跟踪训练04数列通项公式（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）_第六章数列

跟踪训练 04 数列通项公式 一．选择题（共15小题） 1．已知数列 满足 ，且 ，则 的前2022项之积为 A． B． C． D． 【解答】解： ，且 ， ， ， ， ， ， ， ． 则 的前2022项之积 ． 故选： ． 2．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，在某种 玩法中，用 表示解下 个圆环所需要移动的最少次数，数列 满足 ， 且 则 A．1 B．4 C．7 D．16 【解答】解： 数列 满足 ，且 ， ， ， ． 故选： ． 3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5， ，从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即 ，后来人们 把 这 样 的 一 列 数 组 成 的 数 列 称 为 “ 斐 波 那 契 数 列 ” ． 记 ， 则 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ， 所以 ， 又因为 ，所以 ． 故选： ． 4．数列 满足 若 ，则 等于 A． B． C． D． 【解答】解：因为数列 满足 ， ， 所以 ， ， ， ， 所以数列具有周期性，周期为4， 所以 ． 故选： ． 5．已知数列 满足 ，那么 A． 是等差数列 B． 是等差数列 C． 是等差数列 D． 是等差数列【解答】解： ， ， ， ， ， 数列 是等差数列， 故选： ． 6．在数列 中， ， ，则 A． B． C． D． 【解答】解： ， ． 故选： ． 7．若数列 各项均为正数，且 ，则下列结论错误的是 A．对任意 ，都有 B．数列 可以是常数列 C．若 ，则数列 为递减数列 D．若 ，则当 时， 【解答】解：由 得 ， △ ，依题意 ，所以△ ，由于 ，所以可由 ， 解得 ，负根舍去， 选项，由于 ，所以 ，故 选项正确； ①， 选项，若 ，解得 ， 此时 是常数列，故 选项正确； 令 ，令 ， 则 ， 所以当 时， ；当 时， ， 所以当 时， 是单调递减数列， 即 ，故 选项错误； 同时， ， 则当 时， ，故 选项正确． 故选： ． 8．卢卡斯数列 满足 ， ．且 的前6项和 ．则 A．29 B．47 C．76 D．123【解答】解：设 ， 则 ， ， ， ， ， 则 ， 即 ， 则 ， ， ， ． 故选： ． 9．已知 为递增数列，前 项和 ，则实数 的取值范围是 A． ， B． C． ， D． 【解答】解： 为递增数列，前 项和 ， 当 时， ， 当 时， ， 由 为递增数列，只需满足 ，即 ，解得 ， 则实数 的取值范围是 ， 故选： ． 10．若数列 满足 ， ，则 的值为 A．2 B． C． D． 【解答】解：由题意得 ， ， ， ， 所以数列 是以4为周期的数列， 故 ． 故选： ．11．在数列 中， ， ，且 ，若数列 单调 递增，则实数 的取值范围为 A． B． C． ， D． 【解答】解：因为 ，所以 ， ， 所以 ，又 ， ， 所以数列 的偶数项按项数从小到大排列可得一公差为3的等差数列， 所以当 为偶数时， ， 当 为大于等于3的奇数时， ， 因为数列 单调递增，所以 ， 所以当 为大于等于3的奇数时， ，化简可得 ， 当 为大于等于4偶数时， ，解得 ， 由 可得， ， 所以 ． 故选： ． 12．设数列 中， ， 且 ，则 A． B． C．2 D．【解答】解：因为数列 中， ， 且 ， 所以 ， ， ， ， ， ， 所以数列 是周期为3数列，所以 ． 故选： ． 13．设数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 A．27 B．64 C．81 D．128 【解答】解： ， ， 则 ， ， ， ． 故选： ． 14．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 A．16 B．18 C．20 D．25 【解答】解：依题意， ． 故选： ． 15．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，若 ，则 A．2 B．4 C．20 D．40 【解答】解： 的前 项和为 ，且满足 ，且 ，令 ，可得 ，即 ，可得 ， 则 ， 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．已知数列 前 项和为 ， ， ， ，则下列正确的是 A．数列 为等比数列 B． C． D．数列 的前 项和为 【解答】解：由 可得， ，则 ， 又 ， ，所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，故 正确； 因为 ，当 时， ， 当 时， 也满足上式， 所以 ，故 错误； 因为 ，即数列 是以1为首项，2为公比的等比数列， 则其前 项和 ，故 正确；因为 ， 则其前 项和 ，故 正确． 故选： ． 17．数列 满足 ， ， ，则 A．当 时， B．当 时， C．当 时，记数列 的前 项和为 ，则 D．当方程 有唯一解时，存在正实数 ，使得 恒成立 【解答】解：对于 ，因为 ，则 ， 则 ，即数列 从第2项起，每一项是它的前一项的3倍， 因为 ，所以 ，所以 ，故 正确； 对于 ，当 时， ，则 ， 所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，所以 ，故 正确； 对于 ，因为 ，由 易知对任意的 ， ， 所以 ， 因为 ，所以 ，由 可得 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 故有 ，故 正确； 对于 ，取 ，若 ，即 ． 令 ， ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增． 故 ，故 有唯一解，即 有唯一解． ， ， 由指数函数 比 变化的速度快，得 越来越大，且无最大值， 故 不成立，故 错误． 故选： ． 18．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而 引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用 表示斐波那 契数列的第 项，则数列 满足： ， ，记 ， 则下列结论正确的是 A．数列 是递增数列B． C． D． 【解答】解：对于选项 ，由 知， 的前10项依次为：1，1，2，3，5， 8，13，21，34，55， 其中，第一二项相等，不满足递增性，故 选项错误； 对于选项 ，根据递推公式 ，得 ， 故 选项正确； 对 于 选 项 ， ， ， ， ， ， ，即 ，故 选项正确； 对于选项 ，由递推式，得 ， ， ， ， 累加得 ， ， ， 即 ，故 选项正确． 故选： ．19．已知 是数列 的前 项和， ，则下列递推关系中能使 存在最大值的有 A． B． C． D． 【 解 答 】 解 ： 对 于 ， 由 ， ， 可 得 ， ， 当 为正奇数且趋近于无穷大时， 也趋近于正无穷大，故 不存在最大值，故 不正确； 对于 ，由 ，得 ，又 ， ， 当 时， ，当 时， ，当 时， ， 当 或 时， 取得最大值，故 正确； 对于 ，由 ， ，得 ， ， ， ，又 ， 递减， 当 时， 取最大值，故 正确； 对于 ，由 ， ，得 ， ， ， ， 数列 的周期为3，故 不存在最大值，故 不正确． 故选： ． 20．已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列说法正确的是 A． 是递增数列 B．数列 中的最小项为C．数列 是等差数列 D． ， ， 成等差数列 【解答】解： ， 是公差为2的等差数列， ，所以是递增数列， 故 正确； ， ， 时， 最小，故 错误； ， ， 是等差数列，故 正确； ， ， ，故 错误． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．已知数列 的各项均为非零实数，其前 项和为 ， ，且对于任意的正整数 均有 ． （1）若 ，则 2 ； （2）若 ，则满足条件的无穷数列的一个通项公式可以是 ． 【解答】解：（1）由已知，当 时，有 ， 又 ， ，代入上式，解得 ； （2）由已知， ，得 ， 当 时， ， 即 ，所以 或 ，又 ， ，所以 （答案不唯一）． 22．数列 的前 项和为 ，且 ， ，则满足 的最小的自 然数 的值为 1 0 ． 【解答】解：由 可得： ，又 ， 所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列， 因此 ， 所以 ， 设 ， 则 ， 所以数列 是单调递增数列， 因此有 ，即 ， 所以数列 是单调递增数列， 而 ， ， 因此满足 的最小的自然数 的值为10． 故答案为：10． 23．已知数列 的前 项和为 ，满足对任意的 ，均有 ，则 ．【解答】解：由 ，可得 ，即 ， 当 时， ， 所以 ， 所以 ， ， 故答案为： ． 24．已知首项为1的数列 满足 ，则 ． 【解答】解：由 ，得 ， 因为 ，所以 ，进而 ， 所以数列 是首项为 ，公比为5的等比数列， 所以 ，即 ． 故答案为： ． 25．已知数列 满足 ，且 ，则 ， ． 【解答】解：数列 满足 ，且 ， 可得数列 是首项为1，公比为2的等比数列， 则 ， ． 故答案为： ， ． 四．解答题（共3小题） 26．设 为正项数列 的前 项和，满足 ．（1）求 的通项公式： （2）若不等式 对任意正整数 都成立，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）由 ，得 ， 两式相减得 ，即 ， 即 ， 因为数列 是正项数列，所以 ， 所以 ， 又 ，解得 （负值舍）， 所以 ； （2）由（1）知不等式 对任意正整数 都成立， 即不等式 对任意正整数 都成立， 当 时， ，解得 ，且 ， 下面证明当 ，且 时，不等式 对任意正整数 都成立， 当 时， ，则 ， 只 需 证 对 任 意 正 整 数 都 成 立 即 可 ， 因 为 ， ，所以不等式 对任意正整数 都成立，实数 的取值范围为 ，且 ． 27．已知数列 的前 项和为 ， ， ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ， 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，不等式 恒成 立，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1） ， ， 又 ， 数列 是以 为首项，公差为1的等差数列， ，即 ， 当 时， ， 又 不满足上式，则 ； （2）由（1）得 ， ， ①，②， 由① ②得 ， 整理得 ， 又因为对任意的正整数 ， 恒成立，则 ， ， 在 上单调递增， ， 由 得 ， 故实数 的取值范围是 ． 28．已知数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且 ， ，当 时， 满足 ． （1）求 ； （2）求 ． 【解答】解：（1）当 时， ； 当 时， ， 也满足上式， ． （2） ，由（1）得： ， ， 当 时， ， 也满足上式， ． ，① ． ② 由① ②得： ， ．