文档内容
专题强化训练：不等式（组）的解和实际应用综合性问题
一、单选题
1．（2023春·北京通州·七年级统考期中）如果关于x的不等式组 的整数解只有2个，
那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式组的整数解的个数，即可确定m的取值范围．
【详解】 关于x的不等式组 的整数解只有2个，
整数解为 和
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解，能够根据整数解的个数确定未知数的范围是
解题的关键．
2．（2023春·河南洛阳·七年级统考期中）若关于x，y的方程组 的解满足不
等式 ，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由①－②得， ，根据 得到 ，解不等式即可得到
答案．
【详解】解：
①－②得， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
故选：A
【点睛】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的解法等知识，熟练掌握方程组的
解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．
3．（2023春·四川宜宾·七年级四川省宜宾市第二中学校校考期中）已知方程组
的解满足 ，则m的范围是 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】把两个方程相加，结合不等式求解即可．
【详解】解： ，
由①+②，得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法——加减法，解一元一次不等式，通过两方程
相加来得到参数 的不等式是解题的关键．
4．（2023春·四川宜宾·七年级校联考期中）如果不等式 的解集为 ，那么
a满足的条件是（ ）
A．a>0 B．a<-2 C．a>-1 D．a<-1
【答案】D
【分析】根据所给的不等式的解集为 ，可知 的系数为负，那么 ，从而可得
满足的条件.
【详解】解： 不等式 的解集为
即
故选D
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是注意不等式性质3的使用．
5．（2023春·河南洛阳·七年级统考期中）若关于x的一元一次不等式组 有且只
有四个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A． B． C．2 D．0
【答案】B
【分析】先解不等式组，再由不等式有且只有4个整数解确定出整数k的值即可求解．
【详解】解： ，
解得 ，
∵不等式组有且只有四个整数解，∴ ，
∴ ，
∵k是整数，
∴ ，
∴所有整数k的和为： ．
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答
本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．
不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
6．（2023春·江苏·七年级期末）春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升
学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动，
决定用不超过4200元购买甲、乙两种树苗共100颗，已知甲种树苗每颗45元，乙种树苗
每颗38元，则至少可以购买乙种树苗（ ）
A．42颗 B．43颗 C．57颗 D．58颗
【答案】B
【分析】设购买乙种树苗 棵，根据用不超过4200元购买甲、乙两种树苗共100颗，列出
不等式求解即可．
【详解】解：设购买乙种树苗 棵，则购买甲种树苗 棵，
由题意得： ，
解得： ，
为正整数，
最小取43，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到不等量关系．
7．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某学校为了开展好课后服务，计划用不超过
元的资金购买足球，篮球和排球，将它们用于球类兴趣班，已知足球，篮球，排球
的售价分别为 元， 元， 元，且根据参加球类兴趣班的学生总数了解到以下两项信
息：①篮球的数量必须比足球的数量多 ；②排球数量必须是足球数量的 倍，则学校最
多能购买足球（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】设足球 个，则篮球 个，排球 个，由用不超过 元的资金购买足球、
篮球和排球，列出不等式，即可求解．【详解】解：设足球 个，则篮球 个，排球 个，
由题意可得： ，
解得： ，
为正整数，
最大取 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，找出正确的不等关系是解题的关键．
8．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）关于 的不等式组 有且仅有 个整
数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式有且仅有 个整数解得出
答案即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
所以不等式组的解集是 ，
关于 的不等式组 有且仅有 个整数解 是 ， ， ， ， ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于 的不等式 是解此题的
关键．
9．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）若关于x的不等式组
最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程 的解为
非正数，则符合条件的所有整数k的和为（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
【答案】B
【分析】分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有
整数k，再将它们相加，即可得出结果．【详解】解：由 ，可得： ，
∵关于x的不等式组 最多有2个整数解，
∴ 或无解，
∵不等式组的整数解最多时为：1，2，
∴ ，解得： ；
解 ，得： ，
∵方程的解为非正数，
∴ ，解得： ，
综上： ，
符合条件的 的整数值为： ，和为 ；
故选B．
【点睛】本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组
的解集和方程的解，是解题的关键．
10．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）定义一种法则“*”：
，如： ．若 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意知， ，由 ，可
得 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
∵ ，∴ ，
解得， ，
故选A．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式．解题的关键在于理解题意．
二、填空题
11．（2023春·山西临汾·七年级统考期中）为了有效落实双减工作，切实做到减负提质，
很多学校高度重视学生体育锻炼，并不定期举行体育比赛已知在一次足球比赛中计分规则
是∶胜一场积3分，平一场积1分，负1场积0分，若甲队比赛了5场，其中负1场，积分
超过7分，则甲队至少胜了__场．
【答案】2
【分析】设该队获胜 场，则平 场，利用总得分 获胜场次数 平的场次数，
即可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解∶设该队获胜 场，则平 场，
依题意得∶ ，
解得∶ ，
∴ 最小取 ，
∴甲队至少胜了 场．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式是
解题的关键．
12．（2023春·重庆北碚·七年级重庆市朝阳中学校考期中）已知不等式组 的解
集为 ，则 ________．
【答案】
【分析】先求出方程组的解集为 ，进而得到 ，求出a、b的值，
然后代值计算即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，∵不等式组 的解集为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，代数式求值，正确求出
不等式组的解集，进而得到关于a、b的方程是解题的关键．
13．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）关于x，y的二元一次方程
组 的解x，y满足 ，则a的取值范围是________．
【答案】 /
【分析】解方程组，得到 因此可得 ，解得 ．
【详解】解： ，
得： ，
得： ，
解得 ，
把 ，代入①，解得
，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了不等式与方程组结合问题，熟练计算求出 ，是解题的关键．
14．（2023春·安徽合肥·七年级统考期中）已知关于 的不等式组 仅有两个整数解，则整数 的值是________．
【答案】
【分析】先解不等式组，得出不等式组的解集，再根据不等式组仅有两个整数解，即可得
出答案．
【详解】解不等式组 ，得： ，
∵不等式组仅有两个整数解，即0， ，
∴ ，
∴整数 的值是 ，
故答案是 ．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，利用不等式组的整数解的个数，确定
的取值范围是解题的关键．
15．（2023春·河南洛阳·七年级统考期中）数学符号是数学语言中区别于本土语言的特有
字符，它表示一定的含义．设数学符号 表示大于x的最小整数，如 ， ，
则下列结论：① ；②当x是有理数时， 成立；③ 可能为负值；④若x
满足不等式组 ，则 的值为0．其中正确结论的个数是_________．
【答案】3
【分析】根据题意 表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．
【详解】解：① ，故本项正确；
②当x是有理数时， 成立，故本项正确；
③ ，但是取不到0，故本项错误；
④不等式组 的解集为 ，则 的值为0，故本项正确．
所以，正确结论的个数是3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的运用，实数的运算，仔细审题，理解 表示大于
x的最小整数是解答本题的关键．
16．（2023春·江苏·七年级期末）为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某
中学举行了以二十大精神为主题的知识竞赛，一共有20道题，答对一题得5分，不答得0
分，答错一题倒扣2分，璐璐有1题没答，大赛组委会规定总得分不低于80分获奖，璐璐
要想获奖，最多只能错______道题．
【答案】2【分析】设璐璐错 道题，则答对了 题，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：设璐璐错 道题，则答对了 题，
根据题意得： ，
解得： ，
为正整数，
的最大值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键．
三、解答题
17．（2023春·河南洛阳·七年级统考期中）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强
中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批
篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需
费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．
那么有哪几种购买方案？
【答案】(1)篮球的单价为120元，足球的单价为90元
(2)学校一共有四种购买方案：方案一：篮球30个，足球20个；方案二：篮球31个，足球
19个；方案三：篮球32个，足球18个；方案四：篮球33个，足球17个
【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共
需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从
而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
由题意可得： ，解得 ，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）解：设采购篮球m个，则采购足球为（50-m）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴ ，
解得30≤x≤33 ，∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是
明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
18．（2022春·江西宜春·七年级统考期末）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．
某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆
件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂
件的数量．
(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，
若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩
墩”挂件不能超过多少个？
【答案】(1)购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
(2)购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
【分析】（1）设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，利用总价=单价×数量，
结合购买“冰墩墩”摆件和“冰墩墩”挂件共180个且共花费11400元，即可得出关于x，
y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，利用总价=单价×
数量，结合至少盈利2900元，即可得出关于m的不等式，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，
依题意得： ，
解得： ，
答：购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
（2）解：设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，
依题意得：（100-80）（180-m）+（60-50）m≥2900，
解得：m≤70，
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
19．（2023春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考期中）新定义：若一元一次方
程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方
程”，例如：方程 的解为 ，而不等式组 的解集为 ，不难发现
在 的范围内，所以方程 是不等式组 的“相依方程”．
(1)在方程① ；② ；③ 中，不等式组
的“相依方程”是________；（填序号）
(2)若关于x的方程 是不等式组 的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程 是关于x的不等式组 的“相依方程”，且此时
不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)①
(2)
(3)
【分析】（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；
（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组 解不等式组可得答案；
（3）先解不等式组可得 再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值
为： 再求解 而 为整数，则 可得 再解方
程可得 可得 解得 从而可得答案．
【详解】（1）解：① ，
整理得： 解得：
② ，
解得：
③ ，解得：
解不等式 可得：
解不等式 可得：
所以不等式组的解集为：
根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．
故答案为：①
（2）解：
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
，
根据“相依方程”的含义可得：
解得：
（3）解：
由①得：
由②得：
∴不等式组的解集为：
此时不等式组有5个整数解，
令整数的值为：
∴则
解得： 而 为整数，则
因为 ，
解得：
根据“相依方程”的含义可得：
解 可得：
而 恒成立，
所以不等式组的解集为：
综上：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的
“相依方程”是解题的关键．
20．（2022春·山东日照·七年级校考期末）某电器超市销售每台进价分别为 元、 元
的 、 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售数量
销售时
销售收入
段
种型号 种型号
第一周 台 台 元
第二周 台 台 元
（进价、售价均保持不变，利润 销售收入 进货成本）
(1)求 、 两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 台，求 种型号的
电风扇最多能采购多少台？
(3)在 的条件下，超市销售完这 台电风扇能否实现利润为 元的目标？若能，请给
出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【答案】(1) 、 两种型号电风扇的销售单价分别为 元、 元
(2)超市最多采购 种型号电风扇 台时，采购金额不多于 元
(3)在 的条件下超市不能实现利润 元的目标
【分析】（1）设 、 两种型号电风扇的销售单价分别为 元、 元，根据 台 型号
台 型号的电扇收入 元， 台 型号 台 型号的电扇收入 元，列方程组求解；
（2）设采购 种型号电风扇 台，则采购 种型号电风扇 台，根据金额不多余
元，列不等式求解；
（3）设利润为 元，列方程求出 的值为 ，不符合 的条件，可知不能实现目标．
【详解】（1）设 、 两种型号电风扇的销售单价分别为 元、 元，
依题意得： ，
解得： ，
答： 、 两种型号电风扇的销售单价分别为 元、 元；
（2）设采购 种型号电风扇 台，则采购 种型号电风扇 台．
依题意得： ，
解得： ．
答：超市最多采购 种型号电风扇 台时，采购金额不多于 元；
（3）依题意有： ，
解得： ，
，
在 的条件下超市不能实现利润 元的目标．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题
意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解
21．（2022春·吉林长春·七年级东北师大附中校考期中）已知方程组 中 为
非正数， 为负数.
(1)求 的取值范围；
(2)在 的取值范围中，当 为何整数时，不等式 的解集为 ？
【答案】（1）a的取值范围是﹣2＜a≤3；（2）当a为﹣1时，不等式2ax+x＞2a+1的解集
为x＜1．【分析】(1)先解方程组得 ，再解不等式组 ；（2）由不等式的解推
出 ，再从a的范围中确定整数值.
【详解】(1)由方程组：
，得
，
因为x为非正数，y为负数．
所以 ，
解得 .
(2) 不等式 可化为 ,
因为不等式的解为 ，
所以 ，
所以在 中，a的整数值是-1.
故正确答案为（1） ;（2）a=-1.
【点睛】此题是方程组与不等式组的综合运用.解题的关键在于求出方程组的解，再解不等
式组；难点在于从不等式的解推出未知数系数的正负.
22．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十八中学校考期中）某中学为打造书香校园，
计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙
种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的
数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
【答案】（1）设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．（2）学校的购买方
案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个方案二：甲种书柜9个，乙种书柜
11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．
【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3
个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金
1440元列出方程求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20-m）个．根据：所需经费=甲图书柜总费
用+乙图书柜总费用、总经费W≤1820,且购买的甲种图书柜的数量≥乙种图书柜数量列出不
等式组，解不等式组即可的不等式组的解集，从而确定方案．
【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：，
解得： ，
答：设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．
（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20-m）个；
由题意得：
解得：8≤m≤10
因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，
方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，
方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．
【点睛】主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关
系或不等关系是解题的根本和关键．
23．（2023春·甘肃天水·七年级天水市逸夫实验中学校考期中）某水果店以4元 千克的价
格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第
一次每千克便宜了0.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店
两次购进水果共花去了2200元．
(1)该水果店两次分别购买了多少元的水果？
(2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的
水果有 的损耗，第二次购进的水果有 的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低
于1244元，则该水果每千克售价至少为多少元？
【答案】(1)水果店两次分别购买了800元和1400元的水果
(2)6元
【分析】（1）设该水果店两次分别购买了 元和 元的水果．根据“购进同一种水果，第
二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2
倍”、“两次购进水果共花去了2200元”列出方程组并解答；
（2）设该水果每千克售价为 元，则由“售完这些水果获利不低于1244元”列出不等式
并解答．
【详解】（1）解：设该水果店两次分别购买了 元和 元的水果．根据题意，得
，解得 ，
经检验， 符合题意．
答：水果店两次分别购买了800元和1400元的水果．
（2）解：第一次所购该水果的重量为 （千克）．
第二次所购该水果的重量为 （千克）．
设该水果每千克售价为 元，根据题意，得
．
解得 ．
答：该水果每千克售价至少为6元．
【点睛】本题考查了方程组的应用和不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关
键描述语，找到所求的量的等量关系．
24．（2023春·安徽·七年级期中）某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若
购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示
器5台，共需要资金4120元．
（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？
（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．
根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望
销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方
案获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元；
（2）利润最大为4400元．
【分析】（1）设每台电脑机箱的进价是x元，液晶显示器的进价是y元，根据“若购进电
脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5
台，共需要资金4120元”即可列方程组求解；
（2）设购进电脑机箱z台，根据“可用于购买这两种商品的资金不超过22240元，所获利
润不少于4100元”即可列不等式组求解.
【详解】解：（1）设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x，y元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元；
（2）设该经销商购进电脑机箱m台，购进液晶显示器（50-m）台，根据题意得： ，
解得：24≤m≤26，
因为m要为整数，所以m可以取24、25、26，
从而得出有三种进货方式：①电脑箱：24台，液晶显示器：26台，
②电脑箱：25台，液晶显示器：25台；
③电脑箱：26台，液晶显示器：24台．
∴方案一的利润：24×10+26×160=4400，
方案二的利润：25×10+25×160=4250，
方案三的利润：26×10+24×160=4100，
∴方案一的利润最大为4400元．
答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑机箱，26台液晶显示器；②进25台电脑机
箱，25台液晶显示器；③进26台电脑机箱，24台液晶显示器．第①种方案利润最大为
4400元．
【点睛】考点：方案问题，方案问题是初中数学的重点，在中考中极为常见，一般难度不
大，需熟练掌握.
25．（2022春·河南商丘·七年级统考期末）去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，
“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水
比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．
已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬
菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360
元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
【答案】（1）饮用水和蔬菜分别为200件和120件
（2）设计方案分别为：
①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆； ③甲车4辆，乙车4辆
（3）运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元
【分析】（1）关系式为：饮用水件数+蔬菜件数=320；
（2）关系式为：40×甲货车辆数+20×乙货车辆数≥200；10×甲货车辆数+20×乙货车辆数
≥120；
（3）分别计算出相应方案，比较即可．
【详解】解：（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x﹣80）件．
x+（x﹣80）=320，
解这个方程，得x=200．∴x﹣80=120．
答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；
（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8﹣m）辆．得：
，
解这个不等式组，得2≤m≤4．
∵m为正整数，
∴m=2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．
设计方案分别为：
①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；
（3）3种方案的运费分别为：
①2×400+6×360=2960（元）；
②3×400+5×360=3000（元）；
③4×400+4×360=3040（元）；
∴方案①运费最少，最少运费是2960元．
答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．
26．（2022秋·江苏南京·七年级校联考期末）如图，直线l上依次有三个点A、B、C，AB
＝16 cm，BC＝14 cm．点M从点A出发，沿直线l以每秒6 cm的速度向点C运动，到达
点C后立即原速返回到点A；同时，点N从点B出发，沿直线l以每秒2 cm的速度向点C
运动，到达点C后停止．运动过程中，若AB＝n MN（n为大于1整数），则称是MN是
AB的“n分时刻”．设点M的运动时间为t s．
(1)当t＝2时，MN是AB的“ 分时刻”；
(2)若MN是AB的“8分时刻”，求t的值；
(3)进一步探究发现，对于每一个不同的n的取值，符合条件的t的个数也在变化，请直接
写出t的个数及对应的n的取值范围．
【答案】(1)2
(2)t＝
(3)1＜n＜4，2次；n＝4，3次；n＞4，4次
【分析】（1）令t=2，求出MN=8，得到n值；
（2）分别表示出AM的长度：0≤t≤5，6t；5＜t≤10，30－6(t－5)＝60－6t； AN的长度：
0≤t≤7，16＋2t；然后根据MN=2分情况列方程求解；
（3）分别表示出AM的长度：0≤t≤5，6t；5＜t≤10，30－6(t－5)＝60－6t； AN的长度：0≤t≤7，16＋2t；然后根据MN= 分情况列方程求解，再根据t的取值范围列不等式组验证
即可．
【详解】（1）解：当t=2时，AM=6t=12cm，BN=2t=4cm，
∴MN=AB+BN-AM=16+4-12=8，
∴AB=2MN，
故答案为2；
（2）AM的长度：0≤t≤5，6t；5＜t≤10，30－6(t－5)＝60－6t；
AN的长度：0≤t≤7，16＋2t；
当n＝8时，MN＝ AB＝2，
当M、N两点重合时，
6t＝16＋2t
解之得t＝4
60－6t＝16＋2t ，
解得t＝5.5；
当 0≤t≤4 时，
MN＝AN－AM＝(16＋2t)－6t＝16－4t，
16－4t＝2，
解之得 t＝
当4＜t≤5时，
MN＝AM－AN＝4t－16，
4t－16＝2，
解之得t＝ ；
当5＜t≤5.5时
MN＝AM－AN＝(60－6t)－(16＋2t)＝44－8t，
44－8t＝2，解之得 t＝ ；
当 5.5＜t≤7时，
MN＝AN－AM＝8t－44，
8t－44＝2，
解之得 t＝ ，
当7＜t≤10时，
MN＝AN－AM＝30－(60－6t)＝6t－30，
6t－30＝2，
解之得 t＝ （舍去）
综上所述，当t＝ ， ， ， 时，点M、N达到“8分时刻”．
（3）由（2）得AM的长度：0≤t≤5，6t；5＜t≤10，30－6(t－5)＝60－6t；
AN的长度：0≤t≤7，16＋2t；
当 0≤t≤4 时，
MN＝AN－AM＝(16＋2t)－6t＝16－4t，
16－4t＝ ，
解之得 t＝ ，
∴有0≤ ≤4，
解得n≥1，
∴当n≥1时，有解；
当4＜t≤5时，
MN＝AM－AN＝4t－16，
4t－16＝ ，
解之得 t＝ ，得到4＜ ≤5，
解得n≥4，
∴当n≥4时有解；
当5＜t≤5.5时，
MN＝AM－AN＝(60－6t)－(16＋2t)＝44－8t，
44－8t＝ ，
解之得t＝ ，
有5＜ ≤5.5，得n＞4，
∴当n＞4时有解；
当 5.5＜t≤7时，
MN＝AN－AM＝8t－44，
8t－44＝ ，
解之得t＝ ，
由5.5＜ ≤7，得n≥ ，
即n≥2，成立；
当7＜t≤10时，
MN＝AN－AM＝30－(60－6t)＝6t－30，
6t－30＝ ，
解之得t＝ ，
有7＜ ≤10，
解得 ，
即此时n=1；
综上所知，
当n=1时，符合条件的t值有两次，分别位于0≤t≤4和7＜t≤10上，
当1＜n＜4，符合条件的t值有两次，分别位于0≤t≤4和5＜t≤5.5上，
当n=4时，符合条件的t值有三次，0≤t≤4、5.5＜t≤7和4＜t≤5上，
当n＞4时，符合条件的t值有四次，0≤t≤4、5＜t≤5.5、 4＜t≤5、5.5＜t≤7上，故答案为1≤n＜4，2次； n＝4，3次；n＞4，4次．
【点睛】本题考查动点问题，基本思路是首先根据路程=速度×时间表示出相关线段长，在
利用等量关系列方程求解，注意分类讨论思想的应用．
27．（2023春·广东江门·七年级统考期末）某商店准备购进甲、乙两种品牌纪念品，若购
进甲种纪念品 个，乙种纪念品 个，需要 元；若购进甲种纪念品 个，乙种纪念
品 个，需要 元．
(1)求购进甲、乙两种纪念品每个各需多少元？
(2)若该商店刚好用了 元购进这两种纪念品，考虑顾客需求，要求购进甲种纪念品的数
量不少于乙种纪念品数量的 倍，且乙种纪念品数量大于 个，那么该商店有几种进货方
案？
(3)若该商店销售每个甲种纪念品可获利润 元，销售每个乙种纪念品可获利润 元，在第
（2）问的进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？
【答案】(1)购进一件甲种纪念品需要 元，购进一件乙种纪念品需要 元
(2)该商店有2种进货方案
(3)方案一：购进甲种纪念品 个，购进乙种纪念品 个，获利最大，最大利润是 元
【分析】（1）设购进一件甲种纪念品需要a元，购进一件乙种纪念品需要b元，然后根据
题意建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设购进甲种纪念品x个，则购进B种纪念品 个，然后根据题意建立不等式
组求出其解即可；
（3）根据（2）的结论，结合题意，分别求得利润，比较即可求解．
【详解】（1）解：设购进一件甲种纪念品需要a元，购进一件乙种纪念品需要b元，由题
意得：
，
解得： ，
答：购进一件甲种纪念品需要 元，购进一件乙种纪念品需要 元．
（2）解：设购进甲种纪念品x个，则购进B种纪念品 个，根据题意得，
解得： ，
∵ 为正整数，∴ ，
当 时， ，
当 时， ，不是整数，不符合题意，舍去，
当 时， ，
当 时， ，不是整数，不符合题意，舍去，
答：该商店有2种进货方案
（3）解：∵销售每个甲种纪念品可获利润 元，销售每个乙种纪念品可获利润 元，
由（2）可知，方案一：购进甲种纪念品 个，购进乙种纪念品 个，则利润为
；
方案二：购进甲种纪念品 个，购进乙种纪念品 个，则利润为 ；
∵ ，
∴方案一：购进甲种纪念品 个，购进乙种纪念品 个，获利最大，最大利润是 元
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方
程组与不等式组是解题的关键．
28．（2022春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）吃粽子是端午节的习俗，某糕点
店推出的“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”深受顾客喜欢．“海鸭蛋蛋黄棕”每个售价
是“红豆鲜肉粽”的 倍，去年端午节期间，“海鸭蛋蛋黄粽”销量为3500个，“红豆鲜
肉粽”销量为2500个，两款粽子销售额共为50000元．
(1)求“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的售价各是多少元？
(2)糕点店在今年端午节前夕，“海鸭蛋蛋黄粽”和“红豆鲜肉粽”的进货量均为去年端午
节期间两种粽子销售量的两倍，计划利用店庆活动让利于新老顾客，对两种粽子都开展降
价的促销活动；其中，“海鸭蛋蛋黄棕”每个让利0.5a元销售（a为整数），“红豆鲜肉
粽”则按原售价打（5+a）折出售，并且降价后的“海鸭蛋蛋黄棕”售价不低于“红豆鲜
肉粽”售价的2倍，最终两种粽子全部都销售了出去，且总销售额不超过84000元，求出a
的值．
【答案】(1)“海鸭蛋蛋黄粽”的售价为10元，“红豆鲜肉粽”的售价是6元；
(2)a的值为2．
【分析】（1）设“红豆鲜肉粽”的售价是x元，则“海鸭蛋蛋黄粽”的售价是 元，利
用总销售额＝销售单价×销售数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出“红豆鲜肉粽”的售价，再将其代入 中即可求出“海鸭蛋蛋黄粽”的售价；
（2）根据降价后的“海鸭蛋蛋黄棕”售价不低于“红豆鲜肉粽”售价的2倍，且两种粽子
全部售出后的总销售额不超过84000元，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可
得出a的取值范围，再结合a为整数，即可得出结论．
【详解】（1）设“红豆鲜肉粽”的售价是x元，则“海鸭蛋蛋黄粽”的售价是 元，
依题意得： ，
解得： ，
∴ ，
答：“海鸭蛋蛋黄粽”的售价为10元，“红豆鲜肉粽”的售价是6元．
（2）依题意得： ，
解得： ，
又∵a为整数，
∴ ，
答：a的值为2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一
元一次不等式组．
