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第 4 节 函数的概念及其表示
（本卷满分150分，考试时间120分钟。）
一、单选题
1．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．如果函数 对任意 满足 ，且 ，则
（ ）
A．2022 B．2024 C．2020 D．2021
4．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， .若对
任意 ，都有 ，则m的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．设 ，用[x]表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数．例如：
．已知函数 ，则函数 的值域为（ ）
A．{0， } B．{ ，1} C．{0，1} D．{ ，0，1}
7．已知函数 ，若对于任意的实数x，不等式
恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．定义在R上的函数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
9．欧拉公式 被数学家们称为“宇宙第一公式”．（其中无理数e＝2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354
75945713821785251664274…），如果记e小数点后第n位上的数字为y，则y是关于n的
函数，记为 ．设此函数定义域为A，值域为B，则关于此函数，下列说法正确的
有（ ）
A． B． C． D．
10．下列各组函数是同一函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
11．某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两
个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品
数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用 （千元），乙厂的总
费用 （千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲､乙所示，则（ ）
A．甲厂的费用 与礼品数量x之间的函数关系式为
B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元
C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用 与礼品数量x之间的函数关系式为
D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用
12．已知函数 在R上存在最小值，则实数m的可能取值为
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
三、填空题
13．函数 的值域是______________（用区间表示）
14．若 ，则 ______．15．已知函数 ，满足对任意的 ， 恒成立，则实数a的取
值范围是_________
16．已知函数 为定义在R上的单调函数，且 ，则 在
上的值域为______．
四、解答题
17．已知函数 .
(1)若函数定义域为 ，求 的取值范围；
(2)若函数值域为 ，求 的取值范围.
18．定义在实数集上的函数 的图象是一条连绵不断的曲线， ，
，且 的最大值为1，最小值为0．
(1)求 与 的值；
(2)求 的解析式．
19．对于函数 ， ，如果存在实数 ， 使得函数 ，那么
我们称 为函数 ， 的“ 函数”.
(1)已知 ， ，试判断 能否为函数 ， 的“
函数”，若是，请求出 ， 的值；若不是，说明理由；
(2)已知 ， ， 为函数 ， 的“ 函数“，且 ，
，解不等式 ；
(3)已知 ， ， 为函数 ， 的“ 函数“（其中 ，
， 的定义域为 ，当且仅当 时， 取得最小值4.若对任意正
实数 ， ，且 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值.
20．物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为 ，
经过一段时间 后的温度为 ，则 ，其中 为环境温度， 为参数.某日
室温为 ，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化
为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到 点18分时，壶中热水
自然冷却到 .
(1)求8点起壶中水温 （单位： ）关于时间 （单位：分钟）的函数 ；
(2)若当日小王在1升水沸腾 时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生显会自动检测壸内水温，当壶内水温高于临界值 时，设备不工作；当壸内
水温不高于临界值 时，开始加热至 后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出
门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为 .（参考数据：
）
①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由）
②求该养生壶保温的临界值 .
