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22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y
轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应 注意：用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的
在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计 图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．画
算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图 草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶
象越准确. 点，与x轴的交点，与 y 轴的交点.
题型1：利用描点法作函数图像
1.在直角坐标系中，画出函数y＝2x2的图象（取值、描点、连线、画图）．
【分析】根据列表、描点、连线，作出图象即可．
【解答】解：列表：
描点：如图，描出点：（﹣2，8），（﹣1，2），（0，0），（1，2），（2，8），
连线：如图所示，【点评】本题考查画函数图像，一般步骤：列表：①表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；②
描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各
点；③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来，正确求出各点坐
标是解答本题的关键．
【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x2，y＝ x2，y＝﹣2x2与y＝﹣ x2的图
象．
【分析】根据描点法，可得函数图象．
【解答】解：列表如下：
x ﹣2 0 2
y＝2x2 8 0 8
2 0 2
y＝ x2
y＝﹣2x2 ﹣8 0 ﹣8
﹣2 0 ﹣2
y＝﹣ x2
描点：见表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出，
连线：用平滑的线连接，如图所示：【点评】本题考查了二次函数图象，描点法是画函数图象的基本方法，注意要用平滑的线连接．
【变式1-2】画出下列函数的图象：
（1）y＝3x2；
（2）y＝﹣ x2．
【分析】建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图象即可．
【解答】解：（1）列表：
x ﹣2﹣1 0 1 2
y 12 3 0 3 12
描点、连线可得函数y＝3x2的图象如图所示，
（2）列表：
x ﹣ 0 3
3
y 3 0 3
描点、连线可得函数y＝﹣ x2的图象如图所示，【点评】本题考查了二次函数的图象的作法，五点法作图是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）
函数 值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随 当x=0时，
x增大而增大； y =0
最小
x<0时，y随
x增大而减小.
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随 当x=0时，
x增大而减小； y =0
最大
x<0时，y随
x增大而增大.
注意：
a
顶点决定抛物线的位置；几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口
大小完全相同，只是顶点的位置不同； │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同；│a│越大，开口越小，
图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.
题型2：二次函数y=ax2的图像
2.在同一坐标系中画出y ＝2x2，y ＝﹣2x2，y ＝ x2的图象，正确的是（ ）
1 2 3
A． B．C． D．
【分析】根据二次函数开口大小和方向与a的关系，易分析得出答案．
【解答】解：当x＝1时，y 、y 、y 的图象上的对应点分别是（1，2），（1，﹣2），（1， ），
1 2 3
可知，其中有两点在第一象限，一点在第四象限，排除B、C；
在第一象限内，y 的对应点（1，2）在上，y 的对应点（1， ）在下，排除A．
1 3
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数 a的关系，二次函数y＝ax2的系数a为正数时，抛物线开口向
上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．
【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝x2的图象的特点即可得到结论．
【解答】解：二次函数y＝x2的图象是开口向上，顶点在原点的一条抛物线，
故A符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练正确二次函数的图象的特点是解题的关键．
【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝ ；③y＝x2的图象，则从
里到外的三条抛物线对应的函数依次是（ ）
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②①【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．
【解答】解：①y＝3x2，
②y＝ x2，
③y＝x2中，二次项系数a分别为3、 、1，
∵3＞1＞ ，
∴抛物线②y＝ x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象，抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越
小，抛物线的开口越宽．
题型3：二次函数y=ax2的性质
3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（ ）
A．（0，0） B．（0，﹣3） C．（﹣3，0） D．（﹣3，﹣3）
【分析】由抛物线解析式可得顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣3x2，
∴抛物线顶点坐标为（0，0），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
【变式3-1】抛物线 ，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；
③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标逐一判断得出答案即可．
【解答】解：抛物线y＝ x2，y＝x2的开口向上，y＝﹣x2的开口向下，故①不是共同性质；
抛物线y＝ x2，y＝x2，y＝﹣x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，故②③是共同性质；
∴共同性质有：②③，共2个，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图形与性质；熟记抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标是解决问题的关
键．
【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．y随x的增大而减小
D．y随x的增大而增大【分析】直接根据二次函数的性质求解．
【解答】解：∵抛物线y＝4x2，
∴开口向上，对称轴为y轴，
∴x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数 y＝ax2图象具有如下性质：当 a＞0时，抛物线y＝ax2
（a≠0）的开口向上，x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大；当a＜0时，抛物线y
＝ax2（a≠0）的开口向下，x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小．
【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【分析】根据二次函数y＝﹣3x2的图象和性质即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣3x2中，a＝﹣3＜0，
∴图象开口向下，对称轴为y轴，顶点是原点，
∴二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过第三、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的象征，能够确定二次函数图象的具体位置是解题的关键．
题型4：函数图像位置的识别
4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断 a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正
误．
【解答】解：∵a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，
∴一次函数图象与y轴交于负半轴，
A、一次函数图象经过第一、三象限，则a＞0，则二次函数是y＝ax2的图象开口方向向上．故A错误；
B、一次函数图象与y轴交于正半轴，故B错误；
C、一次函数图象经过第二、四象限，则a＜0，则二次函数是y＝ax2的图象开口方向向下．故C正确；
D、一次函数图象与y轴交于正半轴，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数的图象．应该熟记一次函数 y＝kx+b（k≠0）在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等
【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中
的图象大致位置是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据二次函数的增减性确定出a＞0，然后判断出二次函数的开口方向，再根据一次函数的
性质确定出一次函数图象经过的象限与y轴的交点，然后判断即可．
【解答】解：∵函数y＝ax2在第一象限内y随x的减小而减小，
∴a＞0，
∴y＝ax2的图象经过原点且开口方向向上，y＝ax+a经过第一三象限，且与y轴的正半轴相交．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，是基础题，根据二次函数的增减性确定出 a是正
数是解题的关键．
【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据每一个选项中函数的图象，分别判断两个函数式a的符号是否相符，作出判断．
【解答】解：根据图象判断两函数式中，a的符号是否相符；
A、由函数y＝﹣ax2的图象知a＜0，由函数y＝ax+b的图象知a＞0，不相符；
B、由函数y＝﹣ax2的图象知a＞0，由函数y＝ax+b的图象知a＜0，不相符；
C、由函数y＝﹣ax2的图象知a＞0，由函数y＝ax+b的图象知a＜0，不相符；
D、由函数y＝﹣ax2的图象知a＜0，由函数y＝ax+b的图象知a＜0，相符．
故选：D．
【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
题型5：函数值的大小比较5.二次函数y ＝﹣3x2，y ＝﹣x2，y ＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 3
【分析】抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值大小确定，绝对值越大，开口越小．
【解答】解：∵|5|＞|﹣3|＞|﹣1|，二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小，
∴y ＜y ＜y ，
3 1 2
故选：A．
【点评】考查二次项系数的绝对值越大，函数值随x值的增大变化越大，抛物线开口越小．
【变式5-1】函数y＝﹣6x2，当x ＞x ＞0，则y 与y 的大小关系为y y ．
1 2 1 2 1 2
【分析】由于函数y＝﹣6x2的开口向下，对称轴是y轴，而在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对
称轴的右侧y随x的增大而减小．由此即可确定y 与y 的大小关系．
1 2
【解答】解：∵y＝﹣6x2，
∴开口向下，对称轴是y轴，
∴在y轴的左侧y随x的增大而增大，在y轴的右侧y随x的增大而减小，
当x ＞x ＞0时，两个点都在对称轴的右侧，因而自变量的值越大，对应的函数值越小，
1 2
∴y 与y 的大小关系为y ＜y ．
1 2 1 2
故填空答案：y ＜y ．
1 2
【点评】本题考查的是二次函数的增减性．
1
【变式5-2】函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b， 4 )，则a-b_______0(填“＞”、
“＜”或“＝”号)．
【答案】＜.
1
B b,
【解析】解法一：将A(a，15)， 4 分别代入y＝x2中得： 15a2 ，
1
b2
a 15 4
∴ ； ，
1
b
a 15 2
又A、B在抛物线对称轴左侧，∴ a＜0，b＜0，即 ， ，
1
ab 15 0
2
∴
解法二：画函数y＝x2的草图(如图所示)，可知在y轴左侧(x＜0)时，y随x的增大而减小，
1
15
又∵ 4，a＜b，即a-b＜0．
【点评】利用草图和函数的增减性比较函数值的大小或自变量的大小显得更简单、直观，充分运用了数形
结合的思想．题型6：简单综合-三角形面积
6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．
【分析】解方程组 ，可求出直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标为（﹣1，1），（4，
16）．设A（﹣1，1），B（4，16），运用待定系数法求出直线AB的解析式为y＝3x+4，令x＝0，求
出y的值，得到直线AB与y轴的交点C的坐标，再根据S△AOB ＝S△AOC +S△COB ，即可求出两交点与原点
所围成的三角形面积．
【解答】解：由 ，解得 ， ，
所以直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标为（﹣1，1），（4，16）．
设A（﹣1，1），B（4，16），直线AB的解析式为y＝kx+b，
则 ，解得 ，
即直线AB的解析式为y＝3x+4，
当x＝0时，y＝4，
所以直线AB与y轴的交点C（0，4），
所以S△AOB ＝S△AOC +S△COB ＝ ×4×1+ ×4×4＝2+8＝10，
即两交点与原点所围成的三角形面积为10．
【点评】本题考查了二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．
正确求出两交点坐标是解题的关键．
【变式6-1】已知函数y＝ax2（a≠0）的图象与y＝2x﹣3的图象交于点（1，b）
（1）试求a和b的值；
（2）求函数y＝ax2的解析式，并求其图象的顶点坐标和对称轴；
（3）x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x值的增大而增大？
（4）求抛物线与过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线的两个交点与顶点构成的三角形的面积．
【分析】（1）根据自变量，可得相应的函数值，根据待定系数法，可得a的值；
（2）根据函数解析式，可得顶点坐标，对称轴；
（3）根据a＜0，对称轴的左侧，y随x的增大而增大；对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
（4）根据联立，可得交点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案．
【解答】解：（1）由y＝2x﹣3的图象过点（1，b），得
b＝2﹣3＝﹣1，将（1，﹣1）代入数y＝ax2，得
a＝﹣1；
（2）y＝﹣x2顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴；
（3）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；
（4）如图：
，
联立y＝﹣2，y＝﹣x2，
解得x＝ ，
B（﹣ ，0），A（ ，0），
S△OAB ＝ AB•OC＝ ×2×2 ＝2 ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，熟记二次函数
的性质是解题关键．
【变式6-2】已知抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝﹣2x+3交于点（﹣1，b）．
求：（1）a，b的值；
（2）抛物线与y＝x+6的两交点及顶点所构成的三角形的面积．
【分析】（1）把交点坐标代入直线解析式可求得b，再把交点坐标代入抛物线解析式可求得a；
（2）联立抛物线与直线y＝x+6，可求得抛物线与直线的两交点坐标，不妨设为A、B，设直线与y轴交
于点C，由S△AOB ＝S△ACO +S△BOC 可求得答案．
【解答】解：
（1）把点（﹣1，b）代入直线解析式可得
b＝2+3＝5，
∴交点坐标为（﹣1，5），
把交点坐标代入抛物线解析式可得5＝a，解得a＝5，
∴a的值为5，b的值为5；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y＝5x2，
设直线y＝x+6与抛物线的交点为A、B，与y轴交于点C，联立直线与抛物线解析式可得 ，解得 或 ，
∴A（﹣1，5），B（ ， ），
在y＝x+6中，令x＝0可得y＝6，
∴C（0，6），
∴S△AOB ＝S△ACO +S△BOC ＝ ×6×1+ ×6× ＝ ．
【点评】本题主要考查函数图象的交点问题，掌握函数图象的交点坐标满足函数解析式是解题的关键．
一、单选题
1．抛物线y=-2x2的对称轴是（ ）
1 1
A．直线x= B．直线x=- C．直线x=0 D．直线y=0
2 2
【答案】C
【解析】【解答】解：对称轴为y轴，
即直线x=0.
故答案为：C.
【分析】抛物线的对称轴直线公式可知，当一次项的系数b=0的时候，其对称轴直线是y轴，即直线
x=0.
2．已知A（1，y）、B（﹣2，y）、C（﹣ √2 ，y）在函数y＝x2的图象上，则y、y、y 的大小
1 2 3 1 2 3
关系是（ ）
A．y ＜ y ＜ y B．y ＜ y ＜ y
1 3 2 1 2 3
C．y ＜ y ＜ y D．y ＜ y ＜ y
2 1 3 2 3 1
【答案】A
【解析】【解答】解：∵函数y＝x2，1>0，
∴对称轴是y轴，开口向上，
∴横坐标离y轴越远，函数值越大，
∵|1|＜| √2 |＜|﹣2|
∴y ＜ y ＜ y
1 3 2
故答案为：A.【分析】先判断函数的对称轴及开口方向，然后根据开口向上时，横坐标离对称轴越远，函数值越大，
据此可解.
3．抛物线 y=x2 的顶点坐标是 ()
A．(0,0) B．(1,0) C．(0,1) D．(2,1)
【答案】A
【解析】【解答】解：二次函数 y=x2 的图象的顶点坐标为 (0,0) .
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的性质即可得到答案.
1 1
4．满足函数y＝ x﹣1与y＝﹣
x2
的图象为（ ）
2 2
A． B．
C． D．
【答案】C
1
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝ x﹣1中，a＞0，b＜0，
2
∴图象经过一、三、四象限，
1
∵二次函数y＝﹣ x2 中，a＜0，
2
∴抛物线开口方向向下，
符合以上条件的图象为C．
故答案为：C．
【分析】利用一次函数k>0及过y轴（0，-1）两个条件可得一次函数大致图像；二次函数k<0,顶点在
原点也可得大致图像，两者结合得出答案。
5．下列说法中错误的是( )
A．在函数y＝－x2中，当x＝0时y有最大值0
B．在函数y＝2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大1
C．抛物线y＝2x2，y＝－x2， y=− x2 中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口最
2
大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点
【答案】C
【解析】【解答】A由函数的解析式y＝－x2，可知a=-1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y=0，
故A不符合题意；
B由函数的解析式y＝2x2，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边（x＜0），y随x增大而减小，对称
轴的右边（x＞0），y随x增大而增大，故B不符合题意；
C根据二次函数的性质，可知系数a决定开口方向和开口大小，且a的值越大开口越小，可知抛物线y
1
＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口第二小，而 =− x2 开口最大，C符合题意；
2
D不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用二次函数y=ax2的性质对各选项逐一判断即可解答。
6．已知抛物线 y=(m−1)x2 的开口向下，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m>1 C．m<1 D．m≤1
【答案】C
【解析】【解答】因为抛物线y=（m-1）x2的图象开口向下，
所以m-1＜0，即m＜1．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数m-1＜0．
1
7．抛物线y= x2，y=4x2，y=－2x2的图像中，开口最大的是（ ）
4
1
A．y= x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定
4
【答案】A
1
【解析】【解答】解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1， ）（1，4），（1，-2），
4
1
因为| |＜|-2|＜|4|，
41
所以抛物线y= x2开口最大．
4
故答案为：A．
【分析】比较三个函数的a的值的大小，a的绝对值越大，开口越小；a的绝对值越小，开口越大。可
得出答案。
二、填空题
8．若在抛物线 y=mxm2−1 对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则m= ．
【答案】−√3
【解析】【解答】解：∵二次函数 y=mxm2−1 在其图象对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∴m＜0，且m2-1=2，
解得m= −√3 ，
故答案为： −√3 .
【分析】利用二次函数的性质列出方程求解即可．
9．二次函数 y=x2 的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）.
【答案】向上
【解析】【解答】解：∵二次函数 y=x2 ，a=1＞0，
∴二次函数 y=x2 的图象开口方向向上，
故答案是：向上.
【分析】二次函数 y=x2 ，由于a=1＞0，可得抛物线开口向上.
10．若抛物线 y=(m−1)xm2−m 开口向下，则 m= .
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵m2−m=2 ，且m−1<0， 解得 m=−1 .
故答案为：-1.
【分析】根据二次函数开口向下的条件即可求解.
11．已知二次函数 y=(m−2)x2 的图象开口向下，则m的取值范围是 ．
【答案】m＜2
【解析】【解答】解： ∵二次函数 y=(m−2)x2 的图象开口向下，
∴m-2<0，解得：m<2.故答案为：m<2
【分析】由二次函数 y = ( m − 2 ) x 2 的图象开口向下，可得出m-2<0，解不等式即可。
12．已知二次函数y =mx2和y =nx2，对任意给定一个x值都有y ≥y ，关于m，n的关系正确的是
甲 乙 甲 乙
(填序号).①m0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>0
【答案】②④
【解析】【解答】∵x2一定不小于0，则由条件“对应任意给定的x的值，都有y ≥ y ”可知：存在
甲 乙
以下3种情况：
（ 1 ）若y 和y 都为正数，则m＞0，n＞0且m＞n，即m>n>0；
甲 乙
（ 2 ）若y 为正数，y 为负数，则m＞0，n＜0；
甲 乙
（ 3 ）若都为负数时，则n＜m＜0；
∴关于m，n的关系正确的是② 、④
【分析】根据偶次方的非负性得出x2一定不小于0，又对任意给定一个x值都有y ≥y 故有①y
甲 乙， 甲
和y 都为正数，②若y 为正数，y 为负数，③若y 为负数，y 为负数，三种情况，从而得出答案。
乙 甲 乙 甲 乙
13．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：
（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
【答案】（1）解：
把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，
把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1
（2）解：∵在y=-x2中，a=-1<0，∴抛物线开口向下；
抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）
（3）解：作函数y=ax2的草图如下：【解析】【分析】（1）将点（1，b）代入直线y=2x-3即可求出b的值，从而得出其交点坐标，再将
交点坐标代入函数y=ax2（a≠0），即可求出a的值；
（2）根据（1）求出的抛物线的解析式，可知a=-1<0，b=0，c=0，从而得出抛物线开口向下，对称轴
为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（3）利用描点法，围绕抛物线的顶点坐标对称的取值，再在坐标平面内描点，并用平滑的线按自变
量从小到大顺次连接即可得出抛物线的图像。
1 1
14．在同一个直角坐标系中作出y＝ x2，y＝ x2－1的图象．
2 2
（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
1 1
（2）抛物线y＝ x2－1与抛物线y＝ x2有什么关系？
2 2
1
【答案】（1）解：抛物线y＝ x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；
2
1
抛物线y＝ x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)
2
1 1
（2）解：抛物线y＝ x2－1可由抛物线y＝ x2向下平移1个单位长度得到
2 2
【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式分别找到a，b，c的值，根据抛物线的图像与系数的关系
即可得出开口方向，对称轴，及顶点坐标；
（2）根据两抛物线顶点坐标即可找到平移规律。
15．已知
y=(k−1)xk2+k−4
是二次函数，
（1）若其图象开口向下，求k的值；
（2）若当 x<0 时，y随x的增大而减小，求函数关系式.【答案】（1）∵y=(k−1)xk2+k−4
是二次函数，
∴k2+k−4=2 ，整理得 k2+k−6=0 ， (k+3)(k−2)=0 ，解得 k =−3 ， k =2 ，
1 2
∵函数图象开口向下，
∴k−1<0 ，即 k<1 ，
∴k=−3 ；
（2）∵当 x<0 时，y随着x的增大而减小，
∴图象开口向上，
∴k>1 ，则 k=2 ，
将 k=2 代入原式，得到 y=(2−1)x22+2−4 ，即 y=x2 .
【解析】【分析】（1）根据题意， k2+k−4=2 ，解出k的值，再根据函数图象开口向下，得到
k<1 ，取在范围内的值；（2）根据二次函数的图象和性质得到图象开口向上，把 k=2 代入原函数
求解.
