数为2，常数项为
，则这两个多项式乘积的一次项系数为 ．
16．（2024·江苏泰州·一模）整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式： ．
17．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如下所示可将 转化为方程 ，我们规定：方程
称为 的还原方程．
去分母，
移项，
两边平方，
整理，
则 的还原方程是 ．
18．（23-24八年级上·安徽铜陵·期末）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数
学的杰出研究成果之一，比法国数学家帕斯卡发现这一规律要早约400年．观察下列各式及其展开式，请
猜想 展开式中含 项的系数是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·北京海淀·期中）计算：
(1) ； (2) ．20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·山西临汾·期中）将下列各式分解因式：
(1) (2)
21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·湖北武汉·期中）先化简，再求值：
(1) ，其中 ．
(2) ，其中m满足 ．
22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·吉林长春·期中）【教材还原】
（1）如图①，用含字母的等式表示图中图形的面积的运算为_________；
【类比探究】
（2）若 ，则 的值为_________；
【拓展应用】
（3）如图②，某学校有一块梯形空地 于点 ，该校计划在 和
区域内种花，在 和 的区域（阴影部分）内种草．经测量种花区域的面积为 ， ，
请求出种草区域的面积．23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·湖南长沙·期中）定义：将二次三项式 变形为
的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即 就可以解决很多问题，例如：
把多项式 配方为： ．
(1)把多项式 配方成 的形式，则 ________， ________；
(2)若多项式 ， ．
①证明：无论 取任何实数，多项式 的值一定恒为正数；
②求多项式 的最小值．
(3)已知正整数 ， ， 满足不等式 ，求 的值．
24．（本小题满分12分）（2024七年级下·浙江·专题练习）综合实践．
活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系
提供长度不同的两种木棒各4根（如图）
活
动
资
源
运用以上8根木棒（不折断）摆成长方形或正方形，且木棒全部用完．选取同学们的甲、乙、丙、
丁四种不同的摆法（如图）进行研究．
入
项
任
务
问题探究过程
发 请观察以上所有图形，并研究不同（2种或2种以上）摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结
现
论？
问例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍．
小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积．
题
聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？
你的发现是 ；（请用简洁的语言描述）
请用代数式表示你的发现（设两种木棒的长度分别为a，b（其中 ），四种图形面积分别为
， ， ， ．
提
出
例如：小明的结论是 ．
问
题
小张的结论是 ，
你的结论是： ；
请用所学的数学知识证明你的结论．
例如：小明的证明方法如下．
分
析
证：∵ ， ，
问
题 ∴ ，
你的证明： ；
把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为
的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系．
拓
展
创
你的示意图： ；
新
你的关系式： ．
迁
移 根据以上的研究结论，请解决数学问题，若 ， ，求 的值．
应
你的解答： ．
用参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D B B D C C D D
1．D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、完全平方公式，熟记各运算法则和公式是
解题关键．
根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、完全平方公式逐项判断即可得．
【详解】解：A、 ，此项错误；
B、 ，此项错误；
C、 ，此项错误；
D、 ，此项正确；
故选：D．
2．B
【分析】把 变成 ，再根据 即可求解．
本题考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ 或 ，
解得： ，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了整式的加减及乘法运算，根据题意列出代数式计算即可判断求解，正确列出代数式是
解题的关键．
【详解】解： ，
∵ ，∴该整式的值比原来缩小 ．
故选： ．
4．B
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，根据题意，得到三种图形的面积之和为一个完全平方式，进
行求解即可．
【详解】解：设共用长方形纸片C为 张，则：拼成的大正方形的面积为 ，
∴ 为完全平方式，
∴ 或 （舍去）；
∴共用长方形纸片C为4张；
故选:B．
5．B
【分析】本题主要考查了分式化简求值，完全平方公式变形求值，先将 变为 ，
然后分两种情况讨论：当 时， ，当 时， ，分别代入求值即
可．
【详解】解：
，
当 时， 不成立，
当 时， ，则
；
综上分析可知： 的值为 ，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的应用，将 化为 ，即可求解．
【详解】解：
，
∵
∴ ，即 的最大值为
故选：D．
7．C
【分析】本题考查整式的乘法运算，解题的关键是掌握整式的乘法运算法则．根据长方形的面积公式可得
，结合图形即可求解．
【详解】解： ，
要拼接一个长、宽分别为 和 的长方形，需要甲种纸片 张，乙种纸片 张，丙种纸片张，
乙种纸片缺少 张．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查数字的变化规律，根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以计算出
的值．
【详解】解：∵ ， ， ， ， ， ，
，
∴当 为偶数时， ，当 为奇数时， ，
∴
，
故选：C．
9．D
【分析】分别求出第一次、第二次、第三次等，得出规律，从第三次开始输出的结果依次是： ， ， ，
， 五个数进行周期循环，根据规律进一步求出第 次即可．
【详解】解：由图可知： ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由此可知，从第2次开始输出的结果依次是： ， ， ， ， 五个数进行周期循环，
，
第 次输出的结果为 ，
故选： ．
【点睛】本题考查了对代数式求值的应用，数字规律探索，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
10．D
【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．
设一个三位数与一个两位数分别为 和 ，则 ，即 ，
可确定 时，则 ，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：
，故可判断C、D选项．
【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为 和
如图：则由题意得：
，
∴ ，即 ，
∴当 时， 不是正整数，不符合题意，故舍；
当 时，则 ，如图：
，
∴A、“20”左边的数是 ，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
∴ 上面的数应为 ，如图：
∴运算结果可以表示为： ，
∴D选项符合题意，
当 时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意，
故选：D．
11．
【分析】本题考查了单项式乘单项式即同底数幂相乘，根据运算法则进行计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．9
【分析】根据 ， ， ，得到 ，再根据 ，得到 ，联立
①②得到 ，然后利用幂的乘方将代数式变形，即可计算求值．
【详解】解： ， ， ，
，
，
，
，
，
，
联立①②得： ，
，
，
，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了考查了同底数幂相乘，积的乘方的逆用，幂的乘方，同底数幂相除，熟练掌握相
关运算法则是解题关键．
13．
【分析】本题主要考查了多项式除以多项式，利用完全平方公式先分解因式是解题的关键，也是解本题的
难点．
先利用完全平方公式对 进行因式分解，再利用多项式的除法法则计算即可．【详解】解： ．
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值问题，由完全平方公式得 ，
即可求解；掌握 、 、 之间的关系是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
，
；
故答案： ．
15．
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，根据题意列出关系式，由 项的系数为2，常数项为 ，求
出p与q的值，即可确定出这两个多项式乘积的一次项系数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】根据题意得： ，
∵ 项的系数为2，常数项为 ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
∴这两个多项式乘积的一次项系数为26，
故答案为：26．
16．
【分析】本题考查的是因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．根据3个小正方形的面积加上3个小矩形的面积和等于大的矩形面积即可求解．
【详解】解： 图中3个小正方形的面积加上3个小矩形的面积和为：
，
大矩形的面积为： ，
根据面积相等有： ．
故答案为： ．
17．
【分析】本题考查了算术平方根的性质，完全平方公式．依照例题计算即可求解；
【详解】解∶ ，
去分母， ，
移项， ，
两边平方， ，
整理， ，
故答案为∶ ．
18．
【分析】本题考查数字变化规律题．根据题意先计算 的展开式，再令 即可得到本题答
案．
【详解】解：∵ ，
令 ，
∴ ，
故答案为： ．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；（2）先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键：
（1）先利用平方差公式法进行因式分解，再提公因式即可；
（2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．21．(1) ，0
(2) ，10
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的相关运算法则成为解题的关键．
（1）先运用整式的四则混合运算法则化简，然后将 代入计算即可；
（2）先运用整式的混合运算法则化简，再由 可得 ，最后将整体代入计算即可．
【详解】（1）解： ，
，
当 时，原式 ．
（2）解：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
22．（1） ；（2）88；（3）种草区域面积为11．
【分析】本题考查了图形面积与完全平方公式，完全平方公式的变形应用．
（1）根据图形知，等号左边正方形面积等于右边两个正方形面积和加上两个相同长方形面积，即可完成；
（2）由完全平方公式变形即可求解；
（3）设 ，则 ， ，由完全平方公式变形即可求解．
【详解】解：（1）由图形知， ；故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ；
故答案为：88．
（3）设 ，
∵种花区域的面积为 ， ，
∴ ，
即 ；
∵ ，
∴ ；
∴ ．
即种草区域面积为11．
23．(1)2，1；
(2)①见解析，②9
(3)1
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键．
（1）根据配方法的定义配方即可；
（2）①根据平方具有非负性，即可得证；②将 配方成 ，即可确定最小值；
（3）根据原式可变形得 ，再配方可得
，再根据平方的非负性质求解即可．
【详解】（1）解：，
， ，
故答案为：2，1；
（2）①证明： ，
多项式 的值一定恒为正数；
②解：
，
的最小值为9；
（3） ，
，
，
， ， 为正整数，所以 ，即 ，
或1或 ，即 或5或3，
当 时， 或1或 ，则 或2.5或1.5，且 ， ， 为正整数，
， ， ，
；
当 时， ，即 ，与题意不符，舍去；
当 时， ，即 ，与题意不符，舍去．
综上所述， ．
24．[发现问题]丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和；[提出问题] ；[分析问题]证明见解
析；[拓展创新]图见解析， ；[迁移应用]
【分析】本题主要考查以几何图形为背景的完全平方公式应用，
[发现问题]根据正方形和长方形面积即可得到；
[提出问题]结合上一问即可得到；[分析问题]利用面积公式和完全平方公式即可证明；
[拓展创新]利用面积和完全平方公式求解即可；
[迁移应用]x和y的大小关系结合拓展创新得结论即可求得答案．
【详解】解：[发现问题]如图，连接各点．
由图可知，丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和．
故答案为：丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和．
[提出问题]
由发现问题得 ．
故答案为： ．
[分析问题]
∵ ， ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
故答案为： ；
[拓展创新]
示意图如图．
图中每个矩形的面积为 ，小正方形的面积为 ．
大正方形的面积为 ．
∵ ，
∴ ．
故答案为：
， ．
[迁移应用]
若 ，令 ， ．
根据 ，得 ，即 ，
解得 ．
若 ，令 ， ．
同理，得 ，解得 ．
∴ ．
故答案为： ．
