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22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
考点一．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
函数 y=ax2+bx+c（a>0） y=ax2+bx+c（a<0）
开口方向 向上 向下
顶点坐标
（ ，__ （ ， ）
________）
对称轴
x= x=___ _______
x> 时，y 随 x 的增大而增 x> 时，y 随 x 的增大而减
增减性 大； 小；
x< 时，y随x的增大而减小 x< 时，y随x的增大而增大
最大（小）值
当x= 时，y = 当x= 时，y =
最小值 最大值
考点二．二次函数的平移问题
解析式 y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0）
分情况讨论 m>0，n>0 m>0，n<0 m<0，n>0 m<0，n<0
由 y=ax2向左平移| 由 y=ax2向左平移| 由 y=ax2向右平移| 由 y=ax2向右平移|
m|个单位，向上平 m|个单位，向下平 m|个单位，向上平 m|个单位，向下平
变换过程
移|n|个单位 移|n|个单位 移|n|个单位 移|n|个单位题型一：待定系数法求二次函数解析式
1．（2022·全国·九年级单元测试）已知抛物线 的顶点 ，与 轴的交点为 ，求抛物线
的表达式．
2．（2022·湖北武汉·九年级期中）已知抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，且函数有最小值－4．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若0＜x＜4，求函数值y的取值范围．
3．（2022·江苏·九年级）根据下列已知条件，求二次函数的解析式．
(1)已知二次函数的顶点在原点，且过另一点(2，－4)，则二次函数的解析式为 ；
(2)已知二次函数的顶点在y轴上，且纵坐标为2，过另一点(1，4)，则二次函数的解析式为 ；
(3)已知二次函数的顶点在x轴上，且横坐标为2，过另一点(1，－4)，则二次函数的解析式为 ；
(4)已知二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，则二次函数的解析式为 ；
(5)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为 ；
(6)已知二次函数图象经过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，与y轴正半轴交于点C，且OC＝2，则二次函数的解析
式为 ；
(7)将抛物线y＝4x2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为
．
题型二：二次函数的平移问题
4．（2022·新疆·乌鲁木齐市第七十四中学九年级期末）在同一平面直角坐标系内，将函数 的图象向右平移
2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的图象的顶点坐标是( )
A．(2，－4) B．(4，－2) C．(2，－1) D．(－2，－1)5．（2022·浙江温州·九年级期中）二次函数 的图象向右平移4个单位，再向上平移3个单位，得
到一个新的二次函数是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·甘肃·张掖市第一中学九年级期末）把抛物线有 的图象向左平移2个单位，再向上平移
3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：根据二次函数的图像判断系数符号
7．（2022·广东番禺中学三模）如图，函数 经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①
；②abc＞0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点 ，则 ．其中结
论的正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022·全国·九年级）二次函数y＝ax ＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②a﹣b＋c＞0；
③m为任意实数，则a＋b＞am ＋bm；④3a＋c＜0；⑤若a ＋b ＝a ＋bx 且 ≠ ，则 ＋ ＝2，其
中正确结论的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022·河北·平山县教育局教研室九年级期末）已知二次函数 的图象如图所示，并且关于x
的一元二次方程 有两个不相等的实数根，下列结论：① ；② ；③ ；
④ ．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型四：一次函数、二次函数的图像综合问题
10．（2022·全国·九年级课时练习）已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数 的图
象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）A． B． C． D．
11．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数 与一次函数y＝2ax＋b在同一平面直角坐标系中的图
象可能是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·广东佛山·二模）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax与二次函数y＝ax2+a的图象可能是（
）.
A． B． C． D．
题型五：根据二次函数的对称性求函数值
13．（2022·全国·九年级）已知抛物线 （ ）经过 ， ， 三点，若
，且 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）A． B． C． D．
14．（2022·四川南充·三模）在直角坐标系 中，点 在二次函数 的图象上，对于
，当 ， ， 时，依次对应的函数值 ， ， 中最大的是（ ）
A． B． C． D． 或 （ ）
15．（2022·福建三明·模拟预测）已知A（ ， ），B（ ， ）是抛物线 上的两点，下列命
题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，且 ，则
D．若 ，且 ，则
题型六：利用二次函数的对称性求最短路径
16．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在抛物线 上有 ， 两点，其横坐标分别为1，2；在 轴上有
一动点 ，当 最小时，则点 的坐标是（ ）
A．（0.0） B．（0， ） C．（0，2） D．（0， ）
17．（2021·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学九年级阶段练习）已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意
一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线 上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
18．（2022·全国·九年级课时练习）如图，直线y x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与
y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（ ）
A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6
题型七：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质综合问题
19．（2022·湖北武汉·九年级阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点 和点 在抛物线
上．
(1)若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
(2)已知点 在该抛物线上．若mn＜0，比较 的大小，并说明理由．
20．（2022·全国·九年级单元测试）如图，抛物线 交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴
是直线x＝2．(1)求抛物线的解析式；
(2)若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
21．（2022·陕西省西安高新逸翠园学校模拟预测）如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝ ，其图象
与直线y＝ x＋2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于
点E，交CD于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P的横坐标为x，当x 为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
0 0
一、单选题
22．（2022·湖北武汉·九年级阶段练习）某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …y … ﹣1 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）A．﹣1 B．﹣3 C．0
D．﹣4
23．（2022·福建省长汀县第二中学九年级阶段练习）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数
的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·广东番禺中学三模）已知A（﹣3，y），B（﹣ ，y），C（1，y）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图
1 2 3
像上的三点，则y、y、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 2 1 3
25．（2022·湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学九年级阶段练习）已知函数 （b，c为常数）的图象经过
点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
(1)求b，c的值．
(2)当﹣4≤x≤0时，求y的取值范围．
26．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数y＝﹣ （x＋4）2，将此函数的图像向右平移3个单位长度，再
向上平移2个单位长度．(1)请写出平移后图像所对应的函数解析式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出平移后的图像；
(3)根据所画的函数图像，写出当y＜0时x的取值范围．
一：选择题
27．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）已知，二次函数 图象如图所示，则下列结论正
确的有（ ）
①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④a+b≥m（am+b）（其中，m为任意实数）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．（2022·全国·九年级专题练习）已知函数y＝a ﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
C．当a＝1时，函数图像过点（﹣1，1） D．当a＝﹣2时，函数图像与x轴没有交点
29．（2022·甘肃·张掖育才中学九年级期末）将抛物线 的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，
得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B．C． D．
30．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数 的图象如图所示，有以下4个结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
31．（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数 的图象，其对称轴为直线 ，且过点 ．
有以下四个结论：① ，② ，③ ，④若顶点坐标为 ，当 时，y有最大值为
2、最小值为 ，此时m的取值范围是 ．其中正确结论的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
32．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示是二次函数 的图象，以下结论：① ；②
；③ 的两个根是 ， ；④ ，其中正确的是（ ）
A．③④ B．①② C．②③ D．②③④
33．（2022·河北廊坊·九年级期末）如图，抛物线的对称轴为 ．若这条抛物线经过 ，两点，则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
34．（2022·全国·九年级）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中错误的是（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2
C．当 时，y的值随x值的增大而增大，当 时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可由 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
35．（2022·全国·九年级专题练习）二次函数 （a，b，c是常数， ）的自变量x与函数值y的部
分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
… t m n …
且当 时，其对应的函数值 ．有下列结论：
① ；② 和3是关于x的方程 的两个根；③对称轴为 ；④ ；其中，正确
结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
36．（2022·全国·九年级课时练习）如图，二次函数 的图象关于直线 对称，与x轴交于 ，两点，若 ，则下列四个结论：① ，② ，③ ，④ ．
正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
37．（2022·全国·九年级单元测试）已知二次函数 ，当 时，y的值随x值的增大而增大，则实数
m的取值范围是______．
38．（2022·安徽淮南·九年级阶段练习）设抛物线 ，其中a为实数．
（1）不论a为何值，该抛物线必经过一定点 _____；
（2）将抛物线 向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 _____．
39．（2022·湖北武汉·九年级期中）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－2，0)，且对称轴为直线x＝1，其部分图象如
图所示． 对于此抛物线有如下四个结论：
①b＝－2a；
②4a＋2b＋c＞0；
③若n＞m＞0，则x＝1＋m时的函数值小于x＝1－n时的函数值；
④点(－ ，0)一定在此抛物线上．
其中正确的结论是___________．
40．（2022·湖北襄阳·中考真题）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观
止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝ x2+ x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离
为_____m时，竖直高度达到最大值．
41．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 两点，与 轴交于点 ，
点为抛物线上第三象限内一动点，当 时，点 的坐标为______．
三、解答题
42．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线 的顶点为 ，与 轴交于点 .
(1)求 的值；
(2)若将该抛物线向右平移 个单位，求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标.
43．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，
2）．若抛物线 （h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，A、B也关于抛物线对称轴对称，且CD＝ AB，求抛物线的解析式．
44．（2022·浙江温州·九年级期中）如图，抛物线 （a，b是常数）经过点 ， ，交y
轴于点C，过点C作x轴的平行线CD，交抛物线于另一点D．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)连结BC交该拋物线对称轴于点P，连结PD，求 PCD的面积．
△
45．（2022·湖北武汉·九年级期中）如图，抛物线y＝ax2＋3ax＋4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y
轴交于点C，且S ABC＝10，点P为第二象限内抛物线上的一点，连接BP．
△(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，若∠BPD＝2∠BCO，求 的值；
(3)如图2，设BP与AC的交点为Q，连接PC，是否存在点P，使S PCQ＝S BCQ？若存在，求出点P的坐标；若
△ △
不存在，请说明理由．1．
【分析】根据抛物线的顶点 ，得出 ，将 带入 ，即可得出抛物线的表达式．
【详解】解：∵抛物线的顶点 ，
∴ ，
∵与 轴的交点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的表达式为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是本题的关键．
2．(1) （或 ）
(2)
【分析】（1）利用二次函数的对称性可由抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，得到抛物线的对称轴为直线 ，则
抛物线的顶点坐标为 ，于是可设顶点式 ，然后把 代入求出a的值即可；
（2）求得 和 的函数值，即可求得结论．
（1）
∵抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵函数有最小值-4，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，∴抛物线的解析式为 （或 ）．
（2）
∵ ，
∴抛物线开口向上，函数有最小值为 ，
当 时， ，
∴当 时，函数值y的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，求得顶
点坐标是解题的关键．
3．(1)y＝
(2)y＝
(3)y＝
(4)y＝
(5)y＝
(6)y＝
(7)
【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝ ，把点(2，－4)代入求得a的值，即可得到答案；
（2）设二次函数的解析式为y＝ ，把点(1，4)代入求得a的值，即可得到答案；
（3）设二次函数的解析式为y＝ ，把点(1，－4)代入求得a的值，即可得到答案；
（4）设二次函数的解析式为y＝ ，把点(0，3)代入求得a的值，即可得到答案；
（5）设二次函数的解析式为y＝ ，把点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)代入得到方程组，解方程组即可
得到答案；
（6）先求出点C的坐标为（0，2），设二次函数的解析式为y＝ ，根据已知的条件得到方程组，解方程组即可得到答案；
（7）根据函数图象平移的规律即可得到答案．
（1）
解：设二次函数的解析式为y＝ ，
把点(2，－4)代入得，﹣4＝4a，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝ ；
故答案为：y＝
（2）
解：设二次函数的解析式为y＝ ，
把点(1，4)代入得，4＝a＋2，
解得a＝2，
∴二次函数的解析式为y＝ ；
故答案为：y＝
（3）
解：设二次函数的解析式为y＝ ，
把点(1，－4)代入得，﹣4＝ ，
解得a＝﹣4，
∴二次函数的解析式为y＝ ,
即y＝ ；
故答案为：y＝
（4）
解：∵二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，
∴可设二次函数的解析式为y＝ ，
把点(0，3)代入得，3＝ ，
解得a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝ ，
即y＝ ；
故答案为：y＝
（5）
解：设二次函数的解析式为y＝ ，
把点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)代入得，
，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y＝ ；
故答案为：y＝
（6）
解：∵与y轴正半轴交于点C，且OC＝2，
∴点C的坐标为（0，2），
设二次函数的解析式为y＝ ，
则 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为y＝ ；
故答案为：y＝（7）
解：将抛物线y＝4x2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 ，
即抛物线的解析式为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，利用函数图象平移的规律求二次函数的解析式，根据条件
设出合适的函数解析式是解题的关键．
4．C
【分析】利用二次函数的性质，先确定抛物线 的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到顶点平移
后对应点的坐标，从而得到平移后抛物线的顶点坐标．
【详解】解：函数 的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位是点
（2，−1），
即平移后抛物线的顶点坐标是（2，−1）．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物
线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是
只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．D
【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．
【详解】解：将二次函数 的图象向右平移4个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线相应的函
数表达式为： ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．C
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐
标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：∵抛物线 的顶点坐标为（1，3），
∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是∴所得抛物线解析式是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．
7．D
【分析】①根据图象与x轴有两个交点，Δ＞0即可判断；
②根据图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断；
③根据图象可得对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（3，0），则另一个交点为（-1，0），再根据抛物线增
减性即可判断；
④根据图象抛物线与x轴的一个交点为（3，0），可得9a+3b+c=0，对称轴为x=1，可得b=-2a,将2b=-4a代入
9a+3b+c=0，即可判断；
⑤根据图象可得a＞0，即可得出1＜a+1＜a+2，再结合对称轴为直线x=1，运用二次函数增减性即可判断．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴①正确；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b与a异号，即b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∴②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴当x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，
∴③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵抛物线对称轴为x＝1，
∴﹣ ＝1，∴b＝﹣2a，
∴9a＋3b＋c=9a＋2b＋b＋c=9a－4a＋b＋c=5a+b+c＝0，
∴④正确；
⑤∵a＞0，
∴1＜a+1＜a+2，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，
∴ ，
∴ ，
∴⑤正确；
综上所述，①②④⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本
题的关键是综合运用二次函数的相关知识．
8．B
【分析】根据二次函数的图像和性质注意判断即可．
【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
能得到：a＜0，c＞0， ＞0，b＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在(3，0)左边
∴二次函数与x轴的另一个交点在(﹣1，0)与(0，0)之间，
∴a﹣b+c＜0，
∴②错误；
③∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下，
∴x＝1时，函数最大值是a+b+c；
∴m为任意实数，则a+b+c≥am +bm+c，即：a+b≥am2+bm
∴③错误；
④∵ ＝1，
∴b＝﹣2a
由②得a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，
∴④正确；⑤∵a +b ＝a +b ，
∴a +b ﹣a ﹣b ＝0，
∴a( + )( ﹣ )+b( ﹣ )＝0，
∴( ﹣ )[a( + )+b]＝0，
∵ ≠ ，
∴a( + )+b＝0，
∵ + ＝﹣ ，b＝﹣2a，
∴ + ＝2，
∴⑤正确；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决本题的关键是掌握二次函数的图像和性质．
9．B
【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答
案．
【详解】解：观察图象得：二次函数 的图象与x轴有两个交点，
∴ ，故①错误；
观察图象得： ，对称轴 ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
观察图象得：当 时， ，
∴ ，故③错误；
观察图象得：二次函数图象开口向上，
∴二次函数有最小值，最小值为-2，
∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴二次函数 的图象与直线 有两个交点，
∴ ，故④正确；
故选：B【点睛】此题主要考查了二次函数图象与各项系数的关系，正确把握二次函数与方程之间的关系是解题的关键．
10．B
【分析】题干中二次函数 的图象开口向下，可以判断出a的符号为负，一次函数 的图象与x轴正
方向夹角小于90°，且与y轴交点在y轴的正半轴，可以据此判断出b、c的符号皆为正，再去判断各选项哪个符合
二次函数 的图象．
【详解】∵二次函数 的图象开口向下，
∴a<0，
又∵一次函数 的图象与x轴正方向夹角小于90°，且与y轴交点在y轴的正半轴，
∴b>0，c>0，
则 >0，
可知二次函数 开口方向向下，对称轴在y轴右侧，且与y轴交点在y的正半轴，选项B图象符合，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，题目比较简单，解决题目需要熟练掌握图象与系数
的关系．
11．D
【分析】根据题意可得由抛物线的对称轴为直线 ；一次函数y＝2ax＋b的图象与x轴交于点
，再逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：抛物线的对称轴为直线 ；一次函数y＝2ax＋b的图象与x轴交于点
，
A、此时一次函数y＝2ax＋b的图象没有过点 ，故本选项不符合题意；
B、此时一次函数y＝2ax＋b的图象没有过点 ，故本选项不符合题意；
C、此时一次函数y＝2ax＋b的图象没有过点 ，故本选项不符合题意；D、此时一次函数y＝2ax＋b的图象过点 ，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题
的关键．
12．C
【分析】根据各选项中一次函数与二次函数图象分别判断各自a值的正负，若同正或同负，则判断该选项为符合
题意的选项．
【详解】解：选项A，直线经过二、四象限a＜0，抛物线开口向上，a＞0，矛盾，故不符合题意；
选项B，直线经过一、三象限，a＞0，抛物线开口向上a＞0，由抛物线与y轴交点在x轴下方，可知a＜0，矛盾，
故不符合题意；
选项C，直线经过二、四象限，a＜0，抛物线开口向下a＜0，抛物线与y轴交点在x轴下方，可知a＜0，故符合
题意；
选项D，直线经过一、三象限，a＞0，抛物线开口向下a＜0，矛盾，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图象与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握系数与函数图象的关系．
13．C
【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据 ，可知抛物线对称轴为x=m，即M点是抛物线的顶点，再根
据m＜1，结合 和 的横坐标，可知点P距离对称轴x=m更近，Q点距离对称轴x=m更远，再根据a
＜0，抛物线开口朝下，即可判断．
【详解】由 可知抛物线的对称轴为 ，
∵ ，
∴ ，
∴抛物线的对称轴为 ，即M点是抛物线的顶点，
∵m＜1，
∴ ，
∴可知点P距离对称轴x=m更近，点Q距离对称轴x=m更远，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴越接近对称轴的点其函数值越大，且此时函数有最大值，最大值为 ，∴ ，
当m=-1时，即有 ，
∴综上有： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线图像的特征与系数之间的关系、抛物线对称轴的性质，对于开口向下的抛物线，抛物
线上的点离对称轴越近函数值越大，理解这一点是解答本题的关键．
14．A
【分析】由抛物线开口向下，表示出对称轴，画图即可得出答案．
【详解】 与 轴交点为 ．
将 代入，得 ．
∴ ．
∴对称轴为直线 ．
∵ ，
∴大致图象如图1，或图2，或图3．
∵ ，
∴ ， ， ．
∴ 在抛物线 这一段上， 在第三象限抛物线上，
也在第三象限抛物线上．
∴ ， ．
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．15．D
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴，然后分类讨论开口方向求解．
【详解】
∴抛物线 与x轴的交点为：
∵ 或 两种情况，抛物线的对称轴为：
如下图所示：
A，若 ，则 ，表示为y随x的增大而增大，但抛物线是轴对称图象，与条件矛盾，故不符合题意．
B，若 ，则 ， 表示为 与对称轴 的距离，当 时成立，当 时不成
立，故不符合题意．
C，若 ，且 ，则 ， 表示为 与对称轴 的距离，当 时， ，
故不符合题意．
D，若 ，且 ，则 ， 故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．D
【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，
连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝2时，y＝﹣4，
所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
设直线A′B为
当x=0时，y=-2
即C（0，-2）
故选D
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称
性确定出点C的位置是解题的关键．
17．C
【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当
P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可．
【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，
∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
∴PE=PF，
∴△PMF的周长=FM+PM+PF，
∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，
∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，
∵M坐标为（3，6），
∴ME=6，
∴PF+PM=6
∵F（0，2），
∴∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到
PE=PF．
18．C
【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即
为所求最短距离．
【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为 ，C(0，﹣2)，
∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)，
过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，
∴CE=C'E，
则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值；
∵直线y x+3，
设直线C'F的解析式为 ，
将C'(﹣2，﹣2)代入得： ，
解得： ，
∴C'F的解析式为y x ，解方程组 ，
得： ，
∴F( ， )，
∴C'F ．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离
为线段C'F的长是解题的关键．
19．(1)这个抛物线的对称轴为直线
(2) ，理由见解析
【分析】（1）将点 代入求出抛物线的解析式，由此即可得；
（2）将点 和点 代入抛物线的解析式可得 ，从而可得 ，再根据
可得 ，然后根据抛物线的解析式分别求出 ，最后求出
，由此即可得．
（1）
解：∵ ，
∴点 在抛物线上，
将 代入 得： ，
解得 ，
，∴这个抛物线的对称轴为直线 ．
（2）
解： ，理由如下：
∵点 和点 在抛物线 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 与 异号，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在该抛物线上，
∴ ，
∴ ，即 ，
，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式和对称轴、比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握待定系数法是解题
关键．
20．(1)
(2)D（5，8）或（﹣1，8）
(3)存在，（2，1）
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先求出点C（0，3），可得AC=2，根据三角形的面积可得到n＝±8，再代入抛物线解析式，即可求解；
（3）根据抛物线的对称性可得当点P与点B，C共线时，△PAB的周长最小，求出直线BC的解析式，即可求解．
（1）
解：由题意得∶ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）
解：令y=0，则 ，
解得： ，
∴点C（0，3），
∴AC=2，
设D（m，n），
∵△ACD的面积为8，
∴ ×2×|n|＝8，
∴n＝±8，
当n＝8时， ，解得x＝5或﹣1，
∴D（5，8）或（﹣1，8），
当n＝﹣8时， ，方程无解，
综上所述，D（5，8）或（﹣1，8）；
（3）
解：连接BC与直线x＝2交于点P，
∵点A与点C关于x＝2对称，
∴AP=CP，
∴△PAB的周长为PA+PB+AB=PC+PB+AB≤BC+AB，
∴当点P与点B，C共线时，△PAB的周长最小，为BC+AB，
当x=0时，y=3，
∴y＝x2﹣4x+3与y轴的交点为B（0，3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
把点B（0，3），C（3，0）代入得：
，解得 ，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当x=2时，y=1∴直线BC与x＝2的交点坐标为：（2，1）
∴点P的坐标为：（2，1）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，学会用转化的思想思考问题．
21．(1)
(2)x＝1或2或
0
【分析】（1）根据对称轴和C点坐标即可确定抛物线解析式；
（2）因为OC和PE都垂直于x轴，所以只要PF＝OC就能确定以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，求
出此时x 的值即可．
0
（1）
解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝ ，
∴对称轴x＝ ＝ ＝ ，
∴b＝ ，
又∵直线y＝ x+2与y轴交于C，
∴C（0，2），
∵C点在抛物线上，
∴c＝2，
即抛物线的解析式为 ；
（2）
解：∵点P的横坐标为x，且在抛物线上，
0
∴P ，∵F在直线y＝ x+2上，
∴F（x， x+2），
0 0
∵PF∥CO，
∴当PF＝CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
①当0＜x＜3时，
0
PF＝ ，
∵OC＝2，
∴ ，
解得x ＝1，x ＝2，
01 02
即当x＝1或2时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
0
②当x≥3时，
0
PF＝ ，
∵OC＝2，
∴ ，
解得x ＝ ，x ＝ （舍去），
03 04
即当x＝ 时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
0
综上当x＝1或2或 时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形．
0【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数及平行四边形的性质等知识点，难点在第二小题中要分情况考虑P
点在F点上和下两种情况．
22．A
【分析】假设三点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断
其他两点即可得答案．
【详解】解：假设三点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函数图象上，
把（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）代入函数解析式，得 ，
解得 ，
函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝0，
当x＝﹣2时，y＝5，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的
关键是能正确求出二次函数的解析式．
23．B
【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项是正确
的．
【详解】解：A．一次函数y=ax+c中a＞0，c＞0，二次函数 中a＜0，c＞0，故选项A不符合题意；
B．一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，二次函数 中a＜0，c＞0，故选项B符合题意；
C．一次函数y=ax+c中a＜0，c＜0，二次函数 中a＞0，c＜0，故选项C不符合题意；
D．一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，二次函数 中a＞0，c＜0，故选项D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，利用
数形结合的思想解答．
24．C
【分析】先求出二次函数的开口方向和对称轴，再根据抛物线上点的横坐标离对称轴越远，函数值越小即可解答．
【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝﹣2．
∵点A（﹣3，y），B（﹣ ，y），C（1，y）都在二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图像上，
1 2 3
且三点横坐标离对称轴x＝﹣2的距离按由远到近为：（1，y）、（﹣3，y）、（﹣ ，y），
3 1 2
∴y＜y＜y．
3 1 2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点，掌握“当抛物线开口方向向
下，抛物线上点离对称轴越远，函数值越小”是解本题的关键．
25．(1)
(2)-3≤y≤6
【分析】（1）把点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入解析式，即可求解；
（2）把解析式化为顶点式可得当x＜-3时，y随x的增大而增大，当x≥-3时，y随x的增大而减小，即可求解．
（1）
解∶∵函数 （b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3），
∴ ，解得： ；
（2）
解：由（1）得：函数解析式为 ，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，且当x=-3时，y的值最大，最大值为6，
∴当x＜-3时，y随x的增大而增大，当x≥-3时，y随x的增大而减小，
当x=-4时，y=5，
当x=0时，y=-3，
∴当﹣4≤x≤0时，y的取值范围为-3≤y≤6．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
26．(1)抛物线y＝﹣ （x+4）2的顶点坐标是（﹣4，0）
(2)见解析
(3)x＞1或x＜﹣3
【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标减，向上平移纵坐标加平移后求出顶点坐标，然后
写出抛物线解析式即可；
（2）把原抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得；
（3）根据函数图像即可得．
（1）
解：抛物线 的顶点坐标是（﹣4，0），
此函数的图像向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣1，2），
则平移后抛物线的解析式为 ；
（2）
解：平移后的抛物线如图所示：
（3）
解：由（2）中的图示知，当y＜0时，x＞1或x＜﹣3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图像，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．
27．D
【分析】根据抛物线图象开口方向判断 ，根据对称轴为 ，得到 ， ，根据图象可知抛物
线与 轴交于正半轴，可判断 ，据此可判断①②；根据 可得 ，即有 ，可判断
③；由二次函数的图象可知最大值在 时，即最大值为 ，据此解题可判断④．【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，即 ，
对称轴为 ，
∴ ，
∴ 且 ，
抛物线与 轴交于正半轴，
∴ ，
∴
故①正确，②正确；
③ ，
∵
∴ ，
故③正确；
④∵抛物线的对称轴为 ，
∴当x=1时，函数的最大值，且为 ，
∴ （m为任意实数）
∴ （m为任意实数），
故④正确；
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与y轴的交点、二次函
数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题根据．
28．B
【分析】根据二次函数的性质进行计算，依次判断即可得．
【详解】解：A、抛物线的对称轴为直线： ，则若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，选项说
法错误，不符合题意；
B、抛物线的对称轴为直线： ，若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，选项说法正确，符合题
意；
C、当 ， 时， ，则当a＝1时，函数图像不经过点（﹣1，1），选项说法错误，不符合题
意；D、当a＝﹣2时， ， ，则函数图像与x轴有两个交点，选项说法错误，
不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
29．B
【分析】抛物线平移不改变a的值，利用平移规律解答即可．
【详解】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为
（2，3）．
可设新抛物线的解析式为 ，
代入得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
30．B
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与 轴的交点即可判断①；当 时， ，即可判断②；当
时， ，即可判断③；根据抛物线与 轴有2个交点，即可判断④．
【详解】解：① 抛物线开口向下，
，
∵ ，
∴ ，
，
抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴，
，
，故错误；
②观察函数图象，可知：
当 时， ，
，故错误．
③ 抛物线的对称轴为 ，抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴，
当 时， ，
，故正确；
④ 抛物线与 轴有2个交点，，故正确．
△
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数
决定抛物线的开口方向和大小：当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；②一次项系数 和二
次项系数 共同决定对称轴的位置：当 与 同号时（即 ，对称轴在 轴左；当 与 异号时（即 ，对
称轴在 轴右；③常数项 决定抛物线与 轴交点．抛物线与 轴交于 ．
31．A
【分析】①：根据二次函数的对称轴 ， ，即可判断出 ；
②：结合图象发现，当 时，函数值大于1，代入即可判断；
③：结合图象发现，当 时，函数值小于0，代入即可判断；
④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
【详解】解：∵二次函数 的图象，其对称轴为直线 ，且过点 ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，故①正确；
从图中可以看出，当 时，函数值大于1，因此将 代入得， ，即 ，故
②正确；
∵ ，∴ ，从图中可以看出，当 时，函数值小于0，
∴ ，∴ ，故③正确；
∵二次函数 的顶点坐标为 ，
∴设二次函数的解析式为 ，将 代入得， ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
∴当 时， ；
∴根据二次函数的对称性，得到 ，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质
是本题的关键．32．C
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：①由图象可知： ， ，
由对称轴可知： ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
②由对称轴可知： ，
∴ ，
∵抛物线过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
③由对称轴为直线 ，抛物线过点 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
∴ 的两个根是 ， ，故③正确；
④由图象可知，当 时， ，
∴ ，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等
题型．
33．A
【分析】根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴是直线x=- ，
∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，
∵- -（-2022）＜2022-（- ），
∴y＞y．
1 2
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向下，则
抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小．34．C
【分析】根据二次函数的性质和函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：二次函数y=x2-4x+5=（x-2）2+1，a=1＞0，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点为（2，1），当x=2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x
值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，y= x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y=（x-2）2+1，
故选项D的说法正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，
利用二次函数的性质解答．
35．C
【分析】利用待定系数法将点 ， 代入解析式求出 ， ，再结合二次函数图象与已知信息
当 时， 得出 ，进而判断①结论；根据二次函数对称轴 进而判断③结论；由二次函数的轴
对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点 ， 代入解析式得出 ，再由 判断④结论．
【详解】 二次函数 （a，b，c是常数， ），
当 时， ，
当 时， ，
．
当 时，其对应的函数值 ，
二次函数开口向下， ．
， ， ，
．（①结论符合题意）
时， ，
是关于x的方程 的根．
对称轴 ， ，（③结论不符合题意）
和3是关于x的方程 的两个根．（②结论符合题意）
时， ，
时， ，
．．（④结论不符合题意）
正确的结论有2个．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质与图象的理解与综合运用能力．二次函数 的图象是抛物线，抛物
线是轴对称图形．对称轴 ．二次项系数 决定抛物线的开口方向与大小．如果 ，当 时， 随
的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大．如果 ，当 时， 随 的增大而增大，当
时， 随 的增大而减小．灵活运用二次函数的性质与图象对每个结论依次分析是解本题的关键．
36．B
【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经
x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断
④．
【详解】∵对称轴为直线x=1，-2 0，根据题意可知x=-1时，y<0，
∴a－b＋c<0，
∴a＋c a+ c，
∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c<0，
∴a>c，∵a-b＋c<0，b=-2a，
∴3a+c<0，
∴c<-3a，
∴b=–2a，
∴b＞c，以④错误；
故选B
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次
函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
37．
【分析】根据二次函数增减性的判定：①开口方向；②对称轴，结合题中当 时，y的值随x值的增大而增大，
即可得到关于 的不等式，求解即可得到结论．
【详解】解： ，
抛物线的对称轴为直线 ，
∵当x＞3时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m≤3，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数增减性，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键．
38． （-1，0） 2
【分析】（1）将抛物线解析式 变形为 ，当x+1=0时，无论a为何值，抛物线
恒过某一定点；
（2）根据“上加下减”可得出平移后的抛物线解析式，再利用配方法配方，可表达顶点的纵坐标，再求最大值．
【详解】解：（1）将抛物线解析式 变形为 ，
当x+1=0即x=-1时，抛物线恒过定点（-1，0）．
故答案是：（-1，0）；
（2） 向上平移2个单位可得， ，
∴ ，
∴抛物线顶点的纵坐标 ，
∵- ＜0，
∴m的最大值为2．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，二次函数图象顶点坐标等内容，题目比较简单．
39．①②④
【分析】由题意易得 ， ，抛物线与x轴的一个交点坐标为 ，进而可得抛物线的对
称性可得与x轴的另一个交点坐标为 ，然后问题可进行求解．
【详解】解：由抛物线 经过点（－2，0），且对称轴为直线 ，可得：
， ，
∴ ，故①错误；
∴根据抛物线的对称性可得与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴当x=2时，则有 ，
∵当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴ ，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴横坐标是1-n的点的对称点的横坐标为1+n，
若n＞m＞0，
∴1+n＞1+m＞1，
∴x=1+m时的函数值大于x=1-n时的函数值，故③错误；
∵b=-2a，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－2，0），
∴ ，即 ，
∴ ，
∴点 一定在此抛物线上，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
40．8
【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴当x=8时， y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．故答案为：8．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键．
41．
【分析】由抛物线的解析式求得 、 、 的坐标，利用勾股定理的逆定理证得 ，即可得出
，由 ，得出 ，作 轴，交 的延长线与 ，作
的平分线，交 于 ，则 ，根据轴对称的性质得出 ，从而求得
，利用待定系数法求得直线 的解析式，与二次函数解析式联立，解方程组即可求得 的坐标．
【详解】解：∵抛物线 与 轴交于点 和点 两点，
∴当 时， ，解得 或1，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
作 轴，交 的延长线与 ，作 的平分线，交 于 ，则 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 的坐标代入得， ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
解
得 或 ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与 轴的交点，待定系数法求一次
函数的解析式，勾股定理的逆定理等，证得 是解题的关键．
42．(1)
(2)平移所得抛物线是 ，交点坐标为
【分析】（1）根据抛物线过点 ，代入即可求出答案；
（2）抛物线向右平移 个单位，根据抛物线水平方向移动规律“左加右减，上加下减”即可求出平移所得抛物线，
两条抛物线联立方程即可求出交点坐标．
（1）
解：根据题意得， ，
故 ．
（2）
解：抛物线解析式是 ，将该抛物线向右平移 个单位，∴平移后抛物线解析式是 ，
故平移后抛物线解析式是 ，
两条抛物线的交点得，
∴ ，解方程组得， ，
故交点坐标是 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的几何变换，理解和掌握函数待定系数法求解析式，函数平移规律是解题的关键．
43．
【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，
本题得以解决．
【详解】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），
∴AB＝4，
又A、B也关于抛物线对称轴对称，
∴h＝2，
∵抛物线y＝﹣ （x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，
∴CD＝ AB＝2，
∴则点C的坐标为（1，2），（或点D的坐标为（3，2）），代入解析式，
∴2＝﹣ +k，
解得，k＝ ．
∴ 所求抛物线解析式为
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数
的性质解答．
44．(1)
(2)
【分析】（1）把 ， 两点代入 ，运用待定系数法即可求得答案；
（2）设对称轴与CD交点为点E，先求得OB=OC=3，再由CD x轴，可求得 ，由对称轴：x=1可得 ，即可求得答案；
（1）
把 ， 两点代入
得： ，
解得： ，
∴该抛物线的表达式 ．
（2）
如图，设对称轴与CD交点为点E，
∵该抛物线的表达式 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵CD x轴，
∴ ，
∵抛物线的表达式 的对称轴：x=1，
∴ ，
∴△PCD的面积 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及等腰三角形的性质，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式．
45．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析【分析】（1）由解析式求出点C坐标，再由S ABC求出AB的长，根据对称轴为直线 可得A、B的坐标，
△
进而求解即可；
（2）设 与 轴交于点 ，由∠BPD＝2∠BCO可得 ，即∠EBC=∠ECB，EB=EC，通过勾股定
理求出点E坐标，从而求出直线BE的解析式，联立方程可得D的横坐标，进而求解即可；
（3）过点 作 轴交直线 于点 ，由S PCQ＝S BCQ可得Q为BP中点，从而得到 ，
△ △
设点 ，可用含t代数式表示点M，求出AC所在直线方程，将点M代入求解．
（1）
令y＝ax2＋3ax＋4中x=0，得y=4，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴由对称性知 ， ，
把 代入抛物线的解析式得 ，
∴ ，
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）
设 与 轴交于点 ，
∵ 轴，∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
设 ，则 ，
∴在 中， ，∴ ，∴ ，
设直线 的解析式为y=kx+b，将 和 代入y=kx+b得，
，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，消 得， ，
∴ ，∵ ，∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）
不存在；
理由如下：过点 作 轴交直线 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
设 ，则 ，
设直线 的解析式为y=ax+b，把（-4，0）和（0，4）代入，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，
∵ ，∴此方程无实数根，
∴符合条件的点 不存在．
