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第12 章 全等三角形（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，△AOC≌△DOB，AO＝3，则下列线段长度正确的是（ ）
A．AB＝3 B．BO＝3 C．DB＝3 D．DO＝3
2．（2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）如图，已知 ， ，不能使
的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图， ，并且 ，那么下列结论错误的是（
）
A． B． C． D．
4．（2021秋·天津河西·八年级统考期中） ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确
的是（ ） △A．BD = DC B．BE⊥AC
C．FA = FB D．点F到三角形三边的距离都相等
5．（2023春·陕西汉中·八年级统考期中）如图， 于点 于点 ，若 ，则
的理由是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，正方形 的顶点 在直线 上，将直线 向上平移线段
的长得到直线 ，直线 分别交 ， 于点 ， ．若求 的周长，则只需知道（（ ）
A． 的长 B． 的长 C． 的长 D．DF的长
7．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，过点A作MN⊥AD．若
点E是直线MN上异于点A的一点，连结BE、CE，设△ABC的周长为 ，△EBC的周长为 ，则 与
的大小关系为（ ）A． B． C． D．无法判断
8．（2022秋·湖北·八年级统考期中）如图，点 是等腰 中直角边 延长线一点，过
点 作 于点 ，若 ，则 =（ ）
A． B．2 C． D．
9．（2022秋·重庆·八年级重庆十八中校考阶段练习）如图，在 中， ，点 为 上的点，
连接 ，点 在 外，连接AE，BE，使得 ， ，过点 作 交 点 ，
若 ， ，则 （ ）
A．49° B．59° C．41° D．51°
10．（2023春·七年级单元测试）如图，一个“U”字形框架 ， 于点B， 于点C，
，点M在线段 上，点E，F分别在射线 ， 上，若 ，要使 与
全等，则线段 的长度为（ ）A． B．18或 C． D．6或
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图， ， 于C， ，
，则 cm． ．
12．（2022秋·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图，工人师傅用角尺平分 ．做法：在 上
取 ，同时保证 与 的刻度一致（即 ），则 平分 ，这样做的依据是
（填全等三角形的一种判定方法）．
13．（2023春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）如图，在 中， ，以顶点A为圆心，适
当长为半径画弧，分别交 ， 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，
两弧交于点P，作射线 ，交边 于点D，若 ， ，则 的面积是 ．14．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， 是 边上的中线， ， ，则
的取值范围是 ．
15．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图， 是 的中线，延长 至 ，使得 ，连接
， ，点 在 的平分线上，且 ．设 ，则
（用含 、 的式子表示）
16．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点E、F都在线段AB上，分别过点A、B作AB的垂线AD、
BC，连接DE、DF、CE、CF，DF交CE于点G，已知AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5．如果△DEG的
面积为S，△CFG的面积为S，则S﹣S＝ ．
1 2 1 2
17．（2023春·江西抚州·七年级校联考期中）如图， 中， ， 于点H， ，
，过点C作 且 ， 于点E，则18．（2022秋·广东东莞·八年级东莞市石碣袁崇焕中学校考期中）如图，在 ABC中，AC=BC，
∠ABC=54°，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，CE与AD交于点F，G为 A△BC外一点，∠ACD=∠FCG，
∠CBG=∠CAF，连接DG．下列结论：① ACF≌ BCG；②∠BGC=117°；△③S ACE=S CFD+S BCG；
△ △ △
④AD=DG+BG．其中结论正确的是 △ △ （只需要填写序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023春·广东清远·八年级统考期末）将下面证明中每一步的理由写在括号内．
如图，有两个长度相等的滑梯 与 ，左边滑梯的高度 与右边滑梯水平方向的长度 相等，求证：
．
证明： ，
，（已知）
（ ）．
（ ）．
（ ）．（ ）．
20．（8分）（2021·北京门头沟·统考二模）已知：如图， ， ，请补充一个条件可以得
到 ．
补充的条件：__________________；
证明：
21．（10分）（2023春·七年级课时练习）如图，已知AF与BE相交于点O，C、D分别是AF与BE上的
两点，EF∥AB，并且∠A+∠ACD＝180°．
（1）请说明CD∥EF的理由；
（2）分别连结CE、DF，若OE＝OF，请说明△ECD≌△FDC的理由．
22．（10分）（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）已知：如图1，四边形中， 平分 ，和 都是直角．
（1）试说明： ．
（2）若将原题中的已知条件“ 和 都是直角”改为“ 和 互为补角”，其余条件不变，如图
2，猜想： 边和邻边 的长度是否一定相等？请说明理由．
23．（10分）（2023春·河南郑州·七年级统考期末）在一次主题为“神奇的等腰直角三角板”的数学探究
活动中，卓越小组做出了如下研究：
（1）小组中动手操作能力最强的小华同学用10块高度都为 的小长方体黑白积木，垒了两堵与地面垂
直的木墙 （点 在同一平面内），两堵木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（
），点 在 上，点 与点 分别与木墙的顶端重合，小华说无需测量便可直接
求出两堵木墙之间的距离 ，请你帮小华写出求解过程．
（2）小组中探索能力最强的小聪同学先画了一个四边形 ，其中 ， ， ，
，接着小聪以点 为直角顶点，画出 的等腰直角三角板 ，连接 ，探索中发现无论
以及 的长度怎么变化， 的面积始终不变，请直接写出 的面积．24．（12分）（2023春·福建三明·七年级统考期中）如图， 中， ， ，
， ， ．
(1)①说明 ；
②小明在观察图形中感觉 似乎与 垂直，为了验证自己的猜想，他延长 与 交于点 ，用量角
器度量了 ，测得它几乎就是 ，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小
明的猜想是正确的．
（2）用尺规作图在原图外部取点 ，使 ，并请说明：点 ， ， 这三个点在同一直线上．参考答案
1．D
【分析】根据全等三角形的对应边相等，即可求解．
【详解】解：∵△AOC≌△DOB，AO＝3，
∴DO=AO=3．
故选：D
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关
键．
2．A
【分析】根据 ，可得 ，根据 ，可得 ，由等角的补角相等可得
，然后根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解： ，
，
，
，．
A、添加 时，不能判定 ，故选项符合题意；
B、添加 ，根据 ，能判定 ，故选项不符合题意；
C、由 可得 ，所以添加 ，根据 ，能判定 ，故选项不符合
题意；
D、添加 ，根据 ，能判定 ，故选项不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即 、 、
、 ，直角三角形可用 定理，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相
等时，角必须是两边的夹角．
3．A
【分析】根据全等三角形的性质得出 ， ， ，根据平行线的判定得
出 ， 即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ， ，
即只有选项A错误，选项B、选项C、选项D都正确；
故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，注意：①全等三角形的对应角相等，对应边相等，
②内错角相等，两直线平行．
4．D
【分析】根据角平分线的性质即可得．
【详解】解： 是 的角平分线，
点 到边 的距离相等，
同理可得：点 到边 的距离相等，
点 到 三边的距离都相等，
因为不能确定 的形状，所以选项 均不一定正确，
故选：D．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．5．B
【分析】由直角三角形全等的判定方法“ ”，即可判断．
【详解】证明： 于点 ， 于点 ，
，
在 和 中，
，
，
的理由是 ．
故选：B．
【点拨】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法： ．
6．A
【分析】过 作 于 ，连接 ， ，然后利用已知条件可以证明 )，
)，接着利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：过 作 于 ，连接 ， ，
直线 向上平移线段 的长得到直线 ，
，
而 ， ，
)，
，
同理 )，
，
的周长为： ．
求 的周长，则只需知道 的长．
故选：A．【点拨】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，掌握
平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
7．C
【分析】延长 至F， ，连接 ，得出 ，再证明 ，得出
， ，根据三角形三边关系得出 ，进而得出
即 ，得出答案．
【详解】如图，延长 至F， ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
故选：C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．
8．B
【分析】由 可证 ，可得 ，由 可证 ，可得 ，
即可求解．
【详解】解：如图，延长 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．C
【分析】先证明△ABE≌△BCD，可得∠BAE=∠CBD，再利用直角三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BAE=∠CBD，
∵∠BAE=21°，∠C=28°，
∴∠CBD=21°，
∴∠BDF=∠CBD+∠C=21°+28°=49°，
∵BF⊥AC，
∴∠BFD=90°，
∴∠FBD=90°-∠BDF=90°-49°=41°．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，判断出
△ABE≌△BCD是解本题的关键．
10．B
【分析】设 ， ，分 ， 两种情况，得出对应边相等，根
据 列出方程，分别求解即可．【详解】解：设 ， ，
若 ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，即 ；
若 ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，即 ；
∴ 的长度为18或 ，
故选B．
【点拨】本题考查全等三角形的性质及分类讨论思想，正确分类才不会漏解．
11． 5
【分析】根据全等三角形的性质分析求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ 于C， ，
∴ ，
故答案为：5； ．
【点拨】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题关键．
12． （或边边边）
【分析】由三边对应相等得 ，则 ，即由 判定三角形全等．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 平分 ，这样做的依据是 （或边边边），
故答案为： （或边边边）．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握三角形全等的判定方法．
13．18
【分析】过D点作 于H，如图，由作法得 平分 ，根据角平分线的性质得到
，然后利用三角形面积公式计算．【详解】解：过D点作 于H，如图，
由作法得 平分 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积= ．
故答案为：18．
【点拨】本题考查了作图——作已知角的角平分线，角平分线的性质，利用角平分线的性质求出 中
边上的高是解题的关键．
14．
【分析】延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ，进而根据三角形三边关系
即可求解．
【详解】解：如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
为 边上的中线，
，
在 和 中，
，
，，
， ，
，
的取值范围是： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了倍长中线，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，掌握全等三角形的性质与判
定是解题的关键．
15． 或
【分析】先证明△BDC≌△EDA（SAS），可得∠C＝∠EAD，根据三角形的内角和定理表示出∠AFB，再分
射线BF在∠DBC内部，射线BF在∠DBC外部，分别表示出∠DBF，即可表示出∠AFB的度数．
【详解】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝DC，
∵在△BDC和△EDA中 ，
∴△BDC≌△EDA（SAS），
∴∠C＝∠EAD，
∵点F在∠DAE的平分线上，
∴∠FAD＝ ∠EAD＝ ∠C，
∵∠ADB＝α，∠DBC＝β，
∴∠C＝α−β，∠DAB＋∠DBA＝180°−α，
∴∠FAD＝ （α−β），
∴∠AFB＝180°−∠FAB−∠FBA
＝180°−∠DAB−∠DBA−∠FAD−∠FBD
＝180°−（180°−α）− （α−β）−∠FBD
＝ α＋ β−∠FBD
∵∠FBC＝ ∠DBC＝ β，当射线BF在∠DBC内部时，
∴∠FBD＝ β，
∴∠AFB＝ α＋ β− β＝ α；
当射线BF在∠DBC外部时，
则∠FBD＝ β，
∴∠AFB＝ α＋ β− β＝ α−β，
综上，∠AFB＝ α或 α−β，
故答案为： α或 α−β．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等，熟练掌握这些
知识是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．
16．
【分析】先根据AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5，得到AF＝BE，AD＝AF＝7.5，然后证△ADE≌△BEC
得到S DAE＝S CBE，即可推出S＝S DAF﹣S DAE﹣S EFG，S＝S CBE﹣S EFG﹣S CBF，则S﹣S＝
1 2 1 2
△ △ △ △ △ △ △ △
S DAE+S CBF由此求解即可
△ △
【详解】解：∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴∠A=∠B=90°
∵AD＝BE＝7.5，AE＝BF＝CB＝2.5，
∴AF＝BE，
∴AD＝AF＝7.5，
在 ADE和 BEC中，
△ △
，
∴△ADE≌△BEC（SAS），
∴S DAE＝S CBE，
△ △
∵S＝S DAF﹣S DAE﹣S EFG，S＝S CBE﹣S EFG﹣S CBF，
1 2
△ △ △ △ △ △∴S﹣S＝S DAE+S CBF＝ ．
1 2
△ △
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
17．52
【分析】只要证明 ≌ ，推出 ， ，推出 ，设 ，
则 ，根据三角形的面积公式构建方程求出x即可；
【详解】解： ， ， ，
，
， ，
，
，
≌ ，
， ，
，设 ，则 ，
，
或 舍弃 ，
，
，
故答案为52．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解
决问题，属于中考常考题型．
18．①②④
【分析】根据条件求得∠BAC=∠ABC=54°，∠ACB=72°，∠ACE=∠BCE=36°，∠CAF=∠BAF =27°，利用
ASA证明 ACF≌ BCG，再根据SAS证明 CDF≌ CDG，据此即可推断各选项的正确性．
【详解】△解：在△ABC中，AC=BC，∠AB△C=54°，△
∴∠BAC=∠ABC=5△4°，∠ACB=180°-54°-54°=72°，∵AC=BC，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，
∴∠ACE=∠BCE= ∠ACB=36°，∠CAF=∠BAF= ∠BAC=27°，
∵∠ACD=∠FCG=72°，
∴∠BCG=∠FCG-36°=36°，
在 ACF和 BCG中， ，
△ △
∴ ACF≌ BCG(ASA)；故①正确；
∴△∠BGC=∠△AFC=180°-36°-27°=117°，故②正确；
∴CF=CG，AF=BG，
在 CDF和 CDG中， ，
△ △
∴ CDF≌ CDG(SAS)，
∴△DF= DG△，
∴AD=DF+AF=DG+BG，故④正确；
∵S CFD+S BCG= S CFD+S ACF = S ACD，
△ △ △ △ △
而S ACE不等于S ACD，故③不正确；
△ △
综上，正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题，
19． ；全等三角形的对应角相等；直角三角形的两锐角互余；等量代换
【分析】根据全等三角形的判定及性质即可完成证明过程．
【详解】证明： ，
，（已知）
（全等三角形的对应角相等）．
（直角三角形的两锐角互余）．（等量代换）．
故答案为： ；全等三角形的对应角相等；直角三角形的两锐角互余；等量代换.
【点拨】本题考查全等三角形的判定定理（ ）与全等三角形的性质、直角三角形的两锐角互余．掌握
定理内容是解题的关键．
20．∠A=∠D，见解析
【分析】填一个条件，可以根据“边角边”判断 即可．
【详解】填∠A=∠D，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟记全等三角形的判定定理，正确添加条件．
21．(1)理由见解析；
(2)理由见解析
【分析】（1）根据平行线的判定和性质就即可；
（2）根据等式的性质和平行线的性质得出CF＝DE，进而利用SAS证明全等即可．
【详解】（1）∵∠A+∠ACD＝180°，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）∵OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE，
∵ ，
∴∠OEF＝∠ODC，∠OFE＝∠OCD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴OC＝OD，
∴OC+OF＝OD+OE，
即CF＝DE，
在△ECD和△FDC中，，
∴△ECD≌△FDC（SAS）．
【点拨】此题考查全等三角形的判定，关键是根据平行线的性质和全等三角形的判定方法解答．
22．(1)见解析
(2) 边和邻边 的长度一定相等，理由见解析
【分析】（1）连接 ，由 平分 得到 ，由 和 都是直角得到 ，
根据 即可得到结论；
（2）过点C作 于点E，过点C作 交 的延长线于点F，证明 ，
则 ，再证明 ，即可得到 ．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 和 都是直角，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解： 边和邻边 的长度一定相等，理由如下：
过点C作 于点E，过点C作 交 的延长线于点F，
则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴
【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质、添加适当的辅助线是
解题的关键
23．(1) ，求解过程见解析
(2) 的面积为
【分析】（1）由题中图形，结合“一线三垂直”模型，证明 ，从而由两个三角形全等的性质得到 ， ，则 ；
（2）过点 作 交 于 ，过点 作 于 ，如图所示，由（1）的解答过程，证得
，得到 ，过点 作 于 ，如图所示，由平行线间的距离相等，
得到 ， ，进而利用三角形面积公式求出 的面积为 即可得到答案．
【详解】（1）解： 10块高度都为 的小长方体黑白积木，垒了两堵与地面垂直的木墙 ，如
图所示：
， ，
， ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
， ，
；
（2）解：过点 作 交 于 ，过点 作 于 ，如图所示：∵ ，
∴ ，
， ，
， ，
，
在 和 中， ，
，
，
， ，
，
在四边形 中， ，
由平行线间的距离相等得到 ， ，
过点 作 于 ，如图所示：
，，
，即 为 底边 上的高，
,
无论 以及 的长度怎么变化， 的面积始终不变， 的面积为 ．
【点拨】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握“一线三垂直”模型中全等的判定与性质、掌握平行
线的判定与性质、平行线间的平行线段相等等知识是解决问题的关键．
24．(1)①见解析；②见解析
(2)图见解析，见解析
【分析】（1）由 ， ，可得 ，即得 ，即可证明
；延长 ， 交于点 ，由 ， ，可得 ，故
，由 知 ，可得 ，因
，即可证明；
（2）根据作一个角等于已知角的步骤 即可，由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线
平行，可知点 ， ， 这三个点在同一直线上．
【详解】（1）解：①∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ．
②理由：分别延长 ， 交于点 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，即 ．
（2）解：①以E为圆心，任意长为半径画弧交 于M，交 于N，②以B为圆心， 的长为半径画
弧交 于K，③以K为圆心， 的长为半径画弧，交前弧于G，④作射线 ，则 即为所求；
∵ ，
∴ ，
由（1）②知， ，
∴过B的直线 都与 平行，
∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴点 ， ， 这三个点在同一直线上．
【点拨】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质, 平行线的判定与性质，尺规作图等知
识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
