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专题 05 二次函数的概念、图形和性质
【思维导图】
◎考点题型1 二次函数的概念
1.形如 y=ax2 +bx+c （其中 a,b,c 是常数， a≠0 ）的函数叫做二次函数，称a为二次项系数， b 为
一次项系数，c为常数项.
注意：二次项系数 ，而 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．
2.二次函数 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2．
⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项．
例．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ．这六个式子中二次函数有（ ）个．A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义判断即可．
【详解】
① 是二次函数；
② 是二次函数；
③ 是二次函数；
④ 不是二次函数；
⑤ 不是二次函数；
⑥ 不是二次函数；
这六个式子中二次函数有①②③
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，即一般地，形如 （a，b，c是常数， ）的函数，叫做二次函
数．
变式1．（2022·浙江·九年级专题练习）若函数y＝m +4是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二次函数定义可得m2+m+2＝2，且m≠0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：m2+m+2＝2，且m≠0，
解得：m＝﹣1，故C正确．故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次
函数．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数 的图象经过原点，则 的值
为（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a=1或a=-1，然后根据二次函数的定义
确定a的值．
【详解】
把（0，0）代入y=（a+1）x2+3x+a2-1得a2-1=0，解得a=1或a=-1，
而a+1≠0，
所以a的值为1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．注意不要掉了
a+1≠0．
变式3．（2022·河南安阳·一模）用长为1米的绳子围成一个矩形，矩形的一边长为x米，设它的面积为S
平方米，则S与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得矩形的一边长为 米，则另一边长为 米，根据矩形的面积公式计算即可求得则S与x的
函数关系．
【详解】解：设矩形的一边长为 米，则另一边长为 米，
∴
∴S与x的函数关系为二次函数关系，
故选C
【点睛】
本题考查了列二次函数关系式，表示出矩形的另一边的长是解题的关键．
◎考点题型2 y=ax2的 图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减
a>0 向上 (0，0) y轴
小；x=0时，y有最小值0．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增
a<0 向下 (0，0) y轴
大；x=0时，y有最大值0．
例．（2021·江苏·靖江外国语学校一模）下列函数，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣2x B． C．y＝2（x+1）2 D．y＝﹣x2+1
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据正比例函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可求解．
【详解】
解：A．y＝−2x，y随x增大而减小，不符合题意；
B． ，当x＞0时，y随x增大而减小，不符合题意；
C．y＝2（x＋1）2，当x＞−1时，y随x增大而增大，所以当x＞0时，y随x增大而增大，符合题意；
D．y＝−x2＋1，当x＞0时，y随x增大而减小，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题综合考查二次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性）．掌握二次函数、反比例函数、正比例函数的性质是解题的关键．
变式1．（2022·河南·模拟预测）已知点A（−1，m），B（1，m），C（2，n）（n<m）在同一个函数图象
上，这个函数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由点A(-1，m)，B(1,m)的坐标特点，则知函数图象关于y轴对称，于是排除选项A、B两项；再根据B(1，
m)，C(2，n)的特点，结合二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a<0，则可作出判断．
【详解】
解：A、∵A（−1，m），B（1，m），
∴A点和B点关于y轴对称，
∵ 的图象关于原点对称，故该选项错误，不符合题意；
B、∵A点和B点关于y轴对称，而 图象关于原点对称，故该选项错误，不符合题意；
C、∵2>1，而n<m，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，而当x>0时， 随x的增大而增大，故该选项错误，不符合题
意；
D、∵2>1，n<m，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，当x>0时， 随x的增大而减小，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，解题的关键熟练掌握函数的性质，采用排
除法作判断．
变式2．（2021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）已知抛物线 和 在同一坐标系内的
图象如图所示，则m，n的大小关系是（ ）A．m>n B．m=n C．m<n D．无法比较（ ）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 的绝对值越小，开口越大，分析判断即可求解．
【详解】
解：∵抛物线 和 在同一坐标系内的图象， 的开口比 的开口大，且开口方向都
向上，
∴
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握 的绝对值越小，开口越大是解题的关键．
变式3．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级阶段练习）如图，已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次
函数y＝kx﹣2的图象相交于A（﹣1，﹣1），B两点．
(1)求a，k的值；
(2)求点B的坐标；
(3)求S AOB．
△【答案】(1)a＝﹣1，k＝﹣1
(2)（2，﹣4）
(3)3
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）解析式联立，解方程组即可求得B的坐标；
（3）设直线y＝﹣x﹣2与y轴的交点为G，则G（0，﹣2），利用S AOB＝S AOG+S BOG求得△AOB的
△ △ △
面积．
(1)
解：∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，
∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1；
(2)
解
得 或 ，
∴B的坐标为（2，﹣4）；
(3)
设直线y＝﹣x﹣2与y轴的交点为G，则G（0，﹣2），
∴S AOB＝S AOG+S BOG＝ + ＝3．
△ △ △
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合问题，待定系数法求解析式，一次函数与二次函数交点问题，求三角
形面积，数形结合是解题的关键．
◎考点题型3 y=ax2+c的 图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减
a>0 向上 (0，c) y轴
小；x=0时，y有最小值c．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增
a<0 向下 (0，c) y轴
大；x=0时，y有最大值c．
例．（2022·全国·九年级课时练习）如果二次函数 的图象如图所示，那么一次函数 的
图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图像，确定a，c的符号，然后根据一次函数性质确定图像的分布即可．
【详解】
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c＞0，∴ 的图像分布在第一，第二，第四象限，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像，一次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像与各系数之间的关系，一次函数
中k，b与图像分布之间的关系是解题的关键．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知点 ， 均在抛物线 上，下列说法正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】
A.若 ，则 ，故本选项不符合题意；
B.若 ，则 ，故本选项不符合题意；
C.若 ，则 ，故本选项不符合题意；
D.若 ，则 ，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征及二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．变式2．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的顶点坐标为
C．图象的对称轴是直线 D．有最大值，为－3
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据二次函数的定义得到 解方程求出m的值，根据二次项系数的正负判断开口方向，根据
二次函数表达式即可得出顶点坐标和对称轴以及最大值．
【详解】
解：∵二次函数 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴二次函数 ，
∵ ，
∴图象开口向下，
∴A选项错误，不符合题意；
顶点坐标为（0，-3），
∴B选项错误，不符合题意；
对称轴为直线 ，
∴C选项错误，不符合题意；
∵图象开口向下，顶点坐标为（0，-3），
∴有最大值，为－3，
∴D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查了二次函数的定义，二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，二次函数的图像和性质．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线 过点 和点 ．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当 为何值时，函数 随 的增大而增大．
【答案】（1） ；（2）当 时，函数 随 的增大而增大
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线 过点 和点 ，
，解得
∴这个函数得关系式为： ．
（2）∵二次函数 开口向下，对称轴为x=0，
∴当 时，函数 随 的增大而增大．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
◎考点题型4 y=a(x−h) 2 的 图像和性质
开口方 顶点坐 对称
a的符号 性质
向 标 轴
x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的
a>0 向上 (h，0) X=h
增大而减小；x=h时，y有最小值0．
x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的
a<0 向下 (h，0) X=h
增大而增大；x=h时，y有最大值0．
例．
（2022·福建南平·九年级期末）关于抛物线 ，下列说法错误的是( )
A．开口向上 B．当 时，y随x的增大而减小C．对称轴是直线 D．顶点
【答案】B
【解析】
【分析】
二次函数的图像和性质，根据解析式画出图像，即可得到答案．
【详解】
接：根据解析式，画出二次函数图像，如图所示，
A．开口向上，说法正确，不符合题意；
B．当 时，y随x的增大而增大，说法错误，符合题意；
C．对称轴是直线 ，说法正确，不符合题意；
D．顶点 ，说法正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，图像的开口方向、图像的增减性、对称轴、顶点坐标是本题的关键．
变式1．（2022·全国·九年级）已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，
q），且p<q，则m的值可能是（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．0 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，由点A，B坐标求出A，B关于对称轴对称时m的值，进
而求解．【详解】
解：∵y＝a（x﹣m）2（a＜0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
当p＝q时，m＝ ＝1，
∵p＜q，
∴m＞1，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数y=-2（x+b）2，当 时，y随x的增大而增大，
当 时，y随x的增大而减小，则当 时，y的值为（ ）
A．-12 B．12 C．32 D．-32
【答案】D
【解析】
【分析】
根据当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，即可得到抛物线的对称轴为直
线 ，由此求解即可．
【详解】
解：∵当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴当 时， ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知二次函数图象的性质是解题的关键．
变式3．（2022·全国·九年级）画出二次函数y＝（x﹣2）2的图象，结合图象直接写出y＞0时，
自变量x的取值范围是 ；
x … …
y＝（x﹣2）2 … …
【答案】 ，作图见解析
【解析】
【分析】
根据题意列表、描点、连线，根据图象即可求得，y＞0时自变量x的取值范围
【详解】
列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y＝（x﹣2）2 … 4 1 0 1 4 …
描点、连线，如图，
根据函数图象可知，当 时， 的取值范围为：
故答案为：【点睛】
本题考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，掌握列表描点的方法画函数图象是解题的关键．
◎考点题型5 y=a(x−h) 2+k的 图像和性质
开口 顶点坐 对称
a的符号 性质
方向 标 轴
x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的
a>0 向上 (h，k) X=h
增大而减小；x=h时，y有最小值k．
例．
（20 22·浙
江· x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的 九年
a<0 向下 (h，k) X=h
增大而增大；x=h时，y有最大值k．
级专 题练
习） 下列
对二次函数y＝﹣（x+1）2﹣3的图象描述不正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为（﹣1，﹣3）
C．与y 轴相交于点（0，﹣3） D．当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】
A．∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，正确，不合题意；
B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣3），正确，不合题意；
C．令x＝0，则y＝﹣1﹣3＝﹣4，所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣4），故不正确，符合题意；
D．抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞−1时，函数值y随x的增大而减小，故正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，与y轴的交点，掌握其性质是解决此题关键．
变式1．（2022·全国·九年级专题练习）若二次函数 ，当x<2时，y随x的增大而减小，则m
的取值范围是（ ）
A．m=2 B．m>2 C．m≥2 D．m<2
【答案】C
【解析】
【分析】
由于二次函数的解析式已知且为顶点式，可直接找到对称轴﹐故可直接利用二次函数性质求m的取值范围．
【详解】
解：二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
∴当x<m 时，y随x的增大而减小．
又∵当x＜2时，y随x 的增大而减小，
∴直线x=2应在对称轴x=m的左侧或与对称轴重合，
∴m≥2．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，能够根据二次函数解析式判断其开口方向、对称轴和增减性是解
题的关键．
变式2．（2021·江苏·扬州市江都区育才中学一模）已知抛物线的解析式为y＝ (x－3)2＋1，则抛物线的顶
点坐标是 （ ）
A．(3，1) B．(-3，1) C．(3，-1) D．(1，3)
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据抛物线的顶点坐标进行解答即可．
【详解】
解： 抛物线的解析式为 ，
顶点坐标为： ．
故选：A．【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的顶点式．
变式3．（2021·福建·龙岩莲东中学九年级阶段练习）如图，已知二次函数y＝a（x－4）2＋2的图象经过A
（2，0）．
（1）求a的值．
（2）若二次函数与y轴相交于B点，且该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求
的面积．
【答案】（1）－ ；（2）6
【解析】
【分析】
（1）把点 代入y＝a（x－4）2＋2，即可求得a的值；
（2）先求出对称轴方程，写出 点的坐标，计算出 ，再求出点B坐标，由此即可求得 的面积．
【详解】
解：（1）把 代入y＝a（x－4）2＋2，
得：0＝4a＋2，
解得： ；
（2）由（1）得：二次函数解析式为y＝ （x－4）2＋2，
∴抛物线对称轴为直线 ，
点坐标为 ，
，
将x＝0代入y＝ （x－4）2＋2，
得：y＝－6，∴ 的坐标为 ，
，
∴ 的面积为 ．
【点睛】
本题是考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决本
题的关键．
◎考点题型6 二次函数y=ax2+bx+c的 图像和性质
b 4ac−b2
用配方法可化成：y=a(x−h) 2+k的形式，其中h=− ，k= .
2a 4a
例．（2022·浙江宁波·八年级期末）将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单
位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出
新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】
解：y=x2−6x+5=(x−3)2−4，即抛物线的顶点坐标为(3，−4)，
把点(3，−4)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到点的坐标为(4，−2)，
所以平移后得到的抛物线解析式为y=(x−4)2−2．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线
解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
变式1．（2021·天津红桥·九年级期中）若点A（－1，y），B（0，y），C（1，y）都在二次函数y＝2x2
1 2 3
＋x－1的图象上，则y，y，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y＜y＞＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知函数图象的对称轴、增减性；根据对称将A转化到对称轴的右侧，得到 的坐标表示，然后比
较 三点横坐标的大小，进而判断三点纵坐标的大小即可．
【详解】
解：由 知该函数图象开口向上，对称轴是直线 ，在对称轴的右侧，y随x的增加而增大
∴点A对称的点 的坐标为
∵
∴
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于掌握该函数图象与性质．
变式2．（2022·云南红河·九年级期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中错
误的是（ ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2
C．当 时，y的值随x值的增大而增大，当 时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可由 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质和函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】
解：二次函数y=x2-4x+5=（x-2）2+1，a=1＞0，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点为（2，1），当x=2时，y有最小值1，当x＞2时，y
的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，y= x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y=（x-2）2+1，
故选项D的说法正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利
用二次函数的性质解答．
变式3．（2022·江苏淮安·九年级期末）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当0＜x＜3时，则y的取值范围．
【答案】(1) ；（1，-4）；
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）由（1）抛物线的对称轴为直线x=1，可得当x=1时，二次函数有最小值-4，且当x＞1时，y随x的增
大而增大，即可求解．
（1）解：把点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得： ，解得： ，∴抛物线的解析式为 ；∵ ，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；
（2）解：由（1）抛物线的对称轴为直线x=1，∵抛物线的开口向上，∴当x=1时，二次函数有最小值-4，
且当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=0，∴当0＜x＜3时，则y的取值范围为 ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
