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22.1.1 二次函数
二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的
函数是二次函数.
注意：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，
若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若 a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，
b=c=0，则y=ax2.
当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分
别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越
大，抛物线的开口越小.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c
（a≠0）是二次函数的一般式.
题型1：二次函数的概念
1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
1
A．y=5x−1 B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1 D．y=x2+
x
【答案】C
【解析】【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当 a≠0时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】形如 “ y=ax2+bx+c(a≠0)”的函数就是二次函数，据此一一判断即可得出答案.
【变式1-1】下列函数中，是二次函数的有（ ）
1
①y=1−√2x2②y= ③y=x(1−x)④y=(1−2x)(1+2x)
x2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】①y=1− √2 x2=− √2 x2+1，是二次函数；1
②y= ，分母中含有自变量，不是二次函数；
x2
③y=x(1−x)=−x2+x，是二次函数；
④y=(1−2x)(1+2x)=−4x2+1，是二次函数.
二次函数共三个，
故答案为：C.
【分析】把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可。
1
【变式1-2】下列函数中①y=3x+1 ；②y=4x2−3x ；③y= ；④y=−2x2+5 ，是二次函数的
x
有（）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
【答案】B
1
【解析】【解答】解：①y=3x+1 是一次函数，②y=4x2−3x 是二次函数，③y= 是反比例函
x
数，④y=−2x2+5 是二次函数，故②④为二次函数，
故答案为：B.
【分析】二次函数的形式为： y=ax2+bx+c ，需要满足①a≠0 ，②最高次数为2，③代数式为整
式，根据定义进行判断即可.
题型2：利用二次函数定义求字母的值
2.已知 y=(m+1)x|m−1|+2m 是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．−1 B．3 C．−1 或 3 D．0
【答案】B
【解析】【解答】解：∵y=(m+1)x|m−1|+2m 是y关于x的二次函数，
{|m−1|=2
∴ ，
m+1≠0
解得： m=3 ；
故答案为：B．
{|m−1|=2
【分析】根据二次函数的定义可得 求出m的值即可。
m+1≠0
【变式2-1】若函数
y=(m2+m)xm2−2m−1
是二次函数，则m的值是（ ）
A．2 B．-1或3 C．-1 D．3
【答案】D
{ m2+m≠0
【解析】【解答】解：根据题意得：
m2−2m−1=2
解得：m=3．故答案为：D．
{ m2+m≠0
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
m2−2m−1=2
【变式2-2】若函数y=(1+m)xm2−2m−1是关于x的二次函数，则m的值是（
）
A．2 B．-1或3 C．3 D．-1± √2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵
函数y=(1+m)xm2−2m−1是关于x的二次函数，
{ 1+m≠0
∴ ，
m2−2m−1=2
∴m=3.
故答案为：C.
{ 1+m≠0
【分析】根据二次函数的定义得出 ，解方程和不等式，即可得出m的值.
m2−2m−1=2
题型3：二次函数的一般形式
3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（ ）
A．2、0、﹣3 B．2、﹣3、0 C．2、3、0 D．2、0、3
【答案】A
【解析】【解答】解：二次函数y=2x2-3的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是-3，
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次
函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项即可得出答
案．
【变式3-1】二次函数y=2x（x﹣3）的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣4
【答案】D
【解析】【解答】解：y=2x（x﹣3）
=2x2﹣6x．
所以二次项系数与一次项系数的和=2+（﹣6）=﹣4．
故答案为：D
【分析】首先将函数解析式整理成一般形式，然后直接得出二次项系数与一次项系数，再根据有理数
加法法则算出答案。
【变式3-2】关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（ ）
A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10C．一次项是100 D．常数项是20000
【答案】C
【解析】【解答】y=﹣10x2+400x+20000，A、y是x的二次函数，故A正确；B、二次项系数是：﹣
10，故B正确；C、一次项是：100x，选项C是一次项的系数，故错误；D、常数项是：20000，故D
正确；故选：C．
【分析】根据形如y=ax2+bx+c是二次函数，可得答案．
题型4：根据实际问题列二次函数
4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2 ，那么y与x的关系式是
【答案】y=-x2+8x
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为16cm，其中一边长为xcm，
∴另一边长为（8-x）cm，
∵长方形面积为ycm2，
∴y与x的关系式为y=x(8−x)=-x2+8x.
故答案为：y=-x2+8x.
【分析】首先利长方形周长公式表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解即可.
【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长
方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是
．
【答案】y=﹣2x2+20x
【解析】【解答】解：由题意可得：y=x（20﹣2x）=﹣2x2+20x．
故答案为：y=﹣2x2+20x．
【分析】根据题意表示出花圃的长为（20﹣2x）m，进而利用矩形面积公式得出答案．
【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反
映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每
件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）
C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x
【答案】A
【解析】【解答】∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．
故答案为：A．
【分析】由于每件涨价x元，可得每星期销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，根据每星期的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可求解.
题型5：自变量的取值范围
5.．若 y=(a−2)x2−3x+4 是二次函数，则 a 的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a>0 C．a>2 D．a≠0
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得： a-2 ≠0，则a≠2.
故答案为：：A.
【分析】根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案.
√x+2
【变式5-1】函数y= 的自变量取值范围是（ ）
x−1
A．x≥−2 B．−2≤x<1
C．x>1 D．x≥−2且x≠1
【答案】D
{x+2≥0
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
x−1≠0
解得：x≥-2且x≠1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式中分母不能为零，得到关于x的一元一次不等式
组，解之即可得出答案.
【变式5-2】若
y=(m+1)xm2−2m−1
是二次函数，则m= ，其中自变量x的取值范围是
．
【答案】3；全体实数
【解析】【解答】解： ∵ 函数
y=(m+1)xm2−2m−1
是二次函数，
{m2−2m−1=2
∴ ，
m+1≠0
解得： m=3 ，
即函数为 y=4x2 ，
∴自变量x的取值范围是全体实数．
故答案为：3；全体实数．
【分析】一般地，形如 y=ax2+bx+c(a 、b、c是常数， a≠0) 的函数，叫做二次函数，利用二次
函数的定义分析即可求出m的取值，再由代数式的有意义可得自变量x的取值范围．一、单选题
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
1
A．y=√x2+3 B．y=ax2+bx+c C．y=t2−2t+2 D．y=x2+
x
【答案】C
【解析】【解答】解：A、 根号中含自变量，不是二次函数，故此选项错误；
B、当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；
C、 是二次函数，故此选项正确；
D、 含有分式，不是二次函数，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数为二次函数，据此判断.
2．函数y=（m+2） xm2+m +2x+1是二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣2或1 D．1
【答案】D
【解析】【解答】∵函数y=（m+2 ）xm2+m +2x+1是二次函数，
∴m2+m=2，m+2≠0，
解得：m=1．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的定义，自变量的最高次数是2，二次项的系数不能为0，从而建立混合组，
求解即可。
3．一元二次方程3x2-2x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）．
A．3，2，1 B．-3，2，1 C．3，-2，-1 D．-3，-2，-1
【答案】C
【解析】【解答】观察数字因数，给出的方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，-2，-1．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的解析式直接写出二次项系数、一次项系数、常数项。
4．若函数
y=(1+m)xm2−2m−1
是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2 B．-1或3 C．3 D．−1±√2【答案】C
【解析】【解答】∵函数
y=(1+m)xm2−2m−1
是关于x的二次函数，
∴m2−2m−1=2 ，且 1+m≠0 ，
由 m2−2m−1=2 得， m=3 或 m=−1 ，
由 1+m≠0 得， m≠−1 ，
∴m 的值是 3 ，
故答案为：C.
【分析】直接根据二次函数定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数,a≠0）的函数，叫做二
次函数，列出关系即可得到m的值.
5．下列函数式中，是二次函数的是（ ）
A．y=x2﹣4x+1 B．y=﹣3x C．y=3x3+2x2 D．y=ax2+bx+c
【答案】A
【解析】【解答】解：A、符合二次函数定义，故正确；
B、x的指数为1，不是二次函数，故错误；
C、x的最高指数是3，故错误；
D、当a=0时，不是二次函数，故错误；
故选：A．
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次
函数进行分析即可．
6．若y=（a﹣1）x2﹣ax+6是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1 B．a≠0 C．无法确定 D．a≠1且a≠0
【答案】A
【解析】【解答】∵y=（a﹣1）x2﹣ax+6是关于x的二次函数，
∴a-1≠0，
∴a≠1，
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax+bx+c（ a≠0 ），作出判断即可.
7．若y=2xm2−2是二次函数，则m等于（ ）A．-2 B．2 C．±2 D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：由y=2xm2−2是二次函数，得
m2﹣2=2，
解得m=±2，
故选：C．
【分析】根据二次函数的指数是二，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
8．已知x是实数，且满足（x﹣2）（x﹣3） √1−x =0，则相应的函数y=x2+x+1的值为（ ）
A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣3） √1−x =0，
∴x≤1，
∴x=1，
当x=1，y=x2+x+1=1+1+1=3．
故答案为：C
【分析】根据二次根式有意义的条件，及几个整式的乘积等于0，则这几个数中至少有一个等于0，
列出混合组，求解得出x的值，将x的值代入函数解析式，即可求出答案。
二、填空题
9．已知 y=(m−2)x|m|+2 是y关于x的二次函数，那么m的值为 。
【答案】-2
【解析】【解答】∵原式是y关于x的二次函数，
∴|m|=2,(m−2)≠0
∴m=±2,m≠2
∴m=−2
故答案为-2.
【分析】根据二次函数的定义未知数的指数为2，系数不为0，列式计算即可.
10．已知函数
y=(m−1)xm2+1+5x−3
的图象是抛物线，则m= .
【答案】﹣1【解析】【解答】解：∵函数
y=(m−1)xm2+1+5x−3
的图象是抛物线，
∴该函数为二次函数，
则有m2+1=2且m﹣1≠0，
解得：m=﹣1.
故答案为：﹣1.
【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数就是二次函数，据此可得m2+1=2且
m-1≠0，求解就可得到m的值.
1
11．函数 y=(k− )x2k2+k+1 是二次函数，则k= ；
2
【答案】k=-1
1
【解析】【解答】∵y=(k− )x2k2+k+1 是二次函数，
2
{ 1
k− ≠0
∴ 2
2k2+k+1=2
解得：k=-1
【分析】利用二次函数的定义，得出自变量的系数≠0且x的最高次数=2，建立方程和不等式，求解
即可。
12．若函数y=（m﹣2）x|m|是二次函数，则m= ．
【答案】﹣2
【解析】【解答】解：由题意得：|m|=2，且m﹣2≠0，
解得：m=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】根据二次函数的定义可得：|m|=2，且m﹣2≠0，再解即可．
三、解答题
13．如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．
【答案】解：作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，∠B=30°，1 1
则AE= AB= x，
2 2
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD+BC=60﹣AB﹣CD=60﹣2x，
1 1 1 1
∴S= （AD+BC）×AE= （60﹣2x）× x=﹣ x2+15x（0＜x＜60）．
2 2 2 2
1 1
【解析】【分析】作AE⊥BC，在Rt△ABE中，求出AE= AB= x，利用梯形的周长可得出
2 2
AD+BC的值，代入梯形面积公式即可得出y与x的函数表达式．
14． 矩形的长和宽分别是4cm, 3cm ，如果将长和宽都增加x cm ，那么面积增加ycm2
（1）求y与x之间的关系式.
（2）求当边长增加多少时，面积增加8 cm2
【答案】（1）由题意可得：（4+x）（3+x）-3×4=y，
化简得：y=x2+7x；
（2）把y=8代入解析式y=x2+7x中得：x2+7x-8=0，
解之得：x=1，x=-8（舍去）．
1 2
∴当边长增加1cm时，面积增加8cm2
【解析】【分析】
（1）根据题意，借助于矩形面积，直接解答；
（2）在（1）中，把y=8代入即可解答．
