文档内容
专题22.3 二次函数的实际应用（知识解读2）
【直击考点】
【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数
学的意识．
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个
有效的数学模型．
【知识点梳理】
考点1 面积类
考点2 拱桥类
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设
出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
【典例分析】
【考点1 面积类】
【例1】（2021九上·长清期末）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃
ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长
度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（
m2）．（1）求y与x的函数关系式；
（2）求所围矩形苗圃ABCD的面积最大值；
【变式1-1】（2021秋•科左中旗期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，
其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设
这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数
关系式为（ ）
A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
【变式1-2】（2012秋•雨花区校级月考） 如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的
最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积
为Sm2．
(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
(3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
【变式1-3】（2019•永春县校级自主招生）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围
AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为252m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m 和6m，要将这棵树围在花
园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
【例2】（2020秋•中山市期末）如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形
自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）．若所用铁栅
栏的长为40米，矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平方米，
且x＜y．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求S与x的函数关系式，并求出矩形场地的最大面积．
【变式2-1】（2021春•百色期末）如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围）．
（1）设花圃的一边AD长为x米，请你用含x的代数式表示另一边CD的长为
米；
（2）当矩形场地面积为160平方米时，求AD的长．
【变式2-2】（2020九上·安庆期末）如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长
为 12m 的住房墙，另外三边用 27m 长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于
住房墙的一边留一个 1m 宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面
积最大，最大面积是多少？【变式2-3】（2021•游仙区模拟）如图，游仙怡心月季养植园是一个矩形ABCD，AD＝32
米，AB＝20米．为了便于养护与运输，养植园内留有四横四纵等宽道路，养植面积与
道路面积比为7：3．
（1）求道路的宽度．
（2）养植区域内月季盆栽要均匀摆放，即每平方米摆放的盆数一样．每平方米最多能
摆放36盆，密度越大，花的品质会下降，每盆月季的出售价也会随之降低．大棚内现
在每平米有月季小盆栽10盆，每盆的出售价为5元．分析发现：每平方米每增加5盆，
每盆的出售价会下降0.5元．老板准备增加养植数量，以获得最多的出售总额，那么每
平米应该养植多少盆月季小盆栽才能使出售总额最多？
【考点2 拱桥类】
【例3】（2020秋•郫都区期末）如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽AB为12m时，桥
洞顶部离水面4m．若选取拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角
坐标系，此时该抛物线解析式为 ．
【变式3-1】（2020秋•肇源县期末）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，
拱顶离水面2m，水面宽为4m．当水面下降1m后，水面宽为 m．【变式3-2】（2021秋•黔西南州期末）中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界
上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，
口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平
面直角坐标系，则抛物线的解析式是 ．
【变式3-3】（2022九下·定海开学考）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从
A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O
为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在
1
抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=− （x−5）2+6
6
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶
部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．【例4】（2021九上·百色期末）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的
路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入
篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出
手时，他跳离地面的高度是多少？
【变式4-1】（2021九上·新兴期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装
一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距
离为1m处达到最高．高度为3m．
（1）在给出的图中画出平面直角坐标系；
（2）求出水管的长度．【变式4-2】如图所示．三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都
相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为10m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小
孔顶点N距水面4m（即NC=4m），建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求出大孔抛物线的解析式；
（2）现有一艘船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少
0.5m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？
（3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF．【变式4-3】（2021九上·青岛期末）“福虎迎冬奥”明溪喜迎冬奥篮球赛火热开启，运
动员你攻我守，分秒必争，篮球运动员小明站在点O处长抛球，球从离地面1米的A
处扔出，篮球在距O点6米的B处达到最高点，最高点C距地面4米，又一次弹起，
落到点E处，EF之间的距离为2米，据试验，篮球在场地上第二次弹起后划出的抛物
线与第一次划出的抛物线形状相同，但最大高度减少到原来最大高度的一半，以小明
站立处O为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．（算出的结果均保留整数，√3
≈1.75；√6≈2.5）
（1）求抛物线ACD的函数表达式；
（2）篮球第二次落地点E距O点的距离；
（3）若小明需要在第一次抛球时投中篮筐，他应该向前走多远？
【例5】（2021秋•海珠区校级期中）如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形
的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角
坐标系．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧
道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？【变式5-1】（2021九上·海州期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6
米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若要搭建一个由AD﹣DC﹣CB组成的矩形“支撑架”，已知支架的高度为4
米，则这个“支撑架”总长是多少米？
【变式5-2】（2021秋•禅城区校级期中）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方
形的长为12m，宽为5m，抛物线的最高点C离路面AA 的距离为8m，过AA 的中点O
1 1
建立如图所示的直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）要在隧道入口顶部的抛物线上，左右对称地安装两个摄像头，使得这两个摄像头
与地面距离相同，并且这两个摄像头之间的距离为6米，求摄像头距离地面的距离．【变式5-3】（2021•海城市模拟）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC构成．矩
形一边OA的长是12m，另一边OC的长是1m．抛物线上的最高点D到地面OA的距离
为7m．以OA所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的
高度为5m，求两排灯之间的水平距离．
（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道
有不少于 m的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘 2m处行驶，求这辆
货运汽车载物后的最大高度．
【例6】（2021•安徽模拟）如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为
8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的
货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所
建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．【变式6-1】（2021•朝阳区校级一模）如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽 12米、
高6米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘 2米的范围内行
驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为
米．
【变式6-2】（2020秋•莫旗期末）如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的
长是8m，宽是2m，抛物线的解析式为 ．
（1）一辆货运车车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4m，那么这辆卡车是否可以通过？【变式6-3】（2020秋•海珠区校级期中）某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面
如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为 y＝﹣ x2+c且过顶点C
（0，5）．（长度单位：m）
（1）直接写出c＝ ；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通
过隧道？请说明理由．专题22.3 二次函数的实际应用（知识解读2）
【直击考点】
【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数
学的意识．
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个
有效的数学模型．
【知识点梳理】
考点1 面积类
考点2 拱桥类
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设
出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．【典例分析】
【考点1 面积类】
【例1】（2021九上·长清期末）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃
ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长
度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（
m2）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求所围矩形苗圃ABCD的面积最大值；
81
【答案】（1）y＝﹣2x2＋18x（2） （m2）
2
【解答】（1）解：设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面
积为y（m2），则BC=(18−2x)，
根据题意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2＋18x
（2）解：二次函数y＝﹣2x2＋18x（0＜x＜9），
∵a＝﹣2＜0，
∴二次函数图象开口向下，
18 9
且当x＝﹣ ＝ 时，y取得最大值，
2×(−2) 2
9 9 81
最大值为y＝ ×（18﹣2× ）＝ （m2）；
2 2 2
【变式1-1】（2021秋•科左中旗期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，
其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设
这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数
关系式为（ ）A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
【答案】C
【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为
（40﹣2x）米．
依题意可得：y＝x（40﹣2x）．
故选：C．
【变式1-2】（2012秋•雨花区校级月考） 如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的
最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积
为Sm2．
(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
(3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
【答案】（1）S=﹣3x2+24x， ≤x< 8；（2） 5m；（3）46.67m2
【解答】
（1）设花圃宽AB为xm，则长为（24-3x），利用长方形的面积公式，可求出S与x关系式，
根据墙的最大长度求出x的取值范围；
（2）根据（1）所求的关系式把S=45代入即可求出x，即AB；
（3）根据二次函数的性质及x的取值范围求出即可.
解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣3x），
即所求的函数解析式为：S＝﹣3x2+24x，
又∵0＜24﹣3x≤10，
∴ ；
（2）根据题意，设花圃宽AB为xm，则长为（24-3x），
∴﹣3x2+24x＝45．整理，得x2﹣8x+15＝0，
解得x＝3或5，
当x＝3时，长＝24﹣9＝15＞10不成立，
当x＝5时，长＝24﹣15＝9＜10成立，
∴AB长为5m；
（3）S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48
∵墙的最大可用长度为10m，0≤24﹣3x≤10，
∴ ，
∵对称轴x＝4，开口向下，
∴当x＝ m，有最大面积的花圃．
【变式1-3】（2019•永春县校级自主招生）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图
所示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围
AB，BC两边），设AB＝xm．
（1）若花园的面积为252m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m 和6m，要将这棵树围在花
园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
【答案】（1）18m或14m （2）255平方米
【解答】解：（1）设AB＝x米，可知BC＝（32﹣x）米，根据题意得：x（32﹣x）＝
252．
解这个方程得：x ＝18，x ＝14，
1 2
答：x的长度18m或14m．
（2）设周围的矩形面积为S，
则S＝x（32﹣x）＝﹣（x﹣16）2+256．
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离是17m和6米，∴6≤x≤15．
∴当x＝15时，S最大 ＝﹣（15﹣16）2+256＝255（平方米）．
答：花园面积的最大值是255平方米．
【例2】（2020秋•中山市期末）如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形
自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）．若所用铁栅
栏的长为40米，矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平方米，
且x＜y．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求S与x的函数关系式，并求出矩形场地的最大面积．
【答案】（1）5≤x＜ （2）S=﹣2（x﹣11）2+242；最大面积为242m2
【解答】解：（1）根据题意，知x+（y﹣2）+（x﹣2）＝40，
∴y＝﹣2x+44，
自变量x的取值范围是5≤x＜ ；
（2）S＝xy
＝x（﹣2x+44）
＝﹣2x2+44x
＝﹣2（x﹣11）2+242，
∴当x＝11时，S取得最大值，最大值为242，即矩形场地的最大面积为242m2．
【变式2-1】（2021春•百色期末）如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一
个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围）．
（1）设花圃的一边AD长为x米，请你用含x的代数式表示另一边CD的长为
米；
（2）当矩形场地面积为160平方米时，求AD的长．【答案】（1）（36﹣2x） （2）10米
【解答】解：（1）设AD＝x米，则BC＝AD＝x米，
∴CD＝34+2﹣2AD＝34+2﹣2x＝（36﹣2x）米．
故答案为：（36﹣2x）．
（2）依题意得：x（36﹣2x）＝160，
化简得：x2﹣18x+80＝0，
解得：x ＝8，x ＝10．
1 2
当x＝8时，36﹣2x＝36﹣2×8＝20＞18，不合题意，舍去；
当x＝10时，36﹣2x＝36﹣2×10＝16＜18，符合题意．
答：AD的长为10米．
【变式2-2】（2020九上·安庆期末）如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长
为 12m 的住房墙，另外三边用 27m 长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于
住房墙的一边留一个 1m 宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面
积最大，最大面积是多少？
【答案】长、宽分别为12米、8米时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．
【答案】解：设猪舍的宽为 xm ，则长为 (27−2x+1)m ，
由题意得 y=x(27−2x+1)=−2(x−7) 2+98 ，
对称轴为 x=7 ，
∵27−2x+1≤12 ， 27−2x+1>0 ，∴8≤x<14 ，
在 y=−2(x−7) 2+98 中，
∵−2<0 ，
∴在对称轴右侧 y 随着 x 的增大而减小，
所以当 x=8 米时，
即矩形猪舍的长、宽分别为12米、8米时，猪舍的面积最大，
最大面积是96平方米．
【变式2-3】（2021•游仙区模拟）如图，游仙怡心月季养植园是一个矩形ABCD，AD＝32
米，AB＝20米．为了便于养护与运输，养植园内留有四横四纵等宽道路，养植面积与
道路面积比为7：3．
（1）求道路的宽度．
（2）养植区域内月季盆栽要均匀摆放，即每平方米摆放的盆数一样．每平方米最多能
摆放36盆，密度越大，花的品质会下降，每盆月季的出售价也会随之降低．大棚内现
在每平米有月季小盆栽10盆，每盆的出售价为5元．分析发现：每平方米每增加5盆，
每盆的出售价会下降0.5元．老板准备增加养植数量，以获得最多的出售总额，那么每
平米应该养植多少盆月季小盆栽才能使出售总额最多？
【答案】(1) 1米 (2)30盆
【解答】解：（1）设道路宽x米，则
（32﹣4x）（20﹣4x）＝32×20× ，
解得：x ＝1，x ＝12（不合题意舍去），
1 2
故x＝1，
答：道路宽为1米；
（2）∵5：0.5＝10：1，
故设每平方米增加10z盆，则每盆售价降低z元，出售总额为w元/m2，则：w＝（10+10z）（5﹣z）
＝﹣10（z﹣2）2+90，
∵10z≤36﹣10，
∴z≤2.6，
∴0≤z≤2.6，
又∵a＝﹣10＜0，且z＝2在0≤z≤2.6内，
∴每平米应该养植30盆月季小盆栽才能使出售总额最多．
【考点2 拱桥类】
【例3】（2020秋•郫都区期末）如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽AB为12m时，桥
洞顶部离水面4m．若选取拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角
坐标系，此时该抛物线解析式为 ．
【答案】y＝﹣ x2
【解答】解：如图，拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，
由题意知B（6，﹣4），
设抛物线解析式为y＝ax2，
将点B（6，﹣4）代入，得：﹣4＝36a，
解得a＝﹣ ，∴y＝﹣ x2，
故答案为：y＝﹣ x2．
【变式3-1】（2020秋•肇源县期末）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，
拱顶离水面2m，水面宽为4m．当水面下降1m后，水面宽为 m．
【答案】
【解答】解：由题意得：B（2，﹣2），
设抛物线解析式为y＝ax2，
将B（2，﹣2）代入y＝ax2，
解得：a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2，
设D（x，﹣3），
把D（x，﹣3）代入y＝﹣ x2得：x＝ ，
∴水面宽CD为2 m，
故答案为：2 ．
【变式3-2】（2021秋•黔西南州期末）中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，
口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平
面直角坐标系，则抛物线的解析式是 ．
【答案】：y＝ x2﹣100．
【解答】解：由题意可得：A（﹣250，0），P（0，﹣100），
设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100，
则0＝62500a﹣100，
解得：a＝ ，
故抛物线解析式为：y＝ x2﹣100．
故答案为：y＝ x2﹣100．
【变式3-3】（2022九下·定海开学考）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从
A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O
为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在
1
抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=− （x−5）2+6
6
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
11
【答案】（1）OA高为 m （2）22m （3）不会碰到水柱
6
1
【答案】（1）解：∵y=− （x−5）2+6 ，
6
1
当x=0时，y=− （0−5）2+6
6
11
= .
6
11
∴雕塑OA高为 m；
6
1
（2）解：设y=− （x−5）2+6=0，
6
∴(x-11)(x+1)=0，
解得x=11或-1，
∴OD=11m，
∴CD=2OD=22m，
即落水点C、D之间的距离为22m ;
（3）解：∵OE=10m，
∴x=10，
1
∴y=− （10−5）2+6
6
11
= ，
6
10.4
∵1.8= ，
6
11
∴ >1.8，
6
∴ 顶部不会碰到水柱 .
【例4】（2021九上·百色期末）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的
路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入
篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出
手时，他跳离地面的高度是多少？
【答案】（1） y=−0.2x2+3.5 . （2）0.2m.
【解答】（1）解：∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的表达式为y＝a x2 +3.5，
由图知图象过以下点：（1.5，3.05）.
∴2.25a+3.5＝3.05，
解得：a＝﹣0.2，
∴抛物线的表达式为 y=−0.2x2+3.5 .
（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
因为（1）中求得 y=−0.2x2+3.5 ，
则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，
∴h+2.05＝﹣0.2× (−2.5) 2 +3.5，
∴h＝0.2（m）.
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m.
【变式4-1】（2021九上·新兴期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装
一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距
离为1m处达到最高．高度为3m．
（1）在给出的图中画出平面直角坐标系；（2）求出水管的长度．
9
【答案】（1）略（2） m
4
【答案】（1）解：以水池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴
建立平面直角坐标系；如图所示：
（2）解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0=a（3-1）2+3，
3
解得：a=- ．
4
3
∴y=- （x-1）2+3(0≤x≤3)，
4
3 3 9
∵当x=0时，y=- ×（0-1）2+3=- +3= ，
4 4 4
9
∴水管的长度为 m．
4
【变式4-2】如图所示．三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都
相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为10m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小
孔顶点N距水面4m（即NC=4m），建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求出大孔抛物线的解析式；
（2）现有一艘船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少
0.5m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？
（3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF．
6 10√3
【答案】（1）y=− x2+6 （2）能安全通过 （3） (m)
25 3
【答案】（1）解：设大孔抛物线的解析式为y＝ax2＋6，把点A（−5，0）代入解析式
解得，
(−5) 2a+6=0，
6
解得：a=− ，
25
6
∴函数解析式为y=− x2+6
25
6
（2）解：把x=2代入函数解析式y=− x2+6得：
25
6 1
y=− ×22+6=5 ，
25 24
1
∵4.5+0.5=5＜5 ，
24
∴这艘船在正常水位时，能安全通过拱桥大孔
（3）解：∵NC=4，
6 6
∴把y=4代入y=− x2+6得：4=− x2+6，
25 25
5√3
解得：x=± ，
3
5√3 5√3
∴E、F两个点的横坐标分别为：− ， ，
3 3
5√3 5√3 10√3
当水位上涨到刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度EF为： −(− )= (m)
3 3 3
【变式4-3】（2021九上·青岛期末）“福虎迎冬奥”明溪喜迎冬奥篮球赛火热开启，运
动员你攻我守，分秒必争，篮球运动员小明站在点O处长抛球，球从离地面1米的A
处扔出，篮球在距O点6米的B处达到最高点，最高点C距地面4米，又一次弹起，
落到点E处，EF之间的距离为2米，据试验，篮球在场地上第二次弹起后划出的抛物线与第一次划出的抛物线形状相同，但最大高度减少到原来最大高度的一半，以小明
站立处O为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．（算出的结果均保留整数，√3
≈1.75；√6≈2.5）
（1）求抛物线ACD的函数表达式；
（2）篮球第二次落地点E距O点的距离；
（3）若小明需要在第一次抛球时投中篮筐，他应该向前走多远？
1
【答案】（1）y=− （x-6）2+4 （2）23m （3）16m
12
【答案】（1）解：设篮球开始飞出到第一次落地时抛物线的表达式为y=a（x-h）2+k，
∵h=6，k=4，
∴y=a（x-6）2+4，
由已知：当x=0时y=1，
即1=36a+4，
1
∴a=− ，
12
1
∴表达式为y=− （x-6）2+4；
12
1
（2）解：令y=0，− （x-6）2+4=0，
12
∴（x-6）2=48，
解得：x=4√3+6≈13，x=-4√3+6，
1 2
∴点D坐标为(13，0)．
∴OD=13m
如图所示，过抛物线DE的顶点M作MG∥x轴，交抛物线ACD于点G、点H．∵篮球在场地上第二次弹起后划出的抛物线与第一次划出的抛物线形状相同，但最大
高度减少到原来最大高度的一半
∴抛物线DME相当于将抛物线ACD向下平移的两个长度单位再向右平移．
∴GH=DE，点G、H、M的纵坐标为2．
1
当y=2时，− （x-6）2+4=2
12
x=6−2√6 x =6+2√6
1 2
∴DE=GH=x -x=4√6≈10
2 1
OE=OD+DE
=13+10
=23m
∴篮球第二次落地点E距O点的距离23m
1
（3）解：如图所示，当y=3时，− （x-6）2+4＝3，
12
解得：x=−2√3+6≈3；x=2√3+6≈9
1 2
即点OR=9m，
∵EF=2m
∴OF=OE+EF=23+2=25m
若小明需要在第一次抛球时投中篮筐，他应该向前走的距离为：
RF=OF-OR=25-9=16m
故：若小明需要在第一次抛球时投中篮筐，他应该向前走16m．
【例5】（2021秋•海珠区校级期中）如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角
坐标系．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧
道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？
【答案】（1）y＝﹣ （x﹣6）2+10（2）能安全通过
【解答】解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣6）2+10，
将点B（0，4）代入，得：36a+10＝4，
解得：a＝﹣ ，
故该抛物线解析式为y＝﹣ （x﹣6）2+10；
（2）根据题意，当x＝6+4＝10时，y＝﹣ ×16+10＝ ＞6，
∴这辆货车能安全通过．
【变式5-1】（2021九上·海州期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6
米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系.（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若要搭建一个由AD﹣DC﹣CB组成的矩形“支撑架”，已知支架的高度为4
米，则这个“支撑架”总长是多少米？
1
【答案】（1）y=− x2+2x （2）（8+ 4√3 ）米
6
【解答】（1）解：由题意，该抛物线过O（0，0）、M（12，0），
∴该抛物线的对称轴为直线x=6，顶点坐标为P（6，6），
设该抛物线的解析式为y=a(x－6)2+6，
1
将点O(0，0)代入，得：36a+6=0，解得：a= − ，
6
1 1
∴该抛物线的解析式为y= − (x－6)2+6= − x2+2x；
6 6
（2）解：∵AD﹣DC﹣CB组成的是矩形“支撑架”，
∴AD=CB=4，
1
令y=4，由4= − x2+2x得：x2－12x+24=0，
6
解得： x =6−2√3 ， x =6+2√3 ，
1 2
∴C( 6−2√3 ，4)，D（ 6+2√3 ，4），
∴CD= 6+2√3 －( 6−2√3 )= 4√3 ，
∴AD+DC+CB=4+4+ 4√3 =8+ 4√3 ，
∴这个“支撑架”总长是（8+ 4√3 ）米.
【变式5-2】（2021秋•禅城区校级期中）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方
形的长为12m，宽为5m，抛物线的最高点C离路面AA 的距离为8m，过AA 的中点O
1 1
建立如图所示的直角坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）要在隧道入口顶部的抛物线上，左右对称地安装两个摄像头，使得这两个摄像头
与地面距离相同，并且这两个摄像头之间的距离为6米，求摄像头距离地面的距离．【答案】（1） （2）7.25米
【解答】解：（1）由题意可得，点C的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣6，5），
设此抛物线的解析式为y＝ax2+8，
5＝a×（﹣6）2+8，
解得，a＝﹣ ，
∴此抛物线的解析式为y＝﹣ x2+8；
（2）∵这两个摄像头之间的距离为6米，
∴当x＝3时，y＝﹣ ×9+8＝ ＝7.25，
∴摄像头距离地面的距离为7.25米．
【变式5-3】（2021•海城市模拟）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC构成．矩
形一边OA的长是12m，另一边OC的长是1m．抛物线上的最高点D到地面OA的距离
为7m．以OA所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的
高度为5m，求两排灯之间的水平距离．
（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道
有不少于 m的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘 2m处行驶，求这辆
货运汽车载物后的最大高度．
【答案】（1） ． （2） m （3）4m
【解答】解：（1）由题意设抛物线所对应的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+7，
将点C（0，1）代入上式，36a+7＝1，解得 ，
∴该抛物线所对应的函数表达式为 ．
（2）把y＝5代入 中， ，
解得 ， ，
，
所以两排灯之间的水平距离为 m；
（3）把x＝2代入 中， ，
，
所以这辆货运汽车载物后的最大高度为4m．
【例6】（2021•安徽模拟）如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为
8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的
货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所
建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．
【答案】（1） （2）2.29 m
【解答】解：（1）如图②中，A（﹣4，0），C（0，4），设抛物线解析式为y＝ax2+k，
由题意，得 ，
解得： ，
∴抛物线表达式为 ．
（2）2+ ＝2.2，
当x＝2.2时，y＝﹣ ×2.22+4＝2.79，
当y＝2.79时，2.79﹣0.5＝2.29 （m）．
答：该货车能够通行的最大高度为2.29 m．
【变式6-1】（2021•朝阳区校级一模）如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽 12米、
高6米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘 2米的范围内行
驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为
米．
【答案】3【解答】解：
建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意得：
A（0，6），B（6，0），
设抛物线解析式为y＝ax2+6，把B（6，0）代入，得
a＝﹣ ，
所以抛物线的解析式为y＝﹣ x2+6，
当x＝4时，y＝ ，
﹣ ＝3．
所以通过隧道车辆的高度限制应为3米．
故答案为3．
【变式6-2】（2020秋•莫旗期末）如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的
长是8m，宽是2m，抛物线的解析式为 ．
（1）一辆货运车车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4m，那么这辆卡车是否可以通过？【答案】（1）能通过 （2）能通过
【解答】解：（1）由题意，得
当x＝1时， ，
∵3.75+2＝5.75＞4，
∴能通过．
（2）由题意，得
当x＝2.2时， ，
∵2.79+2＝4.79＞4，
∴能通过．
【变式6-3】（2020秋•海珠区校级期中）某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面
如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为 y＝﹣ x2+c且过顶点C
（0，5）．（长度单位：m）
（1）直接写出c＝ ；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通
过隧道？请说明理由．【答案】（1）5 （2）10 米 （3）能安全通过
【解答】解：（1）∵顶点C（0，5）
∴c＝5，
故答案为：5．
（2）由题意可得：0＝﹣ x2+5，
解得：x ＝5 ，x ＝﹣5 ，
1 2
故AB＝2×5 ＝10 米；
（3）把x＝3代入得y＝﹣ x2+5＝4.1＞4，
故能安全通过．
