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专题 22.1 二次函数图象性质多结论问题
【例题精讲】
【例1】如图，已知抛物线 的顶点是 ，与 轴交于点 ，给出以
下结论：① ；② ；③若 ，则 或 ；④ ．其中
正确的结论个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： 抛物线开口向上，
，
对称轴为直线 ，
，
抛物线与 轴的交点在负半轴，
，
，故①错误；
抛物线与 轴交于 ，对称轴为 ，
抛物线与 轴的另一个交点为 ，
当 时， ，
，故②正确；
根据抛物线的对称轴为直线 可知，当 时， 或0，
根据二次函数图象，若 ，则 或 ，故③正确；当 时， ①，
当 时， ②，① ②得： ，即 ，
对称轴为直线 ，
，
，
，① ②得： ，解得 ，
，
即 ，故④正确；
故选： ．
【题组训练】
1．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，下列说法错误的
是
A． B．当 时， 随 的增大而增大
C．图象的对称轴为直线 D．点 的坐标为
【解答】解： 、观察图象可知 ，故 不符合题意；
、观察图象可知，当 时， 随 的增大先增大后减小，故 选项符合题意；
、由 可知抛物线的对称轴为 ，故 选项不符合题意；、 抛物线的对称轴 ， 与 轴交于 ， ， 关于 对称，
，故选项 不符合题意．
故选： ．
2．已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论：① ；②
；③ ；④ ；⑤ ，其中正确信息的个数有
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解： 图象开口向下，
，
对称轴在 轴的右侧， 与 异号，
，
与 轴交于正半轴，
，
，
故①选项错误；
二次函数 的图象与 轴有两个交点，
△ ，
，故②选项正确；
当 时，由图象可得 ，
故③选项错误；
对称轴 ，，
当 时， ，
，故④选项错误；
当 时，抛物线取得最大值 ，
当 时，有 ，即 ，
故⑤选项正确；
故选： ．
3．如图，抛物线 的对称轴是直线 ，并与 轴交于 ， 两点，
若 ，则下列结论中：① ；② ；③ ；④若 为
任意实数，则 ，正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①观察图象可知： ， ， ，
，故①错误；
② 对称轴为直线 ， ，
可得 ， ，
点 ，点 ，
当 时， ，即 ，
，故②正确；③抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
④当 时，函数有最小值 ，
由 ，可得 ，
若 为任意实数，则 ，故④正确；
故选： ．
4．已知二次函数 的图象与 轴交于 ， ，且 ，对称轴
．如图所示，有下列5个结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ 为任意实数）．
其中所有结论正确的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由图象可得，
， ， ，
，故①错误，
当 时， ，得 ，故②错误，
二次函数 的图象与 轴交于 ， ，且 ，对称轴 ，
时的函数值与 的函数值相等，
时， ，故③正确，
时， ， ，
， ，
，
，故④正确，
由图象可知， 时， 取得最大值，此时 ，
为任意实数），
，故⑤不正确，
故选： ．
5．已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论：
① ， ， ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ．
正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线与 轴交点在 轴上方，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，
①错误．
抛物线与 轴有2个交点，
，②正确．
当 时，函数有最大值 ，
对于任意的实数 都有 ，
，故③错误．
抛物线对称轴为直线 ，
，故④正确．
， ，
，故⑤正确．
故选： ．
6．如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴的交点 在点 和 之
间，以下结论：① ，② ，③ ； ④ ．其中正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 抛物线 的顶点为 ，与 轴的交点 在点 和
之间，
抛物线与 轴的另一个交点在 和 之间，
，故①错误；
，得 ， ，故②错误；
当 时， ，故③正确；
当 时， ，即 ，故④正确；
故选： ．
7．如图是二次函数 的图象，其对称轴为直线 ，且过点 ．有以下
四个结论：① ，② ，③ ，④若顶点坐标为 ，当
时， 有最大值为2、最小值为 ，此时 的取值范围是 ．其中正确结论的个
数是A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解： 二次函数 的图象，其对称轴为直线 ，且过点 ，
， ，
，
，故①正确；
从图中可以看出，当 时，函数值大于1，
因此将 代入得， ，
即 ，故②正确；
，
，
从图中可以看出，当 时，函数值小于0，
，
，故③正确；
二次函数 的顶点坐标为 ，
设二次函数的解析式为 ，
将 代入得， ，
解得 ，二次函数的解析式为 ，
当 时， ；
根据二次函数的对称性，得到 ，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选 ．
8．已知二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，有以下结论：
① ；②若 为任意实数，则有 ；③当图象经过点 时，方程
的两根为 ， ，则 ，其中，正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解： 抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
即 ，
，
抛物线与 轴的交点在 轴下方，
，
，所以①正确；
时， 有最小值，
为任意实数），即 ，所以②正确；
图象经过点 时，得 的两根为 ， ，
二次函数 与直线 的一个交点为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
二次函数 与直线 的另一个交点为 ，
即 ， ，
，所以③正确．
故选： ．
9．已知二次函数 的图象如图所示，有以下结论：① ；②
；③ ；④ ；⑤ ．其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 抛物线开口向下，与 轴交于正半轴，
， ．
对称轴是直线 ，
，
，
，
①错误．
当 时， ．
，②错误．
当 时， ，
，
③正确．
对称轴是直线 ，
，
，
④错误．
当 时， ．
，
．
，
⑤错误．
故选： ．
10．二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；② ；
③ ；④若 ，且 ，则 ．其中正确的有
A．①②③ B．②④ C．② D．②③④
【解答】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为 ，即 ，，
抛物线与 轴的交点在 轴上方，
，
，所以①错误；
，
，所以②正确；
抛物线与 轴的交点到对称轴 的距离大于1，
抛物线与 轴的一个交点在点 与 之间，
抛物线与 轴的另一个交点在点 与 之间，
时， ，
，所以③错误；
当 ，则 ，
和 所对应的函数值相等，
，
，所以④正确；
故选： ．
11．已知二次函数 的图象如图所示，对称轴为直线 ，有下列4个
结论：① ；② ；③ ；④ 是任意实数）．其
中正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： 抛物线开口向下，
；
抛物线的对称轴为直线 ，
；
抛物线与 轴的交点在 轴的上方，
，
，所以①错误；
当 时， ，即 ，
，所以②不正确；
当 时， ，即 ，所以③正确；
抛物线的对称轴为直线 ，
时， 有最大值 ，
，
，所以④正确．
故选： ．
12．二次函数 的图象如图所示，下列结论：
（1） ；（2） ；（3） ；（4）
其中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据图象知道抛物线与 轴有两个交点，
，即 ，
故（1）正确．
抛物线开口朝下，
，
对称轴在 轴右侧，
，
抛物线与 轴的交点在 轴的上方，
，
，故（2）正确；
对称轴 ，
，故（3）错误；
根据图象知道当 时， ，
根据图象知道当 时， ，
，故（4）正确；
故选： ．
13．如图，抛物线 交 轴于点 ，则下列结论中：① ；
② ；③方程 的两根是 ， ；④若 是任意实数，则
，正确结论的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解： 抛物线开口向下，，
抛物线 交 轴于点 ，
，
， ，
，故①错误，②正确；
，
方程 化为 ，两根是 ， ，
故③正确；
对称轴为 ，
的最大值为 ，
对任意实数 ，都有 ，
是任意实数，则 ，故④正确．
故选： ．
14．二次函数 的图象如图所示，则下列说法错误的是
A． B． C． D．
【解答】解： 图象开口向下，
，故 不符合题意；
图象与 轴的正半轴相交，
，故 不符合题意；由对称轴可知： ，
，
，故 符合题意；
图象与 轴有两个交点，
△ ，故 不符合题意；
故选： ．
15．如图，抛物线 与 轴正半轴交于 ， 两点，与 轴负半轴交于点 ．
若点 ，则下列结论中，正确的个数是
① ；
② ；
③ ， 与 ， 是抛物线上两点，若 ，则 ；
④若抛物线的对称轴是直线 ， 为任意实数，则 ；
⑤若 ，则 ．
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解： 抛物线开口向下，与 轴正半轴交于 ， 两点，与 轴负半轴交于点 ，
， ， ， 异号，
．
，
①正确．
，抛物线过点 ，，
，
②正确．
抛物线开口向下，当 ， 与 ， 两点在对称轴左侧时， 随 的增大而增大，
若 ，则 ；
③正确．
抛物线开口向下，对称轴为 ，
当 时，函数有最大值，
对任意实数 ，其对应的函数值不大于 对应的函数值，
，
，
．
④正确．
当 时， 时， ，
，
抛物线过点 ，
，
消去 得：
，
．
⑤正确．
故选： ．
16．二次函数 的部分图象如图，其对称轴是直线 ．下列结论：①；② ；③ ；④ ；⑤关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解： 抛物线开口向下，与 轴交于正半轴，
， ．
对称轴为直线 ，
，
．
，
①错误．
图象与 轴有两个交点，
有两个不相等的实数根，
△ ，即 ，
②正确．
抛物线经过点 ，对称轴为 ，
抛物线经过点 ．
当 时， ，
，
③正确．
抛物线过点 ，．
．
，
，
，
④错误．
当 时 有最大值 ，
当 时，即 ，有两个不相等的实数根．
⑤正确．
故选： ．
17．如图，抛物线 的对称轴为直线 ．关于下列结论：① ；②
；③若 为任意实数，则 ；④若点 在该抛物线上，则方
程 有实数根为 ， ．其中正确结论有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解： 抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
， ，
， ，
图象与 轴的正半轴相交，
，
，故①错误；
由图象可知 时， ，
，
，，故②正确；
利用二次函数的性质可知，当 时，函数取得最大值，
对于任意实数 ，总有 ，
，故③错误；
点 在该抛物线上，对称轴为直线 ，
点 也在该抛物线上，
方程 的实数根，即是 时的 的值，
方程 的根为 ， ，故④正确．
故选： ．
18．如图，二次函数 为常数，且 的图象过点 ，对称轴为直线
，且 ，则下列结论正确的是
A．
B．
C． 为任意实数）
D．
【解答】解： ．抛物线的对称轴在 轴右侧，则 ，而 ，
故 ，不正确，不符合题意；．函数的对称轴为直线 ，则 ，
从图象看，当 时， ，
故不正确，不符合题意；
． 当 时，函数有最大值为 ，
为任意实数），
，
，
为任意实数）
故不正确，不符合题意；
． ，故 ，
， ，故 ，
，
，
，
，故正确，符合题意；
故选： ．
19．已知二次函数 的图象如图所示，下列结论① ；②
；③ ；④ ，其中正确的是A．①③④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【解答】解： 抛物线开口向下，
，
对称轴是直线 ，
，即 ，
，
抛物线与 轴交点在正半轴，
，
，故①正确；
由图象可知， 时 ，
，
，故②错误；
， ，
，
，故③正确，
时， 是函数的最大值，
，
，
，
故④正确，
正确的有①③④，
故选： ．20．二次函数 的图象如图所示，下列结论中错误的是
A． B． C． D．当 时，
【解答】解： 二次函数的开口向上，
，
观察图象，抛物线与 轴的交点在 轴下方，则 ，
对称轴在 轴的右边，
，
，
，
故 正确，不符合题意；
观察图象，当 时，函数值 ，
故 正确，不符合题意；
对称轴在1的右边，
，
，
故 正确，不符合题意；
观察图象，当 时，函数值 ，
故 错误，符合题意．故选： ．
21．已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论中不正确的有
个．
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ 为任意实数）．
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
抛物线与 轴的交点坐标在 轴上方，
，
，所以①错误；
，
，所以②正确；
时， ，
，所以③正确．
抛物线与 轴有2个交点，△ ，即 ，所以④正确；
抛物线的对称轴为直线 ，
函数的最大值为 ，
为任意实数），
即 ，所以⑤正确．
故选： ．
22．二次函数 的顶点坐标为 ，图象如图所示，有下列四个结论：
① ； ② ；③ ④ ，
其中结论正确的个数为
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解： 抛物线的顶点坐标为 ，
，即 ，
抛物线开口向下，
，
，
抛物线与 轴的交点在 轴上方，
，
，所以①正确；
， ，
，即 ，
，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与 的一个交点在 与 之间，
抛物线与 的另一个交点在 与 之间，
当 时， ，
，所以③正确；
，即 ，
而 ，
，即 ，所以④正确．
故选： ．
23．已知二次函数 的图象如图所示．下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④
其中正确的个数有A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①根据函数图象的开口向下知， ，
对称轴为直线 在 轴左边，
，
，
抛物线与 轴交于正半轴，
，
．
故①的结论正确；
② 抛物线的对称轴在 的右边，
，
，
，
，
，
故②的结论正确；
③由函数图象可知，当 时， ，
即 ，
故③的结论正确；
④ ，故④的结论错误；故选： ．
24．已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论：① ；
② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的有
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：抛物线的开口向上，则 ，对称轴 ，
，
，故④结论错误；
抛物线与 轴交于负半轴，
，
，故①结论错误；
当 时， ，
，故②结论错误；
当 时， ，故③结论正确；
当 时， ，故⑤结论正确．
故正确的为③⑤，共2个．
故选： ．
25．如图，已知二次函数 的图象如图所示，下列 4 个结论：①
；② ；③ ；④ ，其中正确结论的有A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【解答】解： 抛物线开口朝上，
，
对称轴 ，
，
抛物线与 轴的交点在 轴的上方，
，
，故①正确；
根据图象知道当 时， ，
，故②正确；
根据图象知道当 时， ，故③正确；
，
，
，故④错误，
故选： ．
26．抛物线 的大致图象如图所示，则下列说法中错误的是
A．
B．C．当 时， ，若 ，则
D．
【解答】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴，
，
，故选项 不合题意；
时， ，对称轴为 ，
时， ，
，
，
，故选项 不合题意；
当 时， ，
，
，
，
当 时， ，故选项 不合题意；
当 时， 有最大值为 ，
，
，故选项符合题意；
故选： ．
27．二次函数 的图象如图所示，下列结论：① ；② 的两个根是 ， ；③ ； ④ ；3，其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：① 抛物线开口向上，
，结论①错误；
② 抛物线与 轴交于 和 两点，
的两个根是 ， ，结论②正确；
③ 抛物线与 轴交于 和 两点，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
，
当 时， ，
，
，
，结论③正确；
④ ，
，
当 时， ，
，
，，结论④不正确．
综上所述，正确的结论有：②③．
故选： ．
28．对称轴为直线 的抛物线 、 、 为常数，且 如图所示，小
明同学得出了以下结论：① ，② ，③ ，④ ，⑤
为任意实数），⑥当 时， 随 的增大而增大．其中结论正确的
个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：①由图象可知： ， ，
，
，
，故①错误；
② 抛物线与 轴有两个交点，
，
，故②正确；
③当 时， ，故③错误；
④当 时， ，
，故④正确；
⑤当 时， 取到值最小，此时， ，而当 时， ，
所以 ，
故 ，即 ，故⑤正确，
⑥当 时， 随 的增大而减小，故⑥错误，
故选： ．
29．如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，其对称轴
为直线 ，结合图象分析如下结论：① ；② ；③当 时， 随 的
增大而增大；④若一次函数 的图象经过点 ，则点 在第四象限．其
中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，
，②正确．
抛物线与 轴交点在 轴下方，
，
，①正确．
由图象可得当 时， 随 增大而增大，
③错误．将 代入 得 ，
解得 ，
，
，
点 在第四象限，④正确．
故选： ．
