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专题 22.4 二次函数与线段最值
【例题精讲】
【例1】如图，二次函数图象与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，抛物线的顶点坐标是
，且经过点 ．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 最短？若存在，求点 的坐
标；若不存在，请说明理由；
（3）连接 、 、 ，求四边形 的面积．【例2】如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，且 ，
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点 ，使得
的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【题组训练】
2．如图，二次函数 的图象过点 和 ，与 轴交于点 ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若在该二次函数的对称轴上有一点 ，使 的长度最短，求出 的坐标．3．如图，已知点 的坐标为 ，直线 与 轴， 轴分别交于点 和点 ，
连接 ，顶点为 的抛物线 过 ， ， 三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
（2）动点 在抛物线对称轴上，当 最短时求 点坐标；
4．如图，顶点为 ， 的抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交
于 、 两点．
（1）求抛物线解析式及 、 两点坐标；
（2）在抛物线对称轴上有一点 ，使 到 、 两点的距离和最短，求点 坐标；5．如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，
顶点为 ，连接 ， ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 是抛物线的对称轴上一点，使得 最短，求点 的坐标；
（3）点 是第一象限内抛物线上的动点，连接 ， ．当 最大时，求点 的坐标．6．如图，二次函数图象与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，抛物线的顶点坐标是
，且经过 ．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求 的面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 最短？若存在，求出 的坐
标．若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线与 轴交于 、 两点，于 轴交于点 ，顶点为 ．
（1）求该抛物线的解析式及顶点 的坐标；
（2）请计算以 、 、 、 为顶点的四边形的面积；
（3）在 坐标轴上是否存在点 ，使得 点到 、 两点的距离之和最短，若存在，请
直接写出 点坐标，若不存在，请说明理由．
8．已知抛物线与 轴相交于点 ， （点 在点 右边），与 轴相交于点 ，该抛物
线的顶点为 ，且经过点 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求 的面积；
（3）在 轴上是否存在一点 ，使得 最短？若 点存在，求出 点的坐标；若
点不存在，请说明理由．9．如图，抛物线 经过 、 、 三点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线上存在一点 ，使 的面积为8，请求出点 的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 最短？若 点存在，求出 点
的坐标；若 点不存在，请说明理由．
10．已知二次函数 的图象经过点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）该抛物线与 轴交于点 ，顶点为 ，求 ， 两点的坐标；
（3） 轴上是否存在一点 ，使得 最短？若 点存在，求出 点的坐标；若
点不存在，请说明理由．11．如图，已知二次函数 的图象与 轴、 轴分别相交于点 和
，其顶点为 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若该二次函数的图象与 轴的另一个交点为 ，求 的面积；
（3）请判断：在该函数图象的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长最短．若存在请
求出点 的坐标，若不存在请说明理由．13．如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ．抛物线与 轴相交于 ，
两点，点 在点 的左侧，点 为抛物线与 轴的交点．
（1）求 和 的值；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点 ，使 最短，请求出点 的坐标．
（3）抛物线上是否存在一点 ，使 的面积等于 的面积的4倍？若存在．求出
点 所有的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线 的图象与 轴交于 和 ，与 轴交于点
．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点 ，使得 的周长最小，请求出点 的坐标．15．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，且 ，
．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点 是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得
的周长最短？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，二次函数 的图象经过 ， 两点．
（1）求该函数的解析式；
（2）若该二次函数图象与 轴交于 、 两点，求 的面积；
（3）若点 在二次函数图象的对称轴上，当 周长最短时，求点 的坐标．
17．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， ，
，连接 和 ．
（1）求抛物线的解析式；（直接写出解析式，不写过程）
（2）点 在抛物线的对称轴上，当 的周长最小时，点 的坐标为 ．18．如图，抛物线 的顶点坐标 交 轴于 、 两点，与 轴交于
，若抛物线上有一点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在对称轴上有一点 ，连结 、 、 ，求 周长最短时，点 的坐标；
（3）求点 的坐标．19．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求出抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）若抛物线交 轴于 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长
最小？若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知抛物线 的对称轴为直线 ，且抛物线经过点 ，它
与 轴的另一交点为 ，与 轴的交点为 ．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）在直线 上求点 ，使 的周长最小，并求 的周长．
