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19.2.2一次函数
一次函数的定义
y kxb k b k
一般地，形如 （ ， 是常数， ≠0）的函数，叫做一次函数.
b y kxb y kx
注意：当 ＝0时， 即 ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
k b
一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数 ， 的要求，
一次函数也被称为线性函数.
题型1：一次函数的定义
1.下列函数中，是一次函数的是（ ）
6
A．y=x2 B．y=3x-5 C．y= D．
x
1
y=
x-1
3
【变式1-1】在①y＝－8x，②y＝ - ，③y＝x＋1，④y＝－5x2＋1，⑤y＝0.5x－3中，
x
一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2或
0
【变式1-3】已知函数
y=(m+2)xm2-3+m-2
是一次函数，求m的值.
一次函数的图象与性质y kxb k b k
1.函数 （ 、 为常数，且 ≠0）的图象是一条直线 ；
b y kxb y kx b
当 ＞0时，直线 是由直线 向上平移 个单位长度得到的；
b y kxb y kx b
当 ＜0时，直线 是由直线 向下平移| |个单位长度得到的.
y kxb k b k
2.一次函数 （ 、 为常数，且 ≠0）的图象与性质：
k b y kxb
3. 、 对一次函数 的图象和性质的影响：
k ykxb b y k b
决定直线 从左向右的趋势， 决定它与 轴交点的位置， 、 一起决定
ykxb
直线 经过的象限．
l y k xb l y k xb
4. 两条直线 1： 1 1和 2： 2 2的位置关系可由其系数确定：
k k l l k k b b l l
（1） 1 2 1与 2相交； （2） 1 2，且 1 2 1与 2平行；
题型2：一次函数的图象
2.一次函数 y = -2x+5 的图象不经过的象限是（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【变式2-1】已知实数m＜1，则一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣m图象经过的象限是（
）
A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、
二、四
【变式2-2】已知点A的坐标为 (a+1,3-a) ，点A关于x轴的对称点 A' 落在一次函
数 y=2x+1 的图象上，则a的值可以是（ ）
A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，点 A(3,m) 在第一象
限，若点A关于x轴的对称点B在直线y=-x+1上，则m的值为
.
题型3：一次函数的图象及画法
1 1
3.在同一平面直角坐标系中，分别作出下列一次函数的图象：（1）y= x+2，（2）y= x，
2 2
1
（3）y= x-2，并回答它们的图象之间有什么关系．
2
【变式3-1】在同一直角坐标系中作出下列函数的图象：
①y=2x；②y=2x+4．并回答问题：
（1）作出图象
（2）两直线有何位置关系？
（3）直线y=2x+4是由y=2x经怎样移动得到的？
题型4：一次函数图象的平移
4.在平面直角坐标系中，将直线b：y＝﹣2x+4平移后，得到直线a：y＝﹣2x﹣2，
则下列平移方法正确的是（ ）
A．将b向左平移3个单位长度得到直线a B．将b向右平移6个单位长度得到
直线a
C．将b向下平移2个单位长度得到直线a D．将b向下平移4个单位长度得到
直线a
【变式4-1】在平面直角坐标系中，将直线l ：y=﹣3x﹣1平移后，得到直线l ：y=﹣
1 2
3x﹣4，则下列平移方式正确的是（ ）
A．将l 向左平移1个单位 B．将l 向右平移1个单位
1 1
C．将l 向上平移2个单位 D．将l 向上平移1个单位
1 1【变式4-2】将函数y=2x+3的图象平移，使它经过点(2，-1).求平移后得到的直线的解
析式.
【变式4-3】直线 y=kx+1 沿着 y 轴向上平移 b 个单位后，经过点 A(-2,0) 和
y 轴正半轴上的一点 B ，若 △ABO （ O 为坐标原点）的面积为 4 ，求 b 的值.
题型5：一次函数的图象与坐标轴交点问题
5.一次函数y＝﹣2x+6的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，6） B．（6，0） C．（3，0） D．（0，
3）
【变式5-1】在同一平面直角坐标系中，对于函数：①y＝－x－1；②y＝x＋1；③y＝
－x＋1；④y＝－2(x＋2)的图象，下列说法正确的是( )
A．经过点(－1，0)的是①③ B．与y轴交点为（0，1）的是
②③
C．y随x的增大而增大的是①③ D．与x轴交点为（1，0）的是
②④
【变式5-2】一个一次函数的图象，与直线y=2x+1的交点M的横坐标为2，与直线y=-
x＋2的交点N的纵坐标为1，求这个一次函数的表达式．
【变式5-3】已知一次函数y＝kx﹣4，当x＝3时，y＝﹣1，求它的解析式以及该直线
与坐标轴的交点坐标．【变式5-4】如图，已知直线y=kx－3经过点M，求此直线与x轴、y轴的交点坐标．
题型6：一次函数的性质-增减性及比大小
6.在平面直角坐标系中，若点(x，－1)，(x，－2)，(x，1)都在直线y=－2x+b上，
1 2 3
则x，x，x 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．x>x >x B．x>x >x C．x>x >x D．
1 2 3 3 2 1 2 1 3
x>x >x
2 3 1
【变式6-1】已知点 A(m-1,y ) 和点 B(m+1,y ) 在一次函数 y=(k+2)x+1 的
1 2
图象上，且y>y ，下列四个选项中k的值可能是（ )
1 2
A．-3 B．-1 C．1 D．3
b
【变式6-2】已知一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，求 的值.
k
题型7：一次函数的性质-字母的取值范围
7.已知一次函数y=（m+2）x+m+3的图象与y轴交点在x轴上方，且y随x的增大而
减小，求m的取值范围．
【变式7-1】已知一次函数 y=(2m-2)x+m+1 中，y随x的增大而减小，且其图象
与y轴交点在x轴上方.求m的取值范围.【变式7-2】已知一次函数y=（1﹣2m）x+m﹣1，若函数y随x的增大而减小，并且函
数的图像经过二、三、四象限，求m的取值范围．
待定系数法求一次函数解析式
y kxb k b k k b
一次函数 （ ， 是常数， ≠0）中有两个待定系数 ， ，需要两个独
k b x y
立条件确定两个关于 ， 的方程，这两个条件通常为两个点或两对 ， 的值.
注意：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个
y kxb k b
式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数 中有 和 两个待定系数，所以用
k b
待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以 和 为未知数），解方程组后就
能具体写出一次函数的解析式.
题型8：待定系数法确定一次函数解析式
8.已知一次函数的图象过点(3，5)与(0，-1)，求该函数的表达式
【变式8-1】已知y与2x﹣1成正比例，当x＝3时，y＝10，求y与x之间的函数关系
式.
【变式8-2】已知一次函数y=kx+b的图象经过点（-2，6），且与直线y=2x平行，求
该一次函数的解析式．【变式8-3】已知一次函数y=mx﹣3m2+12，请按要求解答问题：
（1）m为何值时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小？
（2）若函数图象平行于直线y=﹣x，求一次函数解析式；
（3）若点（0，﹣15）在函数图象上，求m的值．
【变式8-4】在平面直角坐标系中，判断A（1，3），B（－2，0），C（－4，－2）
三点是否在同一直线上，并说明理由.
题型9：排除法与一次函数图象
9.如图所示，在同一平面直角坐标系内，函数y=(k-2)x+k和y=kx图象的位置可能
是( )
A． B． C． D．
【变式9-1】一次函数y＝kx＋b（k≠0）与y＝bx＋k（b≠0）在同一直角坐标系内的图
象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】如图，一次函数 y=kx+b 和正比例函数 y=kbx 在同一坐标系内的图象
可能是（ ）
A． B． C． D．
题型10：一次函数与三角形的面积
10.求直线y=x+4与x轴，y轴所围成的三角形的面积．【变式10-1】已知一函数 y=kx+4 的图像与坐标轴围成的三角形的面积为8，求此一
函数表达式．
【变式10-2】已知经过点 A(4,-1) 的直线 y=kx+b 与直线 y=-x 相交于点
B(2,a) ，求两直线与 x 轴所围成的三角形的面积．
4
【变式10-3】在平面直角坐标系 xOy 中，已知一次函数 y=- x+b 的图像与 x
3
轴、 y 轴分别相交于点 A 、 B ，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6．
（1）直接写出点 A 与点 B 的坐标（用含 b 的代数式表示）；
（2）求 b 的值；
4
（3）如果一次函数 y=- x+b 的图像经过第二、三、四象限，点C的坐标为
3
（2，m），其中 m>0 ，试用含 m 的代数式表示△ ABC 的面积．
题型11：一次函数实际问题-表格问题
11.老师告诉小红：“离地面越高，温度越低”．并给小红出示了下面的表格：
距离地面高度/千米 0 1 2 3 4 5
温度/摄氏度 20 14 8 2 -4 -10
根据上表，老师还给小红出了下面几个问题，请你和小红一起来回答
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，请你用关于h的式子表示t；
（3）请你利用（2）的结论求①距离地面5千米的高空温度是多少？
②当高空某处温度为﹣40度时，求该处的高度．
【变式11-1】表格中的两组对应值满足一次函数函数y＝kx＋b．
x -1 1
y 0 2
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx
＋b的值，求出m的取值范围．
【变式11-2】父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低”，并给小明出示了下面的
表格：
距离地面高度（千米） h 0 1 2 3 4 5
温度（℃） t 20 14 8 2 -4 -10
根据表中，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答.
（1）表中自变量是 ；因变量是 ；在地面上（即 h=0
时）时，温度是 ℃；
（2）如果用 h 表示距离地面的高度，用 t 表示温度，则满足 h 与 t 关系的式子
为 ；
（3）计算出距离地面6千米的高空温度是多少？
题型12：一次函数实际问题-优惠问题12.某公司计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为
4000元，并且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下：
甲商场优惠条件：第一台按原价收费，其余的每台优惠15%；
乙商场优惠条件：每台优惠10%.
（1）设公司购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为 y 元，选择乙商场时，所
1
需费用为 y 元，请分别求出 y ， y 与 x 之间的关系式.
2 1 2
（2）若该公司需购买5台电脑，在哪家商场购买更优惠？
（3）若只考虑在其中一家商场购买电脑，请你帮该公司设计更省钱的购买方案.
【变式12-1】某门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价
为80元．该门市为促销制定了两种优惠方案：
方案一：买一件甲种商品就赠送一件乙种商品；
方案二：按购买金额打八折付款．
某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品x( x≥20 )件．
（1）分别直接写出优惠方案一购买费用 y (元)、优惠方案二购买费用 y (元)与
1 2
所买乙种商品x(件)之间的函数关系式；
（2）若该公司共需要甲种商品20件，乙种商品40件．设按照方案一的优惠办法购
买了m件甲种商品，其余按方案二的优惠办法购买．请你写出总费用w与m之间的关
系式；利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠．
题型13：一次函数实际问题-双图象问题
13.2021年“五一”黄金周期间，某草莓基地的甲、乙两家草
莓采摘园的草莓销售价格相同，为了吸引顾客，两家采摘园相继
推出不同的优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门
票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购
买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，某游客的草霉采摘量为x（千克），在甲园所需总费用为y （元），在乙园
甲
所需总费用为y （元），y 、y 与x之间的函数关系如图所示，其中折线OAB表示
乙 甲 乙
y 与x之间的函数关系．
乙
（1）甲采摘园的门票是 元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克
元；
（2）当x>10时，求y 与x的函数表达式；
乙
（3）某游客在“五一期间”去采摘草莓，如何选择这两家草莓园去采摘更省钱？
【变式13-1】为了积极助力脱贫攻坚工作，如期打赢脱贫攻坚战，某驻村干部带领村
民种植草莓，在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘。现有甲、乙两家果园可供
采摘，这两家草莓的品质相同，售价均为每千克30元，但是两家果园的采摘方案不
同：
甲果园：每人需购买20元的门票一张，采摘的草莓按6折优惠；
乙果园：不需要购买门票，采摘的草莓按售价付款不优惠。
设小明和爸爸妈妈三个人采摘的草莓数量为x千克，在甲、乙果园采摘所需总费用
分别为y 、y 元，其函数图象如图所示。
甲 乙
（1）分别写出y 、y 与x之间的函数关系式；
甲 乙
（2）请求出图中点A的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出小明一家选择哪家果园采摘
更合算。
【变式13-2】甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一期
间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门
票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园
的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x
（千克），在甲采摘园所需总费用为y（元），在乙采摘园所需总费用为y（元），
1 2
图中折线OAB表示y 与x之间的函数关系．
2
（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克
元；
（2）求y、y 与x的函数表达式；
1 2
（3）在图中画出y 与x的函数图象，并写出选择甲采摘
1
园所需总费用较少时，草莓采摘量x的范围．
