文档内容
第 07 讲 二次函数 y=ax ²的图象和性质（2 个知识点+2 种题
型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．二次函数的图象
二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在
顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺
序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，
先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
知识点2．二次函数的性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
函数 图象 开口方向 顶点坐标对称轴 函数变化 最大（小）
值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随 当x=0时，
x增大而增大； y =0
最小
x<0时，y随
x增大而减小.
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随 当x=0时，
x增大而减小； y =0
最大
x<0时，y随
x增大而增大.
题型强化题型一．y=ax²+k的图象和性质
一、单选题
1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D． 轴
2．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y
轴，请你写出一个符合条件的表达式： ．
3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数 的图象经过点
，点 ．
(1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系 中画出该函数的图象；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值都大于函数
的值且不大于5，求 的取值范围．题型二．y=ax²的图象和性质
4．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）关于x的二次函数 ，下列说法正确的是（
）
A．图像开口向上
B．y随x的增大而减小
C．图像关于x轴对称
D．无论x取何值，y的值总是非正数
5．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）已知抛物线 的开口向上，则a的取值范
围是 ．
6．（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数 的图象，并填空．
(1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________；
(2)二次函数 的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________；
(3)当 时，随着x值的增大，y的值________；当 时，随着x值的增大，y的值
________．分层练习
一、单选题
1．抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C． 轴 D．直线
2．比较二次函数 与 的图象，则（ ）
A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同
3．抛物线 的顶点在（ ）
A． 轴上 B． 轴上 C．第一象限 D．第四象限
4．对于抛物线 ，下列说法不正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．y随x的增大而减小 C．顶点坐标为
D．对称轴为y轴
5．若二次函数 的图象经过 ，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
6．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 随 的增大而减小
B．当 时， 随 的增大而减小C． 随 的增大而减小
D． 随 的增大而增大
7．抛物线 的图象上有两点 、 ，则 、 的大小是（ ）
A． B． C． D．无法判断
8．若点 都在二次函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
9．若二次函数 的图像经过点 ，则该图像必经过点（ ）
A． B． C． D．
10．已知点 在直线 上，点 和 在抛物线
上．当 时，有 ，则 可以等于下列哪个值（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
二、填空题
11．二次函数 的图像开口向 ．
12．抛物线 ，当 时，y随着x的增大而 ．（填“增大或减小”）
13．二次函数 与 的图像关于 对称．
14．二次函数 的最 值是 ．
15．若抛物线 与抛物线 关于 轴对称，则 ，
．
16．沿着x轴的正方向看，如果抛物线 在y轴左侧的部分是上升的，那么k
的取值范围是 ．17．如图所示，四个二次函数的图象对应的表达式分别是：① ；② ；③
；④ ，则 ， ， ， 的大小关系为 ．（用“ ”连接）
18．二次函数 的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是
，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小．
三、解答题
19．在平面直角坐标系中画出 的图象并简单描述其性质．
20．已知当 时，二次函数 有最大值4，求实数 的值．
21．函数 与直线 交于点
(1)求 ， 的值；(2) 取何值时，二次函数中的 随 的增大而增大？
22．下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：① ；② ；
③ ；④ ．根据图象回答下列问题：
(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？
23．已知A、B是抛物线 上的两点，点A的横坐标为t，点B的横坐标为 ，C
为线段 的中点， 轴，交抛物线于点D，且 .
(1)抛物线的顶点坐标是______；
(2)请求出t的值．24．在平面直角坐标系 中，画出抛物线 的图象．
25．已知函数 与 的交点为 ， （ 在 的右边）．
(1)求点 、点 的坐标．
(2)求 的面积．26．已知二次函数 的图象与 轴交于 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点
．
(1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出 ；
… …
… …
(2)任意写出两条该函数图象具有的特征．
