文档内容
第 07 讲 二次函数 y=ax ²的图象和性质（2 个知识点+2 种题
型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．二次函数的图象
二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在
顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺
序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，
先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
知识点2．二次函数的性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
函数 图象 开口方向 顶点坐标对称轴 函数变化 最大（小）
值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随 当x=0时，
x增大而增大； y =0
最小
x<0时，y随
x增大而减小.
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随 当x=0时，
x增大而减小； y =0
最大
x<0时，y随
x增大而增大.
题型强化题型一．y=ax²+k的图象和性质
一、单选题
1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D． 轴
【答案】D
【知识点】y=ax²+k的图象和性质
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题
的关键．
根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案．
【详解】解：根据二次函数的图象与性质可知：
抛物线 的对称轴是直线 ，即 轴，
故选： ．
2．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y
轴，请你写出一个符合条件的表达式： ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】y=ax²+k的图象和性质
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解题的关键．根据题干提
供信息，写出符合题意的二次函数的解析式即可；
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，
∴该抛物线的解析式的二次项系数为负数，不含一次项，
∴这个二次函数的解析式可以是 ，
故答案为： （答案不唯一）．
3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数 的图象经过点
，点 ．(1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系 中画出该函数的图象；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值都大于函数
的值且不大于5，求 的取值范围．
【答案】(1) ，图见解析
(2)
【知识点】y=ax²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、画y=ax²+bx+c的图象
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，用描点法画函数图象即可；
（2）根据图象列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：将点 ，点 代入 中得到：
，
解得： ，
∴该二次函数的解析式为： ，
列表如下：
x … −2 0 1 2 3 …
y … 1 1 …画图如下：
（2）根据题意，作图如下：
∵函数 的开口向上，且对称轴也是y轴，要使当 时，对于 的每一
个值，函数 的值都大于函数 的值且不大于5，
∴只需保证当 时， ，且当 时， ，
即
解得： ．
【点睛】本题考查二次函数 的图象与性质，利用数形结合思想是解题的
关键．
题型二．y=ax²的图象和性质
4．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）关于x的二次函数 ，下列说法正确的是（）
A．图像开口向上
B．y随x的增大而减小
C．图像关于x轴对称
D．无论x取何值，y的值总是非正数
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此类问题的关键．
利用二次函数的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解： ，
二次函数 图像开口向下，对称轴为直线 ，
顶点为原点，关于 轴对称，当 时， y随x的增大而增大，当 时，y随x的增
大而减小，
A、B、C选项错误，不符合题意，
无论x取何值， ，
D选项正确，符合题意．
故选：D．
5．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）已知抛物线 的开口向上，则a的取值范
围是 ．
【答案】a>0/
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，对于二次函数 ，当
时，其开口向上，当 时，其开口向下，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线 的开口向上，
∴ ，
故答案为： ．
6．（23-24九年级下·全国·课后作业）观察二次函数 的图象，并填空．(1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________；
(2)二次函数 的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________；
(3)当 时，随着x值的增大，y的值________；当 时，随着x值的增大，y的值
________．
【答案】(1)顶点，
(2)抛物线，上，y轴（或直线 ）
(3)减小，增大
【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握 的性质是解题关键．
（1）根据 的图象得出顶点位置及坐标；
（2）根据 的图象得出其形状、开口方向及对称轴；
（3）根据 的图象得出其性质．
【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是 ．
故答案为：顶点，
（2）二次函数 的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线
）．
故答案为：抛物线，上，y轴（或直线 ）
（3）当 时，随着x值的增大，y的值减小；当 时，随着x值的增大，y的值增大．
故答案为：减小，增大分层练习
一、单选题
1．抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C． 轴 D．直线
【答案】C
【分析】本题考查了求抛物线的对称轴的方法．已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出
对称轴．
【详解】解：抛物线 的对称轴是直线 ，即：y轴，
故选：C．
2．比较二次函数 与 的图象，则（ ）
A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据解析式分别得出函数的开口方向，开
口大小，顶点坐标，对称轴方程，再比较即可；
【详解】解：∵二次函数 与 ，
∴函数 的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为 ；
函数 的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为 ；
故选项B、D错误，选项C正确；
∵二次函数 中的 ， 中的 ，
∴它们的开口大小不一样，故选项A错误；
故选：C．
3．抛物线 的顶点在（ ）
A． 轴上 B． 轴上 C．第一象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质， 轴上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．因为 可看作二次函数的顶点式，根据顶点式的坐标特点，得
出顶点坐标为(0,3)，即可知顶点在 轴上．
【详解】解：二次函数 是顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
顶点坐标为(0,3)，即顶点在 轴上，
故选： ．
4．对于抛物线 ，下列说法不正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．y随x的增大而减小 C．顶点坐标为
D．对称轴为y轴
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的相关性质逐个判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴该抛物线开口向下，故A正确，不符合题意；
∵ ，
∴对称轴为y轴，顶点坐标为 ，故C、D正确，不符合题意；
∴当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，故B不正确，符合
题意；
故选：B．
5．若二次函数 的图象经过 ，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函
数图象的对称轴为 轴是解题的关键．先确定出二次函数图象的对称轴为 轴，再根据二
次函数的对称性解答．
【详解】解： 二次函数 的对称轴为 轴，且图象经过 ，该图象必经过点 ，
故选：A．
6．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 随 的增大而减小
B．当 时， 随 的增大而减小
C． 随 的增大而减小
D． 随 的增大而增大
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛
物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性．
【详解】解： ，对称轴为
抛物线开口向上，当 时， 随 的增大而增大
当 时， 随 的增大而减小
故选：B．
7．抛物线 的图象上有两点 、 ，则 、 的大小是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】C
【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．根据
题意求出 、 的值比较即可．
【详解】解：将 、 代入抛物线 ，
，
，
故选C．
8．若点 都在二次函数 的图象上，则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根
据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线 ），图象的开口向上，在对
称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
【详解】解∶ 二次函数 的对称轴为y轴，开口向上，
∴当 时， y随x的增大而增大，
∵点 都在二次函数 的图象上，且 ，
∴ ，
故选∶A．
9．若二次函数 的图像经过点 ，则该图像必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图像是解题的
关键．根据二次函数图像对称性解答即可．
【详解】解： 点 与 关于二次函数 的对称轴 轴对称，
故该图像必经过点 ，
故选C．
10．已知点 在直线 上，点 和 在抛物线
上．当 时，有 ，则 可以等于下列哪个值（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征．求得
直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的 的值，即可求得 取值范围，根据抛物线的对称性求得 ，从而求得 的取
值范围．
【详解】解：令 ，整理得 ，
解得 ， ，
直线 与抛物线的交点的横坐标为5，0，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点为 ，
把 代入 ，
解得 ，
若 ， ，则 ， ，
，
故选：A．
二、填空题
11．二次函数 的图像开口向 ．
【答案】下
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；根据二次函数二次项系数的符号即可判断图
像的开口方向．
【详解】解：∵二次项系数 ，
∴函数图像的开口向下；
故答案为：下．
12．抛物线 ，当 时，y随着x的增大而 ．（填“增大或减小”）
【答案】增大
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，进行作答即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴抛物线的对称轴为 轴，开口向下，
∴当 时，y随着x的增大而增大；故答案为：增大．
13．二次函数 与 的图像关于 对称．
【答案】 轴
【分析】本题考查了二次函数的图像．解题的关键是找出函数图像开口、对称轴与顶点坐
标．本题根据二次函数 与二次函数 的图像回答即可．
【详解】解：∵二次函数 的图像开口向上，对称轴是 轴，顶点为 ，
二次函数 的图像开口向下，对称轴是 轴，顶点为 ，
∴二次函数 与 的图像关于 轴对称．
故答案为： 轴．
14．二次函数 的最 值是 ．
【答案】 小 3
【分析】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可
由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．根据二次函数的解析式，即可得到
结论．
【详解】解： 二次函数 的图像开口向上，
二次函数 有最小值，最小时是3，
故答案为：小，3．
15．若抛物线 与抛物线 关于 轴对称，则 ，
．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查抛物线关于 轴对称，熟练掌握抛物线关于 轴对称的特征是解题
的关键．根据抛物线关于 轴对称的特征可知， 的符号不变， 的符号变为相反数即可
得到答案．
【详解】解：根据抛物线关于 轴对称的特征可知， 的符号不变， 的符号变为相反数抛物线 关于 轴对称的抛物线为 ，
即
故答案为： ， ．
16．沿着x轴的正方向看，如果抛物线 在y轴左侧的部分是上升的，那么k
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得
抛物线开口向下，再建立不等式解题即可．
【详解】∵抛物线 在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
17．如图所示，四个二次函数的图象对应的表达式分别是：① ；② ；③
；④ ，则 ， ， ， 的大小关系为 ．（用“ ”连接）
【答案】
【分析】题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较
字母系数的大小.
【详解】解：如图，因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次
，所以 .
18．二次函数 的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是
，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小．
【答案】 向下 y轴
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，画出图象，观察图象可得结论．
【详解】解：画出二次函数 的图象，如图所示.
根据其图象可知二次函数 的图象的开口向下，对称轴为y轴；顶点坐标为 ；
当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小.
故答案为：向下，y轴， ， ， ．
三、解答题
19．在平面直角坐标系中画出 的图象并简单描述其性质．
【答案】见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．列表、描点、连线画出 的图象，根据图象写出其性质即可．
【详解】解：（1）列表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
（2）描点、连线，图象如图所示：
性质：当 时，函数有最小值为0；
当 时，函数 随 的增大而减少；当 时，函数 随 的增大而增大．
20．已知当 时，二次函数 有最大值4，求实数 的值．
【答案】
【分析】根据题意得出对称轴为直线 ，在 时，当 时取得最大值，即可
求解．
【详解】解：∵二次函数 的对称轴为直线 ，抛物线开口向上，当
时取得最大值，
∴
解得：
21．函数 与直线 交于点
(1)求 ， 的值；
(2) 取何值时，二次函数中的 随 的增大而增大？【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数，熟练掌握以上知识点是解题的关
键．
（1）把已知点代入直线解析式求得 ，再代入抛物线解析式即可求得 ；
（2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，即可求得答案．
【详解】（1）解：把 代入 可得：
点 的坐标为
把 代入 可得：
， ；
（2）解：由（1）可得 ，
抛物线开口向下，且对称轴为 轴，
当 时， 随 的增大而增大．
22．下列函数在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：① ；② ；
③ ；④ ．根据图象回答下列问题：
(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？
【答案】(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴
(2)函数 和 的图象有最低点，函数 和 的图象有最高点，这
些最低点和最高点的坐标都是
【分析】本题考查了对称轴的性质，二次函数的图形和性质，解题的关键是画出二次函数
的图像；（1）画出二次函数的图像，根据轴对称的性质，即可求解；（2）根据图像可以
观察出函数的二次函数的最低点和最高点．【详解】（1）要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值
范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表．
解：列表：
4
描点、连线，函数图象如图所示．
这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是 轴；
（2）函数 和 的图象有最低点，函数 和 的图象有最高点，
这些最低点和最高点的坐标都是 ．
23．已知A、B是抛物线 上的两点，点A的横坐标为t，点B的横坐标为 ，C
为线段 的中点， 轴，交抛物线于点D，且 .(1)抛物线的顶点坐标是______；
(2)请求出t的值．
【答案】(1)(0,4)
(2)1或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次
函数的相关知识点是解决本题的关键．
（1）根据二次函数表达式特点可求顶点坐标；
（2）由题意写出A、B的坐标，再根据中点坐标得出C点坐标，再由 轴得出D点
坐标，由 可求出t的值．
【详解】（1）解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标是(0,4)，
故答案为：(0,4)，
（2）解：依据题意可知，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，即为
，
∵C为线段 的中点，
∴C的坐标为 ，
∵ 轴，
∴点D的坐标为(0,4)，
∴ ．
解得， 或
24．在平面直角坐标系 中，画出抛物线 的图象．【答案】图见详解
【分析】根据函数表达式 画出函数图象即可；本题主要考查画二次函数图象，正
确画出二次函数图象是解题的关键．
【详解】 ，则 的顶点坐标为 ，
画抛物线 的图象如图所示：
25．已知函数 与 的交点为 ， （ 在 的右边）．
(1)求点 、点 的坐标．
(2)求 的面积．
【答案】(1) ，(2)6
【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数与坐标轴的交点，解一元二次方程，联立
两个函数得到点 ， 的坐标是解题的关键．
（1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标；
（2）根据题意得到 ，再利用 即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
解得： 或
在 的右边
交点 ， 的坐标分别为 ， ；
（2）解： 直线 与 轴交于点
当 时， ，即 点坐标为
又 ，
点 ， 到 的距离分别为3，1
26．已知二次函数 的图象与 轴交于 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点
．(1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出 ；
… …
… …
(2)任意写出两条该函数图象具有的特征．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，利用数形结合的思想求
解是解题的关键．
（1）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可；
（2）根据（1）所画函数图象，写出两条该函数的性质即可．
【详解】（1）解：列表如下：
… 0 1 2 …
… 0 0 …
函数图象如下所示：（2）解：由函数图象可知，该函数在 时，有最小值 ；该函数在 时，y随x增
大而增大等等．
