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二次函数的图像、性质和不等式
一、单选题
1．在下列二次函数中，图象的开口向下，顶点坐标为（－2，－1）的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线y＝－3（x－2）2＋5，若－1≤x≤1，则下列说法正确的是（ ）
A．当x＝2时，y有最大值5 B．当x＝－1时，y有最小值－22
C．当x＝－1时，y有最大值32 D．当x＝1时，y有最小值2
3．已知二次函数 的图像上有三点A（1， ），B（2， ），C（-2， ），则 ， ， 的大
小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，函数 经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：① ；②abc＞0；③9a﹣
3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点 ，则 ．其中结论的正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．抛物线 与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线 ，其部分图象如图所示，
当 时， 的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞66．已知，二次函数 图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③4a+2b+c＞0；
④a+b≥m（am+b）（其中，m为任意实数）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图所示的二次函数 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1） ；（2）c
＞1；（3） ；（4） ．你认为其中错误的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），其部分图像如图所示，
下列结论：①ac＜0；②b＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x＝﹣1，x＝3；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1
1 2
＜x＜3．其中结论错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④9．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．抛物线 的顶点为D(-1,3)，与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间，其部分图象如图所示，
则以下结论：① ；② ；③ ；④方程 有两个不相等的实数根；⑤若
点 都在该函数图象上，且 ，则 ．其中正确结论的个数为（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．如表中列出的是二次函数y＝a ＋bx＋c中x与y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（ ）A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴有两个交点，且都在y轴同侧
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．方程a ＋（b＋2）x＋c＝﹣4的解为 ＝0， ＝1
13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，
点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x
＞3．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
14．己知二次函数 的图象如图，则下列结论：
（1）
（2）方程 一定有两个不相等的实数根
（3）y随x的增大而增大
（4）一次函数 的图象一定不过第二象限，
其中正确的个数是( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．已知二次函数 （ ）的图象如图所示，有下列5个结论：① ；② ；③ ；
④ （ ）；⑤若方程 有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的结论有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
16．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE//AB则S BDE的
△
最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则
下列结论正确的是（ ）A．abc＞0 B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣
18．如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为(
)
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3
19．已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③ ；④不等
式 的解集为 ，正确的结论个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．420．如图，抛物线 与直线 交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是
（ ）
A． 的解集是
B． 的解集是
C． 的解集是
D． 的解是 或
21．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②若(−3，y)，(4，y)
1 2
在抛物线上，则y0．其中正确的有（ ）
1 2
A．①② B．①④ C．①③④ D．②④
22．如图，二次函数 的图像与 轴负半轴交于 ，对称轴为直线 ．有以下结论：①
；② ；③若点 ， ， 均在函数图像上，则 ；④若方程
的两根为 ， 且 ，则 ；⑤点 ， 是抛物线与 轴的两个交点，若在
轴下方的抛物线上存在一点 ，使得 ，则 的范围为 ．其中结论正确的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
23．已知二次函数 的图象与x轴交于 和 ，其中 ，与y轴交于正半轴上一点．
下列结论：① ；② ；③若点 ， ， 均在二次函数图像上，则 ；④
．其中一定正确的结论的序号是______．
24．如图，如图在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与抛物线交
于点B，点C为抛物线的顶点，直线BC与x轴交于点D，当 时，则m的值为______．
25．二次函数 的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：
①abc＞0；②a＞ ；③对于任意实数m，都有m（am＋b）＞a＋b成立；④若 ，在该函数
图象上，则 ；⑤方程 （k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论是________．26．如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若它与x轴一交点为A（3，0），则由
图象可知，图像与x轴另一个交点的坐标是___；当函数值y＜0时，x取值范围是___．
27．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－2，0)，且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示． 对于此抛物线有如下四
个结论：
①b＝－2a；
②4a＋2b＋c＞0；
③若n＞m＞0，则x＝1＋m时的函数值小于x＝1－n时的函数值；
④点(－ ，0)一定在此抛物线上．
其中正确的结论是___________．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+m与x轴交于点C、D，与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴
交劰物线于点B．若AB+CD＝6，则四边形ABCD的面积为 _____．
29．如图，二次函数 的图象经过点A（1，0），与y轴的交点为C，对称轴为直线x＝﹣1，下列结
论：① ；②若点 和 是该抛物线上的两点，则 ；③不等式的解集为 ；④在对称轴上存在一点B，使得 ABC是以AC为斜边的直角三角形．其中一定正确的是
△
_____（填序号即可）．
30．在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线y=- x2+ x+2与x轴交于点M、N（M在N左侧），与y轴交于点
A，点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，经过点M的射线MD与y轴负半轴相交于点C，与抛物线的另一个交
点为D，∠BMN=∠NMD，点P是y轴负半轴上一点，且∠MDP=∠BMN，则点P的坐标是_______．参考答案：
1．D
【分析】根据顶点式逐项分析判断即可．
【详解】解：A、 中，a＞0，抛物线开口向上，顶点坐标为（2，1），不符合题意；
B、 中，a＜0，抛物线开口向下，顶点坐标为（2，－1），不符合题意；
C、 中，a＞0，抛物线开口向上，顶点坐标为（－2，1），不符合题意；
D、 中，a＜0，抛物线开口向下，顶点坐标为（－2，－1），符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在二次函数
中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
2．B
【分析】先根据抛物线解析式判断出抛物线在当－1≤x≤1的增减性即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为y＝－3（x－2）2＋5，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，a=-3＜0 ，即抛物线开口向下
∴当-1≤x≤1，y随着x的增大而增大
∵-1＜1，
∴当x=1时，y有最大值2，当x=-1时，y有最小值-22．
故选B．
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，正确判断出抛物线的增减性是解题的关键．
3．B
【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为x＝−1，图像开口向上，A、B两点在对称轴右边，y随x的增大
而增大，故y＜y；A、B、C三点中，C点离对称轴最近，故y 最小．
1 2 3
【详解】解：由二次函数y＝3（x＋1）2−8可知，对称轴为x＝−1，开口向上，
A（1，y），B（2，y）两点在对称轴右边，y随x的增大而增大，
1 2
由1＜2得y＜y，
1 2
A、B、C三点中，C点离对称轴最近，
y 最小，即 ，
3
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的增减性：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴
的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，熟练掌握二次函数增减性并灵活运用是解决问题的关键．
4．D
【分析】①根据图象与x轴有两个交点，Δ＞0即可判断；
②根据图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断；
③根据图象可得对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（3，0），则另一个交点为（-1，0），再根据抛物线增
减性即可判断；
④根据图象抛物线与x轴的一个交点为（3，0），可得9a+3b+c=0，对称轴为x=1，可得b=-2a,将2b=-4a代入
9a+3b+c=0，即可判断；
⑤根据图象可得a＞0，即可得出1＜a+1＜a+2，再结合对称轴为直线x=1，运用二次函数增减性即可判断．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴①正确；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b与a异号，即b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
∴②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴当x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，
∴③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵抛物线对称轴为x＝1，
∴﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∴9a＋3b＋c=9a＋2b＋b＋c=9a－4a＋b＋c=5a+b+c＝0，
∴④正确；⑤∵a＞0，
∴1＜a+1＜a+2，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，
∴ ，
∴ ，
∴⑤正确；
综上所述，①②④⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本
题的关键是综合运用二次函数的相关知识．
5．C
【分析】根据二次函数的性质，对称轴为 ，求出抛物线的另一个交点，根据二次函数图象的性质，即可
【详解】∵抛物线的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
∴
∴
∴
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0）
∵抛物线开口向下
∴当 ， ．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，对称轴．
6．D
【分析】根据抛物线图象开口方向判断 ，根据对称轴为 ，得到 ， ，根据图象可知抛物
线与 轴交于正半轴，可判断 ，据此可判断①②；根据 可得 ，即有 ，可判断
③；由二次函数的图象可知最大值在 时，即最大值为 ，据此解题可判断④．
【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，即 ，
对称轴为 ，
∴ ，∴ 且 ，
抛物线与 轴交于正半轴，
∴ ，
∴
故①正确，②正确；
③ ，
∵
∴ ，
故③正确；
④∵抛物线的对称轴为 ，
∴当x=1时，函数的最大值，且为 ，
∴ （m为任意实数）
∴ （m为任意实数），
故④正确；
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与y轴的交点、二次函
数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题根据．
7．D
【分析】由抛物线与x轴交点情况判断 与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据
对称轴及a的范围推理 的符号，根据当x＝1的函数值判断 的符号．
【详解】解：（1）根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，
∴ ；
故本选项正确；
（2）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）以下，
∴ ；故本选项错误；
（3）由图示，知对称轴 ；又函数图象的开口方向向下，
∴ ，
∴ ，即 ，
故本选项正确；
（4）根据图示可知，当x＝1，即 ，∴ ；故本选项正确；
综上所述，其中错误的是（2），共有1个；
故选：D．
【点睛】此题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二
次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题的关键．
8．B
【分析】利用抛物线开口方向以及与 轴的交点情况可对①进行判断；与对称轴的位置结合开口方向，则可对②
进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，则可对③进行判断；根据抛物线在
轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断．
【详解】解： 抛物线开口向下，
，
，
，所以①正确；
抛物线的对称轴为直线 ，
，
，所以②错误；
抛物线的对称轴为直线 ，
而点 关于直线 的对称点的坐标为 ，
方程 的两个根是 ， ，所以③正确；
当 时， ，所以④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握对于二次函数 ，二次项
系数 决定抛物线的开口方向和大小：当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数
和二次项系数 共同决定对称轴的位置：当 与 同号时（即 ，对称轴在 轴左；当 与 异号时（即 ，
对称轴在 轴右；常数项 决定抛物线与 轴交点位置，抛物线与 轴交于 ；抛物线与 轴交点个数由△决定：
△ 时，抛物线与 轴有2个交点；△ 时，抛物线与 轴有1个交点；△ 时，
抛物线与 轴没有交点．
9．B
【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项是正确
的．
【详解】解：A．一次函数y=ax+c中a＞0，c＞0，二次函数 中a＜0，c＞0，故选项A不符合题意；B．一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，二次函数 中a＜0，c＞0，故选项B符合题意；
C．一次函数y=ax+c中a＜0，c＜0，二次函数 中a＞0，c＜0，故选项C不符合题意；
D．一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，二次函数 中a＞0，c＜0，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，利用
数形结合的思想解答．
10．D
【分析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数
的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
【详解】解：由一次函数 可知，一次函数的图象与 轴交于点 ，排除 A、B ；
当 时，二次函数开口向上，一次函数的图象经过一、二、三象限，
当 时，二次函数开口向下，一次函数的图象经过二、三、四象限，
故排除C；
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与
系数之间的关系．
11．C
【分析】根据二次函数的图象、 与坐标轴的交点、对称性、顶点坐标以及与一元二次方程的关系等逐项判断即
可．
【详解】解：由图象可知，抛物线 与x轴有两个不同交点，
∴ ，
∴
故①正确；
∵抛物线 的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线 与x轴的另一个交点在（0，0），（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
故②正确；
∵对称轴x＝﹣1 ，
∴b＝2a，∵抛物线 的顶点为D(-1,3)，
∴y＝a－b＋c＝c－a＝3，
故③正确；
由②知， ，即c＝a＋3，
∵对称轴x＝﹣1 ，
∴b＝2a，
对于 来说，
，
∴方程 有两个不相等的实数根；
故④正确；
∵抛物线 开口向下，对称轴x＝﹣1，顶点为D(-1,3)，
当x＜﹣1时，y随x增大而增大，
∴当 时， ，
当x＞﹣1时，y随x增大而减小，
∴当 时， ，
当 时，无法判断 与 的大小关系，
故⑤错误，
综上：①②③④正确，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是正确判断的前提．
12．D
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x= ，利用x=1时，y=-6＜-4，则可判断抛物线的开口向
上，所以与x轴有两个交点，且在y轴两侧，则可对A、B选项进行判断；由于抛物线的对称轴为直线x= ，则根
据二次函数的性质可对C选项进行判断；利用y=a +bx+c与直线y=-2x-4的交点坐标为（0，-4），（1，-6），则
可对D选项进行判断．
【详解】解：∵抛物线经过点（0，-4），（3，-4），∴抛物线的对称轴为直线x= ，
而x=1时，y=-6＜-4，
∴抛物线的开口向上，与x轴有两个交点，且在y轴两侧，所以A、B选项都不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x= ，
∴当x＞ 时，y的值随x值的增大而增大，所以C选项不符合题意；
∵点（0，-4），（1，-6）在抛物线上，也在直线y=-2x-4上，
即y=a +bx+c与直线y=-2x-4的交点坐标为（0，-4），（1，-6），
∴方程a +bx+c=-2x-4的解为 =0， =1，
即方程a +（b+2）x+c=-4的解为 =0， =1，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=a +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标
问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
13．C
【分析】根据对称轴为x＝1可判断①；当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0即可判断②；根据开口方向，对称轴以及与y
轴交点即可判断③，求出A点坐标，根据图象即可判断④．
【详解】解：∵对称轴为x＝1，
∴x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故选项①正确；
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故选项②错误；
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故选项③错误；
∵对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），
∴A点坐标为：（3，0），∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故选项④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛
物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣ ；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两
个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
14．B
【分析】根据x=-1时，y>0，即可判断①；二次函数的图象与横轴有两个交点，再结合二次函数与一元二次方程的
关系可判断②；根据二次函数的性质与图象可判断③；由函数的对称轴为 ， ，则 ，再由函
数图象与纵轴交点位置得出c的正负，结合一次函数即可判断④
【详解】根据图象，x=-1时，y>0
即 故①正确
∵二次函数的图象与横轴有两个交点，
∴方程 一定有两个不相等的实数根，故②正确
在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，故③错误
∵函数的对称轴为 ，
∴
函数图象与纵轴交点在横轴的下方
∴c<0
∴bc>0
∴函数 的图象一定过第二象限，故④错误
故选：B
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的开口方向，对称轴，图象与坐标轴的交点性质与一
元二次方程的解的应用．
15．A
【分析】①由二次函数图象性质知，开口向下，则 ．再结合对称轴 ，得 ．据二次函数图象与
轴正半轴相交得 ；②由于二次函数图象与 轴交于不同两点，则 ，即 ；③由 ，得
，当 时， ，即 ，所以 ，把 替换成 计算；④ 时函数有最大值，
所以当 时的 值大于当 时的 值，即 ，所以 成立；⑤
将 轴下方二次函数图象翻折到 轴上方，则与直线 有四个交点即可，由二次函数图象的轴对称性知：关于
对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．【详解】解： 图象开口向下，
，
对称轴在 轴的右侧， 与 异号，
，
与 轴交于正半轴，
，
，
故①错误；
二次函数图象与 轴交于不同两点，则△ ．
．
故②错误；
，
．
又 当 时， ．
即 ．
．
．
．
故③正确；
时函数有最大值，
当 时的 值大于当 时的 值，
即
成立，
故④正确．
将 轴下方二次函数图象翻折到 轴上方，则与直线 有四个交点即可，
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，
故⑤错误．
综上：③④正确，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理
解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想是解题关键．
16．B
【分析】由 是等腰直角三角形， ，知 是等腰直角三角形，设 ，则，可得
，根据二次函数性质即可得到答案．
【详解】解： 是等腰直角三角形， ，
是等腰直角三角形，
设 ，则 ，
，
，
时， 最大，最大值是4，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是用含 的代数式表达 ，熟练应用二次函数性质解决问题．
17．D
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=- =1，则b=-2a，
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴ （m为任意实数），
∴ ，
∵a＜0，
∴ （m为任意实数）
故不正确，不符合题意；D．∵- =1，故b=-2a，
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜﹣ ，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
18．C
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
19．C
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x
轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】抛物线开口向上，则a＞0，故①正确；
由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ=b2-4ac＜0，故②错误；
由图象可知：抛物线过点（1，1），（3，3），即当x=1时，y=a+b+c=1，当x=3时，ax2+bx+c=9a+3b+c=3，则
8a+2b=2，即b=1-4a，4a+b=1，故③正确；
点（1，1），（3，3）在直线y=x上，由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y=x的下方，则ax2+（b-1）x+c
＜0的解集为1＜x＜3，故④正确；故答案为：C．
【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对
称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
20．D
【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即 的解集为：x<2或>4；方程
ax2+bx+c=x+h，即 的解为 或 ．据此即可求解．
【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即 的解集为：x<2或>4；故A、B、C
不符合题意；
方程ax2+bx+c=x+h，即 的解为 或 ，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
21．B
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=-2a＜0，抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c
＜0，可对①进行判断；通过点（-3，y）和点（4，y）离对称轴的远近对②进行判断；观察图象，抛物线与x轴
1 2
的一个交点−10，可得3a+c>0，故②正确；然后根据点离对
称轴水平距离越大，函数值y值越大，可得 ，故③错误；由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一个交点
为 ，从而得到抛物线解析式为 ，再令 ，可得 ，
如图，作直线 ，观察图像可得 ，故④正确；根据当抛物线的顶点到x轴的距离不小于 时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，可得 ，再由 ，
可得 ，从而得到关于a的不等式， ，故⑤错误；即可求解．
【详解】解：观察图像得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵图像的对称轴为直线 ．
∴ ，
∴b=-2a＜0，
∴ ，故①正确；
∵图像与 轴负半轴交于 ，
∴当x=-1时，y=a-b+c>0，
∴a+2a+c>0，即3a+c>0，故②正确；
∵抛物线开口向上，
∴点离对称轴水平距离越大，函数值y值越大，
又∵|-3-1|=4，|3-1|=2，|0-1|=1，
∴ ，故③错误；
由抛物线对称性得，抛物线与x轴另一个交点为 ，∴抛物线解析式为 ，
令 ，则 ，
如图，作直线 ，
观察图像得： ，故④正确；
根据题意得：点M、N到对称轴的距离均为 ，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于 时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，故⑤错误；
故选：B
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质，本题属于难度题．
23．①②④
【分析】根据与坐标轴的交点判断出①a＜0，根据图象与x轴交于两点判断②，根据对称轴和开口方向即可判断
③，根据抛物线与x轴的交点为（−2,0）和（m,0），分别在y轴两侧，且开口向下，判断出当x＜-2或者x＞m时，
函数值y＜0，即可判断④．
【详解】∵抛物线与x轴的交点为（−2,0）和（m,0），且 ，
∴抛物线图象与x轴的两个交点分别在y轴两侧，
又∵抛物线图象交于y轴正半轴，∴a＜0，故①正确；
∵抛物线图象与x轴交于两点，
∴一元二次方程 有两个不相等的根，
∴ ，
∵a＜0，
∴ ，故②正确；
∵图象与x轴交于A（−2,0）和B（m,0），其中2＜m＜4，
令当m=2时，即有B（2,0），此时对称轴为： ，
当m=4时，即有B（4,0），此时对称轴为： ，
∴抛物线的对称轴的范围为： ，
当对称轴接近x=0时，即对称轴离点A更近，有 ，
当对称轴接近x=1时，即对称轴离点B更近，有 ，
∴ 与 的大小不能判断，故③错误；
∵抛物线与x轴的交点有一个为（−2,0），
∴4a−2b＋c＝0，
∴4b＝8a＋2c，
∵抛物线与x轴的交点为（−2,0）和（m,0），且 ，
又∵上述两个交点分别在y轴两侧，且开口向下，
∴当x＜−2或者x＞m时，函数值y＜0，
∴当x＝4时，y＜0，
∴16a+4b+c＜0，
∴ ，
∴c+8a＜0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据图象与坐标轴的交点坐标判断出a是负数是解题的关键，
结论④的判断有点难度，根据抛物线与x轴的交点为（−2,0）和（m,0），分别在y轴两侧，且开口向下，判断出
当x＜-2或者x＞m时，函数值y＜0，是关键．
24．2【分析】先求出A的坐标，再根据抛物线的对称性可以求出B的纵坐标，再根据 可知B点是CD的中点，
推出C的纵坐标，利用顶点坐标公式列方程即可求出m的值．
【详解】解：由题意得：A（0，2）
∵ 轴
∴
∴
如图，过点C作CE⊥x轴于E，交AB于点F，则EF=OA=2
∵直线BC与x轴交于点D，且
∴B为CD的中点
由于FB∥AB
∵ ，即CF=2
∴
又∵C为抛物线的顶点
∴
∴
解得：
∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴m＞0
∴ ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，抛物线的对称性．巧用抛物线的对称性可以帮助我们快速的解题．
25．①②##②①
【分析】①正确，判断出a，b，c的正负，可得结论；②正确．利用对称轴公式可得，b=-2a，当x=-1时，y>0，
解不等式可得结论；③错误．当m=1时，m（am+b）=a+b；④错误．应该是 ；⑤错误．当有四个交点时，方程 的所有根的和为4．当有3个交点时，
方程 的所有根的和为4，当有2个交点时，方程 的所有根的和为2．即可．
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．
∴c=-1， ，
∴ ，
∴abc＞0，故①正确；
∵ ，与y轴交于（0，﹣1）， ，
∴c=-1，
∴抛物线解析式为 ，
当x=-1时，y＞0，
即 ，
∴a＞ ，故②正确；
当m=1时，m（am＋b）=a＋b，故③错误；
∵点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，
∴ ，
∵点 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离，
∴ ，
∴ ，故④错误；
∵方程 的解是函数 与直线y=k的交点的横坐标，
∵ ，c=-1，
∴ 或 ，
当有4个交点时，设函数 与直线y=k的交点的横坐标为 ， ，∴ ， ，
∴ ，即此时方程 的所有根的和为4．
当有3个交点时，设函数 与直线y=k的交点的横坐标为 ， ，
∴ ，
此时方程 的所有根的和为4．
当有2个交点时，设函数 与直线y=k的交点的横坐标为 ，
∴ ，
此时方程 的所有根的和为2．故⑤错误；
故选∶A
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26． ；
【分析】根据抛物线的对称轴以及其与x轴的一个交点坐标，即可求出另一个交点的坐标，再结合抛物线的图形
即可判断，图象在x轴下方时的自变量取值范围．
【详解】解：∵ 的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
由图可知，抛物线开口向上，
∴当 时，y＜0．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了抛物线的图象和性质以及结合图形求解的自变量取值范围的知识．根据抛物线的对称轴以及
其与x轴的一个交点坐标，求出另一个交点的坐标，是解答本题的关键，
27．①②④
【分析】由题意易得 ， ，抛物线与x轴的一个交点坐标为 ，进而可得抛物线的对
称性可得与x轴的另一个交点坐标为 ，然后问题可进行求解．
【详解】解：由抛物线 经过点（－2，0），且对称轴为直线 ，可得：， ，
∴ ，故①错误；
∴根据抛物线的对称性可得与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴当x=2时，则有 ，
∵当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴ ，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴横坐标是1-n的点的对称点的横坐标为1+n，
若n＞m＞0，
∴1+n＞1+m＞1，
∴x=1+m时的函数值大于x=1-n时的函数值，故③错误；
∵b=-2a，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－2，0），
∴ ，即 ，
∴ ，
∴点 一定在此抛物线上，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
28．9
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴，从而可得AB长度，由抛物线的对称性可得点D，C的坐标，从而可
得m的值，由四边形ABCD的面积为 （AB+CD）•OA求解．
【详解】解：∵y＝﹣x2+4x+m，
∴抛物线对称轴为直线x 2，
∴AB＝4，
∵AB+CD＝6，
∴CD＝6﹣4＝2，
∴由抛物线的对称性可得点D坐标为（1，0），点C坐标为（3，0），
将（1，0）代入y＝﹣x2+4x+m得0＝﹣1+4+m，
解得m＝﹣3，
∴OA＝3，∴四边形ABCD的面积为 （AB+CD）•OA 6×3＝9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，二次函数图象与系数的关系．
29．②③##③②
【分析】本题只需逐个判断；
①需要先判断 ，a，b，c的符号，然后确定 是否大于0；
②可以先找到点P关于抛物线的对称轴对称的点，再利用二次函数增减性比较函数值；
③可以利用对称轴和点A坐标找到a，b，c之间的关系，从而简化不等式 ，再利用函数图像求出它
的解集；
④假设存在这样的点B，取AC的中点D，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知 ，设出
点B利用这个关系式建立方程看是否有解，有解则存在这样的点B，无解则不存在．
【详解】解：①由图可知二次函数 的图象与x轴有两个交点，
∴ ，
∴ ．
又∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴左边，
∴ ．
又∵抛物线与y轴交点在原点上方，
∴ ，
∴ ，
∴①错误，不符合题意；
②因为对称轴是直线x＝﹣1，
∴ 关于直线x＝﹣1对称的对称点是 ．
又∵ ，
∴当x>﹣1时，y随着x的增大而减小．
又∵ ，
∴ ，∴②正确，符合题意；
③∵二次函数 的图象经过点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴a+b+c=0， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
或 ，无解，
∴ 的解集为 ，
∴③正确，符合题意；
④取AC的中点D，
由③可知 ，
∴二次函数解析式可化为 ，
∴点C坐标为 ．
又∵ ，点是AC的中点，
∴D ， ．假设在对称轴上存在一点B ，使得 ABC是以AC为斜边的直角三角形，
△
则有 ，且 ，
∴
整理得： ，其中a<0，
∴当 ，即 或 时,方程 有解，
∴当 时，不存在这样的点B，
当 时，存在这样的点B．
∴④不一定存在这样的点B，不符合题意．
综上所述：一定正确的是：②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了二次函数a，b，c， 的符号判定，二次函数的图像与性质，一元二次不等式的解集，直角三
角形存在性问题，掌握转化思想是本题解题的关键．
30．
【分析】作 轴交MD于 ，如图，证明B点和 关于x轴对称，再解方程 得M（﹣2，
0），N（4，0），接着求出B点坐标，从而得到 （2，﹣2），利用待定系数法求出直线MD得解析式为y x
﹣1，然后通过解方程组 得D（6，﹣4），最后证明 得到P点坐标．
【详解】解：作 轴交MD于 ，如图，∵∠BMN＝∠NMD，
∴MN垂直平分BB′，
∴B点和 关于x轴对称，
当y＝0时， ，解得x＝﹣2，x＝4，
1 2
∴M（﹣2，0），N（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y ＝2，
∴A（0，2），
∵点B与点A关于直线x＝1对称，
∴B（2，2），
∴ （2，﹣2），
设直线MD的解析式为y＝kx+b，
把M（﹣2，0）， （2，﹣2）代入得 ，
解得 ，
∴直线MD得解析式为y x﹣1，
解方程组 ，
∴D（6，﹣4），
∵∠BMN＝∠NMD，∠MDP＝∠BMN，
∴∠NMD＝∠MDP，
∴ ，
∴P点坐标为（0，﹣4）．故答案为（0，﹣4）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 （a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐
标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
