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专题 05 二次函数的概念、图形和性质
【思维导图】
◎考点题型1 二次函数的概念
1.形如 y=ax2 +bx+c （其中 a,b,c 是常数， a≠0 ）的函数叫做二次函数，称a为二次项系数， b 为
一次项系数，c为常数项.
注意：二次项系数 ，而 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．
2.二次函数 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2．
⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项．
例．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ．这六个式子中二次函数有（ ）个．A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义判断即可．
【详解】
① 是二次函数；
② 是二次函数；
③ 是二次函数；
④ 不是二次函数；
⑤ 不是二次函数；
⑥ 不是二次函数；
这六个式子中二次函数有①②③
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，即一般地，形如 （a，b，c是常数， ）的函数，叫做二次函
数．
变式1．（2022·浙江·九年级专题练习）若函数y＝m +4是二次函数，则m的值为（ ）
A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二次函数定义可得m2+m+2＝2，且m≠0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：m2+m+2＝2，且m≠0，
解得：m＝﹣1，故C正确．故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次
函数．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）二次函数 的图象经过原点，则 的值
为（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a=1或a=-1，然后根据二次函数的定义
确定a的值．
【详解】
把（0，0）代入y=（a+1）x2+3x+a2-1得a2-1=0，解得a=1或a=-1，
而a+1≠0，
所以a的值为1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．注意不要掉了
a+1≠0．
变式3．（2022·河南安阳·一模）用长为1米的绳子围成一个矩形，矩形的一边长为x米，设它的面积为S
平方米，则S与x的函数关系为（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得矩形的一边长为 米，则另一边长为 米，根据矩形的面积公式计算即可求得则S与x的
函数关系．
【详解】解：设矩形的一边长为 米，则另一边长为 米，
∴
∴S与x的函数关系为二次函数关系，
故选C
【点睛】
本题考查了列二次函数关系式，表示出矩形的另一边的长是解题的关键．
◎考点题型2 y=ax2的 图像和性质
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减
a>0 向上 (0，0) y轴
小；x=0时，y有最小值0．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增
a<0 向下 (0，0) y轴
大；x=0时，y有最大值0．
例．（2021·江苏·靖江外国语学校一模）下列函数，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣2x B． C．y＝2（x+1）2 D．y＝﹣x2+1
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据正比例函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可求解．
【详解】
解：A．y＝−2x，y随x增大而减小，不符合题意；
B． ，当x＞0时，y随x增大而减小，不符合题意；
C．y＝2（x＋1）2，当x＞−1时，y随x增大而增大，所以当x＞0时，y随x增大而增大，符合题意；
D．y＝−x2＋1，当x＞0时，y随x增大而减小，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题综合考查二次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性）．掌握二次函数、反比例函数、正比例函数的性质是解题的关键．
变式1．（2022·河南·模拟预测）已知点A（−1，m），B（1，m），C（2，n）（n1，而n0时， 随x的增大而增大，故该选项错误，不符合题
意；
D、∵2>1，n0时， 随x的增大而减小，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，解题的关键熟练掌握函数的性质，采用排
除法作判断．
变式2．（2021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）已知抛物线 和 在同一坐标系内的
图象如图所示，则m，n的大小关系是（ ）A．m>n B．m=n C．m0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减
a>0 向上 (0，c) y轴
小；x=0时，y有最小值c．
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增
a<0 向下 (0，c) y轴
大；x=0时，y有最大值c．
例．（2022·全国·九年级课时练习）如果二次函数 的图象如图所示，那么一次函数 的
图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图像，确定a，c的符号，然后根据一次函数性质确定图像的分布即可．
【详解】
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c＞0，∴ 的图像分布在第一，第二，第四象限，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像，一次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像与各系数之间的关系，一次函数
中k，b与图像分布之间的关系是解题的关键．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知点 ， 均在抛物线 上，下列说法正确的
是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】
A.若 ，则 ，故本选项不符合题意；
B.若 ，则 ，故本选项不符合题意；
C.若 ，则 ，故本选项不符合题意；
D.若 ，则 ，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征及二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．变式2．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的顶点坐标为
C．图象的对称轴是直线 D．有最大值，为－3
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据二次函数的定义得到 解方程求出m的值，根据二次项系数的正负判断开口方向，根据
二次函数表达式即可得出顶点坐标和对称轴以及最大值．
【详解】
解：∵二次函数 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴二次函数 ，
∵ ，
∴图象开口向下，
∴A选项错误，不符合题意；
顶点坐标为（0，-3），
∴B选项错误，不符合题意；
对称轴为直线 ，
∴C选项错误，不符合题意；
∵图象开口向下，顶点坐标为（0，-3），
∴有最大值，为－3，
∴D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查了二次函数的定义，二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，二次函数的图像和性质．
变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线 过点 和点 ．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当 为何值时，函数 随 的增大而增大．
【答案】（1） ；（2）当 时，函数 随 的增大而增大
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线 过点 和点 ，
，解得
∴这个函数得关系式为： ．
（2）∵二次函数 开口向下，对称轴为x=0，
∴当 时，函数 随 的增大而增大．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
◎考点题型4 y=a(x−h) 2 的 图像和性质
开口方 顶点坐 对称
a的符号 性质
向 标 轴
x>h时，y随x的增大而增大；x0 向上 (h，0) X=h
增大而减小；x=h时，y有最小值0．
x>h时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；x0 向上 (h，k) X=h
增大而减小；x=h时，y有最小值k．
例．
（20 22·浙
江· x>h时，y随x的增大而减小；x2 C．m≥2 D．m<2
【答案】C
【解析】
【分析】
由于二次函数的解析式已知且为顶点式，可直接找到对称轴﹐故可直接利用二次函数性质求m的取值范围．
【详解】
解：二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
∴当x
