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专题 16.2 二次根式的乘除
1.掌握二次根式的乘法(除法)法则，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简；
2.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次根式化为最简形式。
知识点01 二次根式的乘除法
【知识点】
及逆用：
二次根式的乘法法则 ；
除法法则及逆用：
二次根式的 ；
二次根式的乘法法则的推广：
，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，
即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。
【知识拓展1】二次根式乘除的运算
例1．(1)(2022·浙江杭州·八年级期中)(1) _____；(2) _____．
(2)(2022·河南周口·八年级期中)计算：(1) (2) ．
【即学即练1】
1．(2022·湖北武汉·八年级期中)下列各式计算正确的是( )A． 8 B． 3 C．( )2＝10 D．( )2＝﹣3
2．(2022·全国·八年级期末)计算:(1) (2)
【知识拓展2】二次根式的化简
例2．(2022·河南信阳·八年级期中)化简 =_____________________．
【即学即练2】
2．(2021·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习)化简二次根式： ______( )．
【知识拓展3】分母有理化
例3．(2022·河北保定·八年级期中)化简 的结果为( )
A． B． C． D．
【即学即练3】
3．(2022·四川·成都实外八年级期中)材料阅读：
在二次根式的运算中，经常会出现诸如 ， 的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为
有理数，这就是“分母有理化”，例如： ；
．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如： ；
．
根据上述知识，请你完成下列问题：(1)运用分母有理化，化简： = ；
(2)运用分子有理化，比较大小： ；
(3)计算： 的值．
【知识拓展4】二次根式的乘除的实际应用
例4．(2022·江苏江苏·八年级期中)“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的
高度为 ，观测者视线能达到的最远距离为 ，则 ，其中 是地球半径，约等于 ．小丽
站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度 为 ，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求 的值
为_____km．
【即学即练4】
4．(2022·四川省绵阳南山中学双语学校八年级阶段练习)某直角三角形的面积为 ，其中一条直角边长为
，则其中另一直角边长为( )
A． B． C． D．
【知识拓展5】二次根式中的探究规律问题
例5．(2022·河南·安阳县八年级阶段练习)已知数列 ，…，则 是它的( )
A．第23项 B．第24项 C．第19项 D．第25项【即学即练5】
5．(1)(2022·浙江衢州·七年级期中)如图，将 ，三个数按图中方式排列，若规定 表示第 排
第 列的数， 为第 3排第 2列的数为 ，则 与 表示的两个数的积是_____．
(2)(2022·北京昌平·八年级期中)观察下面的规律：
．
(1) ______；
(2)若 则 ______．
知识点02 最简二次根式
【知识点】
我们把满足①被开方数不含分母且分母中不含根式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【知识拓展1】最简二次根式的概念
例1．(2022·湖北襄阳·八年级期中)下列二次根式是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
【即学即练1】
1．(2022·河北保定·八年级期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A． B． C． D．
【知识拓展2】化简最简二次根式
例2．(2022·山东滨州·八年级期末)与 化为最简二次根式后结果相同的是( )
A． B． C．边长为3的等边三角形的高 D．
【即学即练2】
2．(2022·四川广安·八年级期中)化简： _______．
【知识拓展3】已知最简二次根式求参数
例3．(2022·河南·信阳八年级期末)若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数a为__________．
【即学即练3】
3．(2022·辽宁·八年级期中)已知：最简二次根式 与 的被开方数相同，则 _______．
【知识拓展4】二次根式的符号化简
例4．(2022·山东菏泽·八年级期中)把 中根号外面的因式移到根号内的结果是( )
A． B． C． D．
【即学即练4】
4．(2022·黑龙江·八年级期末)把 中根号前的(m－1)移到根号内得 ( )
A． B． C． D．5．(2022·山东泰安·八年级期中)已知 ，化简二次根式 的正确结果________．
题组A 基础过关练
1．(2022·四川蒲江县八年级期中)设 ，则 可以表示为( )
A． B． C． D．
2．(2022·广东·丰顺县八年级阶段练习)已知 的积是一个整数，则正整数 的最小值是( )
A．7 B．2 C．1 D．5
3．(2022·河南驻马店·八年级期中) 的倒数是( )
A． B． C． D．
4．(2022·云南楚雄·八年级期末)下列式子中，是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
5．(2022·河南·鹤壁市外国语中学九年级期中)将 化为最简二次根式，其结果是( )
A． B． C． D．
6．(2022·河北廊坊·八年级阶段练习)若 ，则化简 ( )
A．m B．-m C．n D．-n7．(2022·山东烟台·八年级期中)如果 ， ，那么下列各式：① ；② ；③
；④ ．其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．(2021·山东泰安·八年级期中)下列各式中，是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
9．(2022·山东青岛·八年级期中)下列运算中正确的是( )
A． B． C． D．
10．(2022·湖北恩施·八年级期中)计算： ______．
11．(2022·辽宁抚顺·八年级期末)计算：
(1) (2)
题组B 能力提升练
1．(2022·广东佛山·八年级期中)在如图的方格中，若要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结
果，则空格中 代表的实数为( )A． B． C． D．
2．(2021·山东泰安·八年级期中)已知xy＞0，化简二次根式 的正确结果( )
A． B． C． D．
3．(2022·全国·八年级课时练习)若二次根式 是最简二次根式，则最小的整数 ______.
4．(2022·辽宁·沈阳市八年级阶段练习)已知 ， ，聪明的同学你能不用计算
器得出： ______；
5.(2022·山东泰安·八年级期中)化简： ________．
6．(2022·重庆市九年级期中)已知 ，则有( )
A． B． C． D．
7．(2022·辽宁沈阳·八年级期中)计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
8．(2022·山东烟台·八年级期中)已知 与 满足 ，求代数式
的值．9．(2022·山东烟台·八年级期中)计算：
(1) ；(2) ；(3) ．
10．(2022·全国·八年级课时练习)先阅读，后解答：
， ；像上述解题过程中， 与
、 与 相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题
过程也称为分母有理化．
(1) 的有理化因式是______； 的有理化因式是______．
(2)(4)分将下列式子进行分母有理化：① ______； ② ______．
(3)类比(2)中②的计算结果，计算：
．
题组C 培优拔尖练
1．(2022·山东临沂·八年级期末)化简二次根式 的正确结果是( )
A． B． C． D．2．(2022·山东威海·八年级期中)观察下列式子：
① ；② ；③ ；④ ；…．
请你按照规律写出第n( )个式子是( )
A． B．
C． D．
3．(2022·山东济宁·八年级期中)观察下列等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
按照上述规律，计算： ( )
A． B． C． D．
4．(2022·浙江杭州·八年级期中)设 ，求不超过 的最大
整数 ______．
5．(2022·河南·九年级阶段练习)已知 的面积为 ，底边为 ，则底边上的高为A． B． C． D．
6．(2022·河南·方城县广阳镇第一初级中学九年级阶段练习)将1， ， ， 按右侧方式排列，若规定
表示第 排从左向右的第 个数，则 与 表示的两数之积是( )
A．2 B． C． D．
7．(2022·湖北荆州·中考真题)若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的值是______．
8．(2022·全国·八年级专题练习)阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较 和 的大小．可以先将它们分子有理化如下：
， ，
因为 ，所以 ．
再例如：求 的最大值．做法如下：
解：由 可知 ，而 ，
当 时，分母 有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：
(1)比较 和 的大小；
(2)求 的最大值和最小值．
