文档内容
专题22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c 的图像和性质（2）
（专项训练）
1．（2021秋•密山市校级期末）抛物线 y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：
①abc＜0；②b2＜4ac；③b+2a＝0；④3a+c＝0；其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
2．（2021秋•泸西县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x＝1，下列
结论：① abc＞0；② 2a+b＜0；③ a﹣b+c＞0；④ 9a+3b+c＜0．其中正确的是
（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②③
3．（2021秋•仁寿县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝
1，有下列结论：①4a+2b+c＜0；②a+c＞0；③2a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y
随x的增大而增大．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．（2021秋•沈北新区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中
错误是（ ）
A．a﹣b+c＞0 B．abc＞0 C．4a﹣2b+c＜0 D．2a﹣b＝0
5．（2022•深圳模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝﹣1，有下
列结论：①abc＞0；②a+b＜﹣c；③4a﹣2b+c＞0；④3b+2c＜0；⑤a﹣b＜m
（am+b）（其中m为任意实数），其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2022•日照一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结
论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2，
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2022•鄞州区模拟）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若
ax 2+bx ＝ax 2+bx 且x ≠x ，则x +x ＝2．其中正确结论的个数有（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021秋•薛城区期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出
下列命题：①abc＞0；②b＝﹣a；③9a﹣3b+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任
意实数）；⑤4ac﹣b2＜0，其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022•永嘉县模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣2≤x≤3时，函数y的最大值与
最小值的差为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
10．（2022•龙港市一模）小明在研究某二次函数y＝ax2+bx+c时列表如下：
当自变量x满足﹣1≤x≤4时，下列说法正确的是（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 …
y＝ax2+bx+c … 11 6 3 3 6 …
A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2
C．有最大值6，有最小值3 D．有最大值6，有最小值2
11．（2022•南山区模拟）已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ 或﹣ D．﹣1或﹣
12．（2022•莱芜区一模）将抛物线y＝﹣（x+1）2的图象位于直线y＝﹣4以下的部分向上
翻折，得到如图所示的图象，若直线y＝x+m与图象只有四个交点，则m的取值范围是
（ ）
A．﹣1＜m＜1 B．1＜m＜ C．﹣1＜m＜ D．﹣1＜m＜
13．（2021秋•莱州市期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a
﹣b．则M、N的大小关系为（ ）
A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．无法确定
14．（2022•沈河区校级模拟）已知（﹣3，y ），（﹣2.5，y ），（1，y ）是抛物线y＝
1 2 3
﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 2 1 2 3 1 3 1 2 1 3 2
15．（2021秋•浦东新区校级期末）已知在平面直角坐标系内，抛物线y＝x2+bx+6经过x
轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
16．（2021秋•延边州期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（1，
0），C（0，﹣3）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）当y≥﹣3时，x的取值范围是 ．
17．（2021秋•海曙区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，4）、B（5，9）两
点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点C的坐标；（3）P（x，y）为线段AB上一点，1≤x≤4，作PM∥y轴交抛物线于点M，求PM的最
大值与最小值．
专题22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c 的图像和性质（2）
（专项训练）
1．（2021秋•密山市校级期末）抛物线 y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③b+2a＝0；④3a+c＝0；其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】A
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴b+2a＝0，③正确．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，
∴②错误．
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，④正确．
故选：A．
2．（2021秋•泸西县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x＝1，下列
结论：① abc＞0；② 2a+b＜0；③ a﹣b+c＞0；④ 9a+3b+c＜0．其中正确的是
（ ）A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②③
【答案】C
【解答】解：由抛物线的开口向上，得到a＞0，
∵﹣ ＞0，
∴b＜0，
由抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣ ＝1，即b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，选项②错误；
根据图象知，当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0．选项③正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝3与x＝﹣1时函数值相等，
又∵x＝﹣1时，y＞0，
∴x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，选项④错误．
则其中正确的选项有①③．
故选：C．
3．（2021秋•仁寿县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝
1，有下列结论：①4a+2b+c＜0；②a+c＞0；③2a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y
随x的增大而增大．其中正确的有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解答】解：①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＞0，故错误；
②抛物线过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵﹣ ＝1，a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴a+c＝b＞0，故正确；
③∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝c＞0，故正确；
④抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，故错误；
故正确的共有2个，
故选：C．
4．（2021秋•沈北新区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中
错误是（ ）
A．a﹣b+c＞0 B．abc＞0 C．4a﹣2b+c＜0 D．2a﹣b＝0
【答案】C
【解答】解：由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，故A项正确，不符合题意；∵抛物线开口向下，﹣ ＝﹣1，与y轴的交点为（0，1），
∴a＜0，b＝2a＜0，c＝1＞0，
∴2a﹣b＝0，abc＞0，故B、D项正确，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在原点和点（1，0）之间，
∴另一个交点在（﹣2，0）与（﹣3，0）之间，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故C项错误，符合题意，
故选：C．
5．（2022•深圳模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝﹣1，有下
列结论：①abc＞0；②a+b＜﹣c；③4a﹣2b+c＞0；④3b+2c＜0；⑤a﹣b＜m
（am+b）（其中m为任意实数），其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解答】解：∵开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴为x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴a+b＜﹣c，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故③正确；
∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，
∴a＝ b，∴ b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故④正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，
所以当m为任意实数时，有a﹣b+c≥am2+bm+c，
所以a﹣b≥m（am+b），故⑤错误．
故选：C．
6．（2022•日照一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结
论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2，
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，②错误．
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣ ，
∴﹣ b+c＜0，
∴2c＜3b，③正确．
∵x＝1时，y＝a+b+c为函数最大值，
∴a+b+c＞m（am+b）+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），
∵b＞0，
∴a+2b＞a+b＞m（am+b）（m≠1），④正确．
方程|ax2+bx+c|＝1的四个根分别为ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的根，
∵抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，
∴抛物线与直线y＝1的交点的横坐标为之和为2，
抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标为之和为2，
∴方程|ax2+bx+c|＝1的四个根的和为4，⑤错误．
故选：A．
7．（2022•鄞州区模拟）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：
①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若
ax 2+bx ＝ax 2+bx 且x ≠x ，则x +x ＝2．其中正确结论的个数有（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣ ＞0，b＞0，∴abc＞0，错误；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在（3，0）左边
∴二次函数与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，
∴a﹣b+c＜0，∴②错误；
③∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下，
∴x＝1时，函数最大值是a+b+c；
∴m为任意实数，则a+b+c≥am2+bm+c，∴③错误；
④∵﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a
由②得a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，∴④正确；
⑤∵ax 2+bx ＝ax 2+bx ，
1 1 2 2
∴ax 2+bx ﹣ax 2﹣bx ＝0，
1 1 2 2
∴a（x +x ）（x ﹣x ）+b（x ﹣x ）＝0，
1 2 1 2 1 2
∴（x ﹣x ）[a（x +x ）+b]＝0，
1 2 1 2
∵x ≠x ，
1 2
∴a（x +x ）+b＝0，
1 2
∵x +x ＝﹣ ，b＝﹣2a，
1 2
∴x +x ＝2，∴⑤正确；
1 2
故选：B．
8．（2021秋•薛城区期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出
下列命题：①abc＞0；②b＝﹣a；③9a﹣3b+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任
意实数）；⑤4ac﹣b2＜0，其中正确的命题有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴是x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线交于y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，①说法错误；
∵b＝2a，
∴②说法错误；
∵抛物线与x轴交于（1，0），对称轴是x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，③说法正确；
∵抛物线的对称轴是x＝﹣1，且开口向上，
∴函数最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴m（am+b）≥a﹣b，④说法正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，⑤说法正确；
故选：C．
9．（2022•永嘉县模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣2≤x≤3时，函数y的最大值与
最小值的差为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，∵﹣2≤x≤3，1﹣（﹣2）＝3，3﹣1＝2，
∴当x＝﹣2时，该函数取得最大值，此时y＝5，
当x＝1时，该函数取得最小值，此时y＝﹣4，
∵5﹣（﹣4）＝5+4＝9，
∴当﹣2≤x≤3时，函数y的最大值与最小值的差为9，
故选：D．
10．（2022•龙港市一模）小明在研究某二次函数y＝ax2+bx+c时列表如下：
当自变量x满足﹣1≤x≤4时，下列说法正确的是（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 …
y＝ax2+bx+c … 11 6 3 3 6 …
A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2
C．有最大值6，有最小值3 D．有最大值6，有最小值2
【答案】B
【解答】解：将点（0，3），（2，3），（3，6）代入到二次函数y＝ax2+bx+c中，
得： ，解得： ，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2．
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），
∴自变量x满足﹣1≤x≤4时，有最小值2，
∴x＝4时，y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＝11，
∴自变量x满足﹣1≤x≤4时，有最大值11，有最小值2，
故选：B．
11．（2022•南山区模拟）已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值
为1，则a值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ 或﹣ D．﹣1或﹣
【答案】D
【解答】解：∵y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，
∴图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣ ，当﹣ ≤1时，即a≥﹣ ，x＝3时有最大值1，
∴9+（2a﹣1）×3﹣3＝1，
∴a＝﹣ ，
当﹣ ≥1时，即a≤﹣ ，x＝﹣1时有最大值1，
∴1+（2a﹣1）×（﹣1）﹣3＝1，
∴a＝﹣1，
∴a＝﹣1或﹣ ，
故选：D．
12．（2022•莱芜区一模）将抛物线y＝﹣（x+1）2的图象位于直线y＝﹣4以下的部分向上
翻折，得到如图所示的图象，若直线y＝x+m与图象只有四个交点，则m的取值范围是
（ ）
A．﹣1＜m＜1 B．1＜m＜ C．﹣1＜m＜ D．﹣1＜m＜
【答案】C
【解答】解：令y＝﹣4，则﹣4＝﹣（x+1）2，
解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，﹣4），
平移直线y＝x+m知：直线位于l 和l 时，它与新图象有三个不同的公共点．
1 2
①当直线位于l 时，此时l 过点A（﹣3，﹣4），
1 1
∴﹣4＝﹣3+m，即m＝﹣1．②当直线位于l 时，此时l 与函数y＝﹣（x+1）2 的图象有一个公共点，
2 2
∴方程x+m＝﹣x2﹣2x﹣1，
即x2+3x+1+m＝0有两个相等实根，
∴△＝9﹣4（1+m）＝0，
即m＝ ．
由①②知若直线y＝﹣x+m与新图象只有四个交点，m的取值范围为﹣1＜m＜ ．
故选：C．
13．（2021秋•莱州市期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a
﹣b．则M、N的大小关系为（ ）
A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．无法确定
【答案】A
【解答】解：由图象可得x＝﹣1时y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
由图象可得x＝2时y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
∴N﹣M＝a﹣b+c﹣（4a+2b+c）＝a﹣b﹣（4a+2b）＞0，
∴N＞M，
故选：A．
14．（2022•沈河区校级模拟）已知（﹣3，y ），（﹣2.5，y ），（1，y ）是抛物线y＝
1 2 3﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 2 1 2 3 1 3 1 2 1 3 2
【答案】C
【解答】解：∵y＝﹣3x2﹣12x+m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2，
∴与直线x＝﹣2距离越近的点的纵坐标越大，
∵﹣2﹣（﹣2.5）＜﹣2﹣（﹣3）＜1﹣（﹣2），
∴y ＞y ＞y ，
2 1 3
故选：C．
15．（2021秋•浦东新区校级期末）已知在平面直角坐标系内，抛物线y＝x2+bx+6经过x
轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1） y＝x2﹣5x+6（2）3
【解答】解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y＝x2+bx+6得0＝9+3b+6，解得b
＝﹣5，
所以抛物线的表达式y＝x2﹣5x+6；
（2）∵抛物线的表达式y＝x2﹣5x+6；
∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），
∴S△ABC ＝ ×1×6＝3．
16．（2021秋•延边州期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c过点A（1，
0），C（0，﹣3）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）当y≥﹣3时，x的取值范围是 ．【答案】（1） y＝x2+2x﹣3； （2） x ≤﹣ 2 或 x ≥ 0
【解答】解：（1）把A（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中可得：
，
解得： ，
∴这条抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）把y＝﹣3代入y＝x2+2x﹣3中可得：
x2+2x﹣3＝﹣3，
解得：x ＝0，x ＝﹣2，
1 2
∴当y≥﹣3时，x的取值范围是：x≤﹣2或x≥0，
故答案为：x≤﹣2或x≥0．
17．（2021秋•海曙区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，4）、B（5，9）两
点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）P（x，y）为线段AB上一点，1≤x≤4，作PM∥y轴交抛物线于点M，求PM的最
大值与最小值．【答案】（1）y＝（x﹣2）2 （2）（2，0） （3）PM的最大值是 ，最小值是4
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C在x轴正半轴上，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2，
把点A（0，4）、B（5，9）代入y＝a（x﹣h）2中可得：
，
解得：h＝﹣10（舍去）或h＝2，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2；
（2）把y＝0代入y＝（x﹣2）2中可得：
（x﹣2）2＝0，
∴x＝2，
∴点C的坐标为（2，0）；
（3）设AB的解析式为：y＝kx+b，
把点A（0，4）、B（5，9）代入y＝kx+b中可得：
，
解得： ，
∴AB的解析式为：y＝x+4，
∵点P为线段AB上一点，点M为抛物线y＝（x﹣2）2上一点，且1≤x≤4，PM∥y
轴，
∴当x＝1时，P（1，5），M（1，5），
∴PM＝5﹣1＝4，
当x＝4时，P（4，8），M（4，4），∴PM＝8﹣4＝4，
当x＝2时，P（2，6），M（2，0），
∴PM＝6﹣0＝6，
设P（n，n+4），M（n，n2﹣4n+4），
∴PM＝n+4﹣（n2﹣4n+4）
＝﹣n2+5n
＝﹣（n﹣ ）2+ ，
∴当n＝ 时，PM的最大值为： ，
∴PM的最大值是 ，最小值是4．
