文档内容
2026 北京海淀高三一模
数 学
2026.04
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集 ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知等差数列 ， ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）抛物线 的焦点为 ，点 在 上，且 ，则线段 中点的横
坐标为
（A） （B）
（C） （D）
（4）若函数 是奇函数，则
（A） （B）
（C） （D）
（5）在 中， ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知 ，则
（A） （B）
（C） （D）
（7） 在某密码系统中，生成密码需要从含有 个符号的字符集中随机选择字符. 密码熵 （单位：比特）
第1页/共14页的计算公式为 , 其中 为密码长度. 根据密码熵估计表，当 时， 比特. 若某
用户将密码长度从 增加到 ，则密码熵的增加量约为
（A） 比特 （B） 比特
（C） 比特 （D） 比特
（8）已知函数 则“ ”是“ 在 上为单调函数”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知平行四边形的两个顶点为 ， ，另两个顶点在圆 上. 若对于给定的 ，这
样的平行四边形有且只有一个，则 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知平面上的点 满足 , 且
, 则下列等式中一定不成立的是
（A） （B）
（C） （D）
第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）若复数 满足 ，则 _______， _______．
（12）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若 上一点 满足 ，则
_______.
（13）设等比数列 的前 项和为 . 若 ，则公比 _______．
（14）将函数 的图象向左平移 个单位长度，再向上平移
z
个单位长度，所得图象位于 图象的上方，则 的一个取值为_______, D' C'
的最大值为_______． A' B'
（15）如图，正方体 的棱长为 ，以底面 的中心 为原
D C
点建立空间直角坐标系 ，其中坐标轴 分别与正方体的三 O y
A B
x
第2页/共14页条棱平行. 设正 方 体 表面及 其 内 部 所 有 点 构 成 的 集 合 为 ，集合
，记 为 中所有点构成的几何体. 给出下列四个结论：
① ；
② 被平面 所截的截面面积为 ；
③ 的体积大于 ；
④ 表面上的点到点 的距离的最小值为 .
其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知函数 两个相邻零点的距离为 ，且 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设 ，求 的单调递增区间.
（17）（本小题14分）
D1 C1
A1 B1
如图，在直四棱柱 中， , , ,
， 分别为 的中点.
F
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）从下列条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知条件，使得
C
D
直四棱柱 存在且唯一，求平面 与平面 夹角 A E B
的余弦值.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 与平面 所成角为 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按
第一个解答计分．
第3页/共14页（18）（本小题13分）
为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，
获得评价数据如下表：
学 区 甲 乙
性 别 男 女 男 女
达到预期 260人 200人 240人 190人
未达到预期 190人 150人 60人 110人
假设所有教师的评价相互独立. 用频率估计概率.
（I） 估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率；
（Ⅱ）若教师的评价为“达到预期”，则赋分为 ；若教师的评价为“未达到预期”则赋分为 .
（ⅰ）从这两个学区的所有男教师中随机抽取 人，所有女教师中随机抽取 人，记随
机变量 为这 人的赋分之和，估计 的数学期望；
（ⅱ）记甲学区样本赋分的方差为 ，乙学区样本赋分的方差为 ，两学区所有样本赋分的方差为 .
比较 ， ， 的大小.（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知椭圆 的离心率为 , 其左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 为坐标原点， 为第一象限内 上的动点，点 在直线 上，且 . 过
作 的垂线交直线 于 ，求 的值.
（20）（本小题15分）
设函数 .
（Ⅰ）当 时，求证：直线 是曲线 的切线；
（Ⅱ）求 的单调区间；
（Ⅲ）判断函数 是否存在极值. 如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由.
第4页/共14页第5页/共14页（21）（本小题15分）
对于正整数 ，集合 . 给定集合 的一
个子集 ，对于 中的元素 ，若存在 且 ，使得集合 与
的交集所含元素个数为 或 ，则称 为 的一个“同形点”.
（Ⅰ）当 时，写出集合 的所有“同形点”；
（Ⅱ）当 只有一个元素时，求其“同形点”的个数；
（Ⅲ）若 的任意子集都有“同形点”，求 的最小值.
（考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效）
第6页/共14页参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B （2）B （3）C （4）A （5）C
（6）D （7）A （8）A （9）D （10）B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13） （14） （答案不唯一）
（15）② ③
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ．
所以 .
因为 的两个相邻零点的距离为 ，
所以 的最小正周期 .
所以 .
所以 ， .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
所以 ．
令
第7页/共14页解得
的单调递增区间为 ．
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）法一：取 中点 ，连接 ，
因为直四棱柱 ，
所以四边形 为平行四边形.
因为 分别是 的中点，
所以 ， ，
又 ，点 是 的中点，
所以 .
所以 四边形 为平行四边形.
所以 .
因为 平面 平面
所以 平面 .
法二：
ABCDABCD
在直四棱柱 1 1 1 1中，连接 ，
因为 ， ， 为 中点，
所以 ，
又因为 ，即 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 ， ， ，
且 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
又 平面 ，
所以 平面 .
（Ⅱ） 连接 .
因为 ，
所以 ，由 ，
所以 ，
又因为 平面 ，
第8页/共14页所以 ,
所以 两两垂直，
如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 .
选②：
z
D1 C1
连接 ，在 中， A1 B1
F
因为 ， ，
所以 ，所以 ， D C y
x A E B
所以 ，
, ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
即
令 ，则 ，
所以 ，
又平面 的法向量 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 .
选③：
因为 平面 ，
所以 为 在平面 上的射影，
所以 为 与平面 所成的角.
因为 与平面 所成角为 ，
所以 .
在 中， ，
所以 ，后续解法同②.
第9页/共14页（18）（共13分）
解：（Ⅰ）根据题中数据，样本中甲学区教师的人数为 人，其中评价为
“达到预期”的人数为 人，
所以甲学区教师评价为“达到预期”的概率估计为 .
（Ⅱ）(i) 的取值范围为 .
男教师的评价为“达到预期”的概率估计值为
女教师的评价为“达到预期”的概率估计值为
所以 ，
， ，
，
所以 .
(ii)
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题意得
解得 ， ， ．
所以椭圆 的方程为 ．
第10页/共14页（Ⅱ）设 .
因为 ，
所以 .
当 时，
解得 .
直线 为 ，
又直线 为 ，
所以 ， .
法一：
当 时，
所以 ，
直线 的方程为 ，
又 为 ，
联立得 ，所以
所以
法二：
当 时， ，
所以 ，
方程为
又 为 ，
联立得 ， ，
第11页/共14页， ，
，
所以 .
所以
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）当 时， ，定义域为 .
所以 ．
因为 ， ，
所以曲线 在点 处的切线为 .
问题得证.
（Ⅱ）因为 ．
令 ，得 ， ．
当 时， 的定义域为 .
，
与 的变化情况如下表：
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
当 时， 的定义域为 .
，
与 的变化情况如下表：
第12页/共14页所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（Ⅲ） 不存在极值.
因为 ，
所以 ，
由 （Ⅱ）知，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
且 ，
所以 ， 不存在极值.
（21）（共15分）
解：（Ⅰ） ；
（Ⅱ） 的“同形点”的个数为 .
证明如下：
设 ，由题：取集合 .
若 为 的“同形点”，应有 ，且 .
（1）当 时，若 且 ，取 为 ，
则 与 的交集元素个数为0，
此时 为 的“同形点”，共有 个；
（2）当 时，同理可得 中除 外，
其余元素都是 的“同形点”， 共有 个；
（3）当 时，同理可得 中除 外，
其余元素都是 的“同形点”，共有 个；
（4）当 时，同理可得 中除 外，其余元素都是 的“同形
点”，共有 个.
综上可得 的“同形点”的个数为 .
（Ⅲ） 的最小值为21.
证明如下：
首先当 时， ，由对称性不妨设 中元素个数不少于11，
对于 ，设 的元素个数为 ，
（ ）若存在 ，因为 ，所以存在 ，有 ，不妨设 ，
1 则 中至少一个是 的“同形点”；
第13页/共14页（ ）若 恒成立，因为 ，所以存在 ，
2 有 ，因为 ，
所以存在 ， ，使得 ，
不妨设 ，则 为 的“同形点”.
其次当 时，不妨设 ；
（1）若 ，则 ，
取
可得其无“同形点”；
（2）若 ，则 ，
取 ，
可得其无“同形点”；
综上 的最小值为21.
第14页/共14页
