文档内容
25 概率
必然事件、不可能事件和随机事件
（1）必然事件
在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
（2）不可能事件
在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
注意：
1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；
2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最
大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能
性的大小有可能不同.
题型1：必然事件、不可能事件和随机事件
1.“对于二次函数y=(x−1) 2+1，当x≥1时，y随x的增大而增大”，这一事件为（ ）
A．必然事件 B．随机事件 C．不确定事件 D．不可能事件
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意知，该二次函数的图象在对称轴直线x=1的右侧，y随x的增大而增
大；
∴为必然事件
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的性质，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，由题意可知，
a=1，对称轴直线 x=1，故“当x≥1时，y随x的增大而增大 ”为必然事件.
【变式1-1】下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中靶心B．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天
D．经过红绿灯路口，遇到绿灯
【答案】B
【解析】【解答】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；故A不符合题意；
B、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件，故B符合题意；
C、班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件；故C不符合题意；
D、经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件是在一定条件下，一定
发生的事件；不可能事件是在一定条件下，一定不发生的事件；据此判断即可.
【变式1-2】事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：经过一个有交通信号灯的十字
路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（ ）
A．事件①和②都是随机事件
B．事件①是随机事件，事件②是必然事件
C．事件①和②都是必然事件
D．事件①是必然事件，事件②是随机事件
【答案】D
【解析】【解答】解：事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°，这是必然事件；
事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，可能遇见红灯、绿灯或黄灯，所以遇到红灯，这是随机
事件；
故答案为：D.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会
发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件；从而根据多边形外角
和均为360°可判断①；经过一个有交通信号灯的十字路口，可能遇到红灯、黄灯、绿灯，据此判断
②.
概率的意义 注意：
(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的
值；
可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如
(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
果事件A发生的频率 会稳定在某个常数 附 (3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于
1 的数，，即 ，其中 P(必然事
近，那么这个常数 就叫做事件A的概率，记为
件)=1，P(不可能事件)=0，0 ，
9 9
∴甲获胜的概率大，这个游戏不公平．
【解析】【分析】先画树状图求出 所有等可能的结果有：4，5，7，5，6，8，7，8，10共9种， 再
5 4
求出 P = ， P = ， 最后求解即可。
1 9 2 9
题型6：利用频率估计概率
11.在不透明的袋子中装有黑、白两种球共50个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个
球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑
球的频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为()
A．20个 B．30个 C．40个 D．50个
【答案】A
【解析】【解答】解：设袋子中有n个黑球，
n
根据题意得 =0.4，
50
解得：n=20，
故答案为：A．
【分析】根据摸出的黑球的频率稳定在0.4附近可得黑球的概率约为0.4，根据概率公式列方程求解即
可.
【变式11-1】下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果：
投篮次
50 100 150 200 250 400 500 800
数
投中次
28 63 87 122 148 242 301 480
数
投中频
0.560 0.630 0.580 0.610 0.592 0.605 0.602 0.600
率
根据频率的稳定性，估计这名球员投篮一次投中的概率约是（ ）
A．0.560 B．0.580 C．0.600 D．0.620
【答案】C
【解析】【解答】解：∵由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.600附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.600.
故答案为：C.
【变式11-2】小红利用计算机模拟“投针试验”：在一个平面上画一组间距为d=0.73cm的平行线，
将一根长度为l=0.59cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都
不相交．下图显示了小红某次实验的结果，那么可以估计出针与直线相交的概率是 （结果
保留小数点后两位）．
【答案】0.51
【解析】【解答】解：由实验可得：针与直线相交的频率稳定在0.514附近，
而0.514≈0.51，
所以估计出针与直线相交的概率是0.51
故答案为：0.51
【分析】利用频率估算概率即可得到答案。
题型7：统计概率综合
12.为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选性课：A.书法：B.绘画：C.乐器：D.舞蹈.为
了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学
生必须选择而且只能选择其中一门）.将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图
中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；扇形统计图中∠α= 度；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）学校为举办2021年度校园文化艺术节，决定从A.书法；B.绘画；C.乐器；D.舞蹈四项艺术形
式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概
率．
【答案】（1）40；108
（2）解：C科目人数为：40×（1−10%−20%−40%）=12（人），补全图形如下：
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好是“书法”与“乐器”组合在一起的结果数为2，
2 1
所以书法与乐器组合在一起的概率为 =
12 6
【解析】【解答】（1）解：本次调查的学生总人数为：4÷10%=40（人），
∠α=360°×（1−10%−20%−40%）=108°
故答案为：40，108
【分析】（1）观察两统计图可知，本次调查的学生总人数=A科目的人数÷A科目的人数所占的百分
比，列式计算可求出本次调查的学生总人数；扇形统计图中∠α=360°×C的人数所占的百分比，列式
计算可求出∠α的度数.
（2）利用本次调查的学生总人数×C科目的人数所占的百分比，列式计算可求出C科目的人数；再补
全条形统计图.
（3）由题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，利用树状图可得到所有的可能的结果数及选中
书法与乐器组合在一起的情况数，然后利用概率公式可求出选中书法与乐器组合在一起的概率.
【变式12-1】某中学举行了“美育节”演讲比赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等
级，并绘制了不完整的两种统计图．
根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加演讲比赛的学生共有 ▲ 人，并把条形图补充完整；
（2）扇形统计图中，m= ；n= ；C等级对应扇形的圆心角为 ．（3）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的演讲比赛，请利用列表法或树形图
法，求获A 等级的小明参加市比赛的概率．
【答案】（1）解：40；作图如下：
（2）10；40；144°
（3）解：设A等级的小明用a表示，其他的三个学生用b，c，d表示．
画树状图为：
由图知，一共有12种等可能的结果，其中获A 等级的小明参加市比赛的有6种结果，
1
∴P = ．
(小明参加比赛) 2
【解析】【解答】（1）解：12÷30%=40（人），
B等级的人数是：40−4−16−12=8（人），
故答案为：40；
（2）解： 4÷40=10%，16÷40=40%，
∴m=10，n=40；
C等级对应扇形的圆心角为=360°×40%=144°.
【分析】（1）利用两统计图可知参加演讲比赛的学生的人数=D等级的人数÷D等级的人数所占的百
分比，列式计算；再求出B等级的人数；然后补全条形统计图.
（2）利用A的人数÷参加比赛的学生人数，可求出m的值；利用C等级的人数÷参加比赛的学生人
数，可求出n的值；C等级对应扇形的圆心角=360°×C等级的人数所占的百分比，列式计算.
（3）由题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，可得到所有等可能的结果数及获A 等级的小明
参加市比赛的情况数，然后利用概率公式进行计算.
【变式12-2】为了引导青少年学党史，某中学举行了“献礼建党百年”党史知识竞赛活动，将成绩划
分为四个等级：A（优秀）、B（优良）、C（合格）、D（不合格）.小李随机调查了部分同学的竞赛
成绩，绘制成了如下统计图（部分信息未给出）：（1）小李共抽取了 名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“优秀”等级对应
的扇形圆心角度数为 ，请补全条形统计图；
（2）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数；
（3）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同
学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率.
【答案】（1）100；
126°；
补全条形统计图如下所示：
35
（2）解： 2000× =700 （名），
100
∴该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为700名；
（3）解：∵抽取不及格的人数有5名，其中有2名女生，
∴有3名男生，
设3名男生分别为 b ， b ， b ，2名女生分别为 g ， g ，列表格如下所示：
1 2 3 1 2
b b b g g
1 2 3 1 2
b (b ，b ) (b ，b ) (g ，b ) (g ，b )
1 2 1 3 1 1 1 2 1
b (b ，b ) (b ，b ) (g ，b ) (g ，b )
2 1 2 3 2 1 2 2 2
b (b ，b ) (b ，b ) (g ，b ) (g ，b )
3 1 3 2 3 1 3 2 3
g (b ，g ) (b ，g ) (b ，g ) (g ，g )
1 1 1 2 1 3 1 2 1
g (b ，g ) (b ，g ) (b ，g ) (g ，g )
2 1 2 2 2 3 2 1 2
∴总的结果有20种，一男一女的有12种，12 3
∴回访到一男一女的概率为 = .
20 5
【解析】【解答】解：（1）C等级的人数和所占比可得抽取的总人数为：25÷25％=100 （名），
35
∴“优秀”等级对应的扇形圆心角度数为： ×360°=126° ，
100
B等级的人数为： 100×35％=35 （名），
D等级的人数为： 100−35−35−25=5 （名），
∴补全条形统计图如下所示：
【分析】（1）利用C等级的人数除以所占的比例可得总人数，利用优秀的人数除以总人数，然后乘
以360°可得“优秀”等级对应的扇形圆心角的度数，利用 B等级的人数所占的比例乘以总人数可得对
应的人数，进而求出D等级的人数，据此补全条形统计图；
（2）利用优秀的人数除以总人数，然后乘以2000即可；
（3）设3名男生分别为b 、b 、b ，2名女生分别为g 、g ，列出表格，找出总情况数以及一男一女
1 2 3 1 2
的情况数，然后利用概率公式进行计算.
一、单选题
1．“明年的11月8日是晴天”这个事件是（ ）
A．确定事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．不确定事件
【答案】D
【解析】【解答】“明年的11月8日是晴天”这个事件是随机事件，是不确定事件.
故答案为：D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.
2．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色．指
针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形
的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（ ）1 1 3
A． B． C． D．1
4 2 4
【答案】B
【解析】【解答】解：∵每个扇形大小相同
∴灰色部分面积和空白部分的面积相等
2 1
∴落在空白部分的概率为： =
4 2
故答案为：B．
【分析】利用几何的概率公式求解即可。
3．一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在白色方砖上的概率是（ ）
1 2 3 2
A． B． C． D．
3 5 5 3
【答案】D
【解析】【解答】解：∵地面被等分成15份，其中白色部分占10份，
10 2
∴根据几何概率的意义，落在白色区域的概率= = ．
15 3
故选：D．
【分析】首先确定在图中白色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出停在白色方
砖上的概率．
4．下列说法正确的是（ ）
A．要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式
B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖
C．甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差S 2=0.1，S 2=0.2，则甲组数据比乙组
甲 乙
数据稳定D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件
【答案】C
【解析】【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到
的调查结果比较近似．
【解答】A、要了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故本选项错误；
B、若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏不一定会中奖，故本选项错误；
C、若方差S 2=0.1，S 2=0.2，则甲组数据比乙组数据稳定，说法正确，故本选项正确；
甲 乙
D、“掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特
征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择
抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．下列事件
⑴打开电视机，正在播放新闻；
⑵父亲的年龄比他儿子年龄大；
⑶下个星期天会下雨；
⑷向上用力抛石头，石头落地；
⑸一个实数的平方是负数．
属于确定事件的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：（1）打开电视机，正在播放新闻是随机事件；（2）父亲的年龄比他儿子年龄
大是必然事件；（3）下个星期天会下雨是随机事件；（4）向上用力抛石头，石头落地是必然事件；
（5）一个实数的平方是负数是不可能事件，
故选：C．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
6．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这十个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4
整除的概率是( )
1 2 1 3
A． B． C． D．
10 5 5 10
【答案】C【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；
二者的比值就是其发生的概率。因此，
∵10张卡片的数中能被4整除的数有：4、8，共2个，
2 1
∴从中任意摸一张，那么恰好能被4整除的概率是 = .
10 5
故选C.
二、填空题
4
7．某班级中有男生和女生各若干，若随机抽取一人，抽到男生的概率是 ，则抽到女生的概率是
5
.
1
【答案】
5
【解析】【解答】
4
∵抽到男生的概率是 ，
5
4 1
∴抽到女生的概率是1- = ．
5 5
【分析】由于抽到男生的概率与抽到女生的概率之和为1，据此即可求出抽到女生的概率．
8．一个事件经过多次试验，某种结果发生的频率为0.31，那么估计该种结果发生的概率是 ．
【答案】0.31
【解析】【解答】解：一个事件经过多次的试验，某种结果发生的频率为0.31，
那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是0.31．
故答案为：0.31．
【分析】根据 某种结果发生的频率为0.31 求概率即可。
2 1
9．现有6个质地，大小完全相同的小球上分别标有数字﹣1，0.5， ，1 ，1，2．先将标有数字
3 2
1
﹣1，0.5，1 的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里，现分
2
别从这两个盒子里各随机取出一个小球，则取出的两个小球上的数字互为倒数的概率为
．
2
【答案】
9【解析】【解答】解：由题意可得，所有的可能性为：
2
（﹣1， ）、（﹣1，1）、（﹣1，2）、
3
2
（0.5， ）、（0.5，1）、（0.5，2）、
3
1 2 1 1
（1 ， ）、（1 ，1）、（1 ，2），
2 3 2 2
2
故取出的两个小球上的数字互为倒数的概率为： ，
9
2
故答案为： ．
9
【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到取出的两个小球上的数字互为倒数的概率．
10．在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从
口袋内取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数
字后作为点P的纵坐标y，则点P（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率是 ．
1
【答案】
4
【解析】【解答】解：列表得：
1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
∵共有16种等可能的结果，数字x、y满足y=﹣x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，
1），
1
∴数字x、y满足y=﹣x+5的概率为： ．
4
1
故答案为： ．
4
【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=﹣x+5的情
况，再利用概率公式求解即可求得答案．
2
11．从实数 ,π,sin60∘ 中，任取两个数，正好都是无理数的概率为 ．
31
【答案】
3
【解析】【解答】画树状图为：
则共有6种等可能的结果，
其中两次选到的数都是无理数有( π,sin60∘ )和( sin60∘,π )2种，
2 1
所以两次选到的数都是无理数的概率 = = ．
6 3
1
故答案为： ．
3
【分析】画树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次选到的数都是无理数的结果数，然后根据概
率公式求解．
三、解答题
12．如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上数字1、2、3、4
四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上数字1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲乙两人
设计了一个游戏，其规则如下：
同时转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转
一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲得1
分；如果所得的积是奇数，那么乙得1分．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，
请你修改规则使该游戏对双方公平．
【答案】解：列表如下，
1 2 3 4 5 6
1 奇 偶 奇 偶 奇 偶2 偶 偶 偶 偶 偶 偶
3 奇 偶 奇 偶 奇 偶
4 偶 偶 偶 偶 偶 偶
从表中可以看出所得的积共有4×6＝24种情况，
乘积是奇数的结果共有2×3＝6种情况，
3 1
所以甲获胜的概率是 ，乙获胜的概率是 ．
4 4
所以这个游戏规则不公平．
游戏规则可以改为：当两数的和是奇数时甲获胜，当两数和是偶数时乙获胜．
【解析】【分析】利用列表法结合概率公式求解即可。
13．不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球
不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率．
【答案】解：如图所示：
，
2 1
所有的可能有12种，符合题意的有2种，故两次均摸到红球的概率为： = ．
12 6
【解析】【分析】此题主要考查了树状图法求概率，利用树状图得出所有符合题意的情况，再得用概
率公式计算求值即可．
14．某中学需在短跑、跳远、乒乓球、跳高四类体育项目中各选一名同学参加中学生运动会，根据平
时成绩，把各项目进入复选的人员情况绘制成不完整的统计图、表如下：
复选人员统计表：
项目/人数/性别 男 女
短跑 1 2
跳远 a 6
乒乓球 2 1
跳高 3 b（1）a= ,b= ；
（2）求扇形统计图中跳远项目对应圆心角的度数；
（3）用列表法或画树状图法，在短跑和乒乓球项目中选出的两位同学都为男生的概率。
【答案】（1）a=4；b=6
（2）解：360×（1-36%一12%-12%）=144°
（3）解：根据题意画出树状图如下：
2
一共有9种情况，恰好是两位男生的情况有2种，P(两位男生）= 。
9
【解析】【解答】解：（1）由图可知：
短跑人数为：3人，所占百分比为：12%，
∴总人数为：3÷12%=25（人），
∴跳高人数为：25×36%=9（人），
∴b=9-3=6（人），
∴跳远人数为：25×（1-36%-12%-12%）=10（人），
∴a=10-6=4（人），
故答案为：4，6.
【分析】（1）由图可知：短跑人数为：3人，所占百分比为：12%，根据总数=频数÷频率可求得总人
数为25人，再根据频数=总数×频率可得跳高、跳远人数，从而求得a、b值.
（2）根据图中可得跳远的百分比，再用360°乘以此百分比即可求得答案.
（3）根据题意画出树状图，从图中可知所有等可能的情况数，再找出符合条件得情况数，根据概率
公式 即可求得答案.
