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第 04 讲 点与圆的位置关系
1. 了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。
2. 掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆
的方法。
3. 能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心。
知识点1 点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
知识点2 过三点的圆
1、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角
形的外心。
【题型1 根据线段长度判断点与圆的位置关系】
【典例1】（2023•增城区一模）已知 O的半径为5，当线段OA＝6时，则点
A与 O的位置关系是（ ）
⊙
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定
⊙
【答案】B【解答】解：∵OA＝6＞5，
∴A点在圆外，
故选：B．
【变式1-1】（2023•拱墅区模拟）已知 O的半径为4，若PO＝3，则点P与
O的位置关系是（ ）
⊙
A．点P在 O内 B．点P在 O上 C．点P在 O外 D．无法判断
⊙
【答案】A
⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：∵ O的半径为4，若PO＝3，
而3＜4，
⊙
∴点P与 O的位置关系是点P在 O内部，
故选：A．
⊙ ⊙
【变式1-2】（2023•越秀区校级一模）已知 O的半径是8，点P到圆心O的
距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（ ）
⊙
A． O的内部 B． O的外部
C． O上或 O的内部 D． O上或 O的外部
⊙ ⊙
【答案】A
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：解方程x2﹣4x﹣5＝0可得，x ＝5，x ＝﹣1，
1 2
∵点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，
∴d＝5＜8，
∴点P在 O的内部，
⊙
【变式1-3】（2023•徐汇区模拟）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3 ，点P在
边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下
列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外
B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内
【答案】C
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝3 ，
∵AB＝8，BP＝3AP，
∴AP＝2，BP＝6，
在Rt△ADP中，AP＝2，AD＝3 ，
∴PD＝ ＝7，
在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝3 ，
∴PC＝ ＝9，
∴PC＞PD＞PB，
∴点B在圆P内，点C在圆P外．
故选：C．
故选：A．
【题型2 根据点坐标判断点与圆的位置关系】
【典例 2】（2023•南海区校级模拟）已知在平面直角坐标系中，P点坐标为
（3，4），若以原点O为圆心，半径为5画圆，则点P与 O的位置关系是
（ ）
⊙
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：∵点P的坐标是（3，4），
∴OP＝ ＝5，而 O的半径为5，
∴OP等于圆的半径，
⊙
∴点P在 O上．
故选：B．
⊙
【变式2-1】 O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，
3），则点P与 O的位置关系是（ ）
⊙
A．点P在 O内 B．点P在 O上
⊙
C．点P在 O外 D．点P在 O上或 O外
⊙ ⊙
【答案】B
⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：∵圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，3），
∴OP＝ ＝5，因而点P在 O上．
故选：B． ⊙
【变式2-2】（2021秋•青冈县期末）一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离
为5cm，则圆的半径为（ ）
A．6cm或16cm B．3cm或8cm C．3cm D．8cm
【答案】B
【解答】解：当点在圆内时，最近点的距离为 5cm，最远点的距离为11cm，
则直径是16cm，因而半径是8cm；当点在圆外时，最近点的距离为5cm，最
远点的距离为11cm，则直径是6cm，因而半径是3cm；
故选：B．
【变式2-3】（2022秋•荔湾区校级期末）已知 O半径为4，圆心O在坐标原
点上，点P的坐标为（3，4），则点P与 O的位置关系是（ ）
⊙
A．点P在 O内 B．点P在 O上 C．点P在 O外 D．不能确定
⊙
【答案】C
⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：∵P的坐标为（3，4），
∴OP＝ ＝5．
∵ O的半径为4，5＞4，
∴点P在 O外．
⊙
故选：C．
⊙【题型3 根据点与圆的距离求半径】
【典例3】（2023•东洲区模拟）在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，
最小距离为1，则此圆的半径为（ ）
A．3 B．4或6 C．2或3 D．6
【答案】C
【解答】解：分为两种情况：
①当点P在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离PB＝1，最大距离PA＝5，
∴直径AB＝1+5＝6，
∴半径r＝3；
②当点P在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离PB＝1，最大距离PA＝5，
∴直径AB＝5﹣1＝4，
∴半径r＝2．
故选：C．
【变式3-1】（2022秋•宛城区校级期末）已知点 P为平面内一点，若点 P到
O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则 O的半径为 2 或 3 ．
【答案】见试题解答内容
⊙ ⊙
【解答】解：当点P在圆内时，则直径＝5+1＝6，因而半径是3；
当点P在圆外时，直径＝5﹣1＝4，因而半径是2．
所以 O的半径为2或3．
故答案为：2或3．
⊙
【变式3-2】（2022•鄞州区校级开学）已知圆外点到圆上各点的距离中，最大
值是6，最小值是1，则这个圆的半径是 2. 5 ．
【答案】2.5．【解答】解：如图：
当点M在圆外时，
∵点到圆上的最小距离MB＝1，最大距离MA＝6，
∴直径AB＝6﹣1＝5，
∴半径r＝2.5．
故答案为：2.5．
【题型4 确定圆的条件】
【典例4】（2023•江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，
则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意
三个点，最多可画出圆的个数为6个，
故选：D．
【变式4-1】（2022秋•裕华区校级期末）下列条件中，不能确定一个圆的是（
）
A．圆心与半径 B．直径
C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点
【答案】C
【解答】解：A、已知圆心与半径能确定一个圆，不符合题意；
B、已知直径能确定一个圆，不符合题意；
C、平面上的三个已知点，不能确定一个圆，符合题意；
D、已知三角形的三个顶点，能确定一个圆，不符合题意；故选：C．
【变式4-2】（2022秋•沙坪坝区校级月考）下列条件中能够确定一个圆的是（
）
A．已知圆心
B．已知半径
C．已知三个点
D．过一个三角形的三个顶点
【答案】D
【解答】解：确定一个圆的条件是圆心和半径，过一个三角形的三个顶点即
可确定一个圆，
故选：D．
【变式4-3】（2022•湖里区校级二模）平面直角坐标系内的三个点 A（1，﹣
3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）， 不能 确定一个圆，（填“能”或
“不能”）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），A（1，﹣3），
∴点A、B、C共线，
∴三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）不能确定一个圆．
故答案为：不能．
【题型5 根据三角形的外接圆的性质求角度】
【典例5】（2022秋•信都区校级期末）如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，
若∠A＝80°，则∠BOC为（ ）
A．100° B．160° C．150° D．130°
【答案】B
【解答】解：∵点O是△ABC的外接圆的圆心，∴∠A、∠BOC同对着 ，
∵∠A＝80°，
∴∠BOC＝2∠A＝160°，
故选：B．
【变式5-1】（2023春•朝阳区校级月考）如图，已知 O是△ABD的外接圆，
AB 是 O 的直径，CD 是 O 的弦，∠ABD＝56°，则∠BCD 的度数是
⊙
（ ）
⊙ ⊙
A．24° B．28° C．34° D．56°
【答案】C
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∵∠ABD＝56°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝34°，
∴∠A＝∠DCB＝34°，
故选：C．
【变式5-2】（2023•方城县模拟）如图，△ABC和△ABD内接于 O，∠ABC
＝80°，∠D＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
⊙
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【解答】解：∵∠D＝50°，
∴∠ACB＝∠D＝50°，∵∠ABC＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
故选：C．
【变式 5-3】（2023 春•株洲期中）如图， O 是△ABC 的外接圆，半径为
5cm，若BC＝5cm，则∠A的度数为（ ）
⊙
A．30° B．25° C．15° D．10°
【答案】A
【解答】解：连接OB和OC，
∵圆O半径为5cm，BC＝5cm，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝ ∠BOC＝30°，
故选：A．
【题型6根据三角形的外接圆的性质求线段长度】
【典例6】（2023•雁塔区校级模拟）如图， O的半径为2，△ABC是 O的
内接三角形，连接 OB，OC，若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦 BC 的长为（
⊙ ⊙
）A．2 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∵∠BAC＝ ∠BOC，
∴∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝ （180°﹣∠BOC）＝30°，
在Rt△OBD中，OB＝2，
∴OD＝ OB＝1，BD＝ OD＝ ，
∵OD⊥BC，
∴BC＝2BD＝2 ，
故选：C．
【变式6-1】（2023•灞桥区模拟）如图，AB是 O的直径，AB＝8，△BCD内
接于 O，若∠BCD＝60°，则圆心O到弦BD的距离是（ ）
⊙
⊙A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解答】解：连接AD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∵∠A＝∠BCD＝60°，AB＝8，
∴ ，
过O作OH⊥BD于H，
∴BH＝DH，
∵AO＝BO，
∴OH是△ABD的中位线，
∴OH＝ AD＝ 4＝2，
即圆心O到弦BD的距离是2，
故选：C．
【变式6-2】（2023•雁塔区模拟）如图，△BCD内接于 O，点B是 的中点，
CD是 O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝4，则BC的长⊙为（ ）
⊙A．5 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：连接OA，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝OC＝4，
∴DC＝2OC＝8，
∵CD是 O的直径，
∴∠CBD＝90°，
⊙
∵点B是 的中点，
∴ ＝ ，
∴CB＝BD，
∴BC＝ ＝4 ，
故选：B．
【变式 6-3】（2023•成县三模）如图，△ABC 是圆 O 的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝10，则AC的长为（ ）
A． B． C．5 D．5
【答案】D
【解答】解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝10，
∴CD＝ AD＝5，
∴AC＝ ＝5 ，
故选：D．1．（2023•巴中）如图， O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝（
）
⊙
A．25° B．50° C．60° D．65°
【答案】D
【解答】解：连接OB，
∵∠C＝25°，
∴∠AOB＝2∠C＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝ ＝65°．
故选：D．
2．（2023•自贡）如图，△ABC 内接于 O，CD 是 O 的直径，连接 BD，
∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．41° B．45° C．49° D．59°
【答案】C【解答】解：∵CD是 O的直径，
∴∠DBC＝90°，
⊙
∵∠DBA＝∠DCA＝41°，
∴∠ABC＝90°﹣∠DBA＝49°，
故选：C．
3．（2023•台湾）如图的方格纸中，每个方格的边长为 1，A、O两点皆在格线
的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点 B、C，使得△ABC的外
心为O，求BC的长度为何（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【解答】解：∵△ABC的外心为O，
∴OB＝OC＝OA，
∵OA＝ ＝ ，
∴OB＝OC＝ ，
∵B、C是方格纸格线的交点，
∴B、C的位置如图所示，
∴BC＝ ＝ ．
故选：D．
4．（2022•梧州）如图， O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，
⊙在 上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度
数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，
∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，
故选：C．
5．（2023•常州）如图，AD是 O的直径，△ABC是 O的内接三角形．若
⊙ ⊙
∠DAC＝∠ABC，AC＝4，则 O的直径AD＝ 4 ．
⊙
【答案】4 ．
【解答】解：如图，连接CD、OC．
∵∠DAC＝∠ABC，∴ ＝ ，
∴AC＝CD，
∵AD是 O的直径，
∴∠ACD＝90°，
⊙
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝CD＝4，
∴AD＝ AC＝4 ．
故答案为：4 ．
6．（2023•金昌）如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，点D是 O上
一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝ 3 5 °．
⊙ ⊙ ⊙
【答案】35．
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵∠A＝∠D＝55°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°，
故答案为：35．
7．（2023•广安）如图，△ABC内接于 O，圆的半径为7，∠BAC＝60°，则
⊙弦BC的长度为 7 ．
【答案】7 ．
【解答】解：作OD⊥BC于点D，连接OB，OC，如图所示，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OD⊥BC，
∴∠BOD＝60°，OB＝7，BD＝CD，
∴BD＝BO•sin∠BOD＝7×sin60°＝7× ＝ ，
∴BC＝2BD＝7 ，
故答案为：7 ．
8．（2022•黑龙江）如图，在 O中，AB是 O的弦， O的半径为3cm．C
⊙ ⊙ ⊙
为 O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为 3 cm．
⊙【答案】3 ．
【解答】解：连接AO并延长交 O于点D，
∵AD是 O的直径，
⊙
∴∠ABD＝90°，
⊙
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
在Rt△ABD中，AD＝6cm，
∴AB＝AD•sin60°＝6× ＝3 （cm），
故答案为：3 ．
10．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，
B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况
下，则除△ABC 外把你认为外心也是 O 的三角形都写出来 △ ABD ，
△ ACD ，△ BCD ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图可知：
OA＝ ，OB＝ ，
OC＝ ，
OD＝ ，
OE＝ ，
∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，
∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，
故答案为：△ABD，△ACD，△BCD．
11．（2022•南京）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D，E 在 BC 上，BD＝
CE．过A，D，E三点作 O，连接AO并延长，交BC于点F．
（1）求证AF⊥BC；
⊙
（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求 O的半径长．
⊙
【答案】（1）见解析；
（2） O的半径长为5．
【解答】（1）证明：连接AD，AE，
⊙
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，
∴ ，∴AF⊥BC；
（2）解：∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF＝ BC＝6，
∴AF＝ ＝ ＝8，
∵BD＝2，
∴DF＝4，
连接OD，设DO＝AO＝x，
∴OF＝AF﹣x＝8﹣x，
∵OD2＝OF2+DF2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∴ O的半径长为5．
⊙
1．（2022秋•思明区校级期末） O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA
＝3cm，则点A与 O的位置关系为（ ）
⊙
A．点A在 O上 B．点A在 O内 C．点A在 O外 D．无法确定
⊙
【答案】B
⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：∵ O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
⊙
∴点A在 O内．
故选：B．
⊙
2．（2022秋•沭阳县校级期末）下列语句中，正确的是（ ）
A．经过三点一定可以作圆B．等弧所对的圆周角相等
C．相等的弦所对的圆心角相等
D．三角形的外心到三角形各边距离相等
【答案】B
【解答】解：A、经过不共线的三点一定可以作圆，所以A选项错误；
B、等弧所对的圆周角相等，所以B选项正确；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所以C选项错误；
D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以D选项错误．
故选：B．
3．（2023•越秀区校级二模）如图，△ABC内接于 O，AD是 O的直径，若
∠DAC＝52°，则∠B的大小为（ ）
⊙ ⊙
A．38° B．40° C．48° D．65°
【答案】A
【解答】解：连接CD，
∵AD是 O的直径，
∴∠DCA＝90°，
⊙
∵∠DAC＝52°，
∴∠D＝90°﹣∠DAC＝38°，
∴∠B＝∠D＝38°，
故选：A．
4．（2023•绥德县三模）如图，在△ABC中，AC＝BC， O是△ABC的外接
圆，AB是 O的直径，点D在 O上，连接CD交AB于点E，连接OD，若
⊙
⊙ ⊙∠BOD＝120°，则∠BED的度数为（ ）
A．60° B．75° C．100° D．105°
【答案】D
【解答】解：连接BD，
∵OD＝OB，∠BOD＝120°，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°，∠AOD＝180°﹣120°＝60°，
∵AB是 O的直径，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
⊙
∵AC＝BC，
∴∠A＝45°，
∴∠CDB＝∠A＝45°，
∴∠CDO＝∠CDB﹣∠ODB＝15°，
∴∠BED＝180°﹣60°﹣15°＝105°，
故选：D．
5．（2023•碑林区校级模拟）如图， O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交 O
于点E，垂足为点D．AE、CB的延长线交于点F，若BF＝4，AB＝8，则BC
⊙ ⊙
的长是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：由题知，AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∵OE⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝ ×8＝4，OD∥BC，
∴ED为△ABF的中位线，OD为△ABC的中位线，
∴ED＝ FB＝ ×4＝2，BC＝2OD，
在Rt△AOD中，OD＝OE﹣ED＝OA﹣2，AD＝4，AD2+OD2＝OA2，
∴42+（OA﹣2）2＝OA2，
∴OA＝5，
∴OD＝3，
∴BC＝6．
故选：D．
6．（2023•宁江区四模）如图，△ABC内接于 O，AC是 O的直径，∠ACB
⊙ ⊙
＝40°，点D是劣弧 上一点，连接CD、BD，则∠D的度数是（ ）
A．50° B．45° C．140° D．130°
【答案】D
【解答】解：∵AC是 O的直径，
∴∠ABC＝90°，
⊙
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠D+∠A＝180°，
∴∠D＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．7．（2023•文成县一模）如图，△ABC内接于 O，AB＝AC，∠B＝70°，则
∠OCB等于（ ）
⊙
A．40° B．50° C．60° D．65°
【答案】B
【解答】解：连接OB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝ （180°﹣∠BOC）＝50°，
故选：B．
8．（2023•金安区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，
线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N
分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）A．10﹣ B． ﹣3 C．2 ﹣6 D．3
【答案】B
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，
∴AB＝ ＝2 ，
∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN＝ ＝ ，CM＝ ＝3，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为： ﹣3，
故选：B．
9．（2023•中山市二模）如图，△ABC内接于 O，∠A＝68°，则∠OBC等于
（ ）
⊙
A．22° B．26° C．32° D．34°【答案】A
【解答】解：连接CO，
∵∠A＝68°，
∴∠BOC＝136°，
∴∠OBC＝∠OCB＝ （180°﹣136°）＝22°．
故选：A．
10．（2023•东莞市一模）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A在x轴负半轴
上，点B在y轴正半轴上， D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB
＝4，则圆心点D的坐标是（ ）
⊙
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO+∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为 D的直径，
∴D点为AB的中点，
⊙
在Rt△ABO中，∠ABO＝60°，
∴OB＝ AB＝2，∴OA＝ OB＝
∴A（ ，0），B（0，2），
∴D点坐标为（ ，1）．
故选：B．
11．（2023•新华区校级模拟）如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，
BC＝3，点D是半径为2的 A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大
值是（ ）
⊙
A．3 B．3.5 C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝5，
∵AN＝NC，∴BN＝ AC＝ ，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN＝ AD＝1，
∴BM≤BN+NM，
∴BM≤1+ ，
∴BM≤ ，
∴BM的最大值为 ．
故选：B．
12．（2023•新华区校级模拟）若 P 的半径为 4，圆心 P 的坐标为（﹣3，
4），则平面直角坐标系的原点O与 P的位置关系是（ ）
⊙
A．在 P内 B．在 P上 C．在 P外 D．无法确定
⊙
【答案】C
⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：∵圆心P的坐标为（﹣3，4），
∴OP＝ ＝5，
又 P的半径r＝4，
∴OP＞r，
⊙
∴原点O在 P外，
故选：C．
⊙
13．（2023•芜湖模拟）如图，△ABC内接于 O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，
BD是 O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于（ ）
⊙
⊙A．70° B．90° C．110° D．120°
【答案】D
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠D＝∠A＝40°，
∵BD是 O的直径，
∴∠BCD＝90°，
⊙
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝50°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBC＝20°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠A+∠ABE）＝180°﹣（40°+20°）＝120°，
故选：D．
14．（2022秋•定西期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，3）在 O内，
则 O的半径r的取值范围是（ ）
⊙
A．0＜r＜4 B．3＜r＜4 C．4＜r＜5 D．r＞5
⊙
【答案】D
【解答】解：∵点P（4，3），
∴PO＝ ＝5，
∵点P在 O内，
∴r＞OP，即r＞5，
⊙
故选：D．
15．（2023•兴庆区校级模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A，B，C
的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为
（ 2 ， 1 ） ．【答案】（2，1）．
【解答】解：从图形可知：A 点的坐标是（0，2），B 点的坐标是（1，
3），C点的坐标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q
是圆弧的圆心，如图，
∴Q点的坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）．
16．（2023•市中区二模）如图，点 A，B的坐标分别为 A（6，0），B（0，
6），C为坐标平面内一点，BC＝2 ，M为线段AC的中点，连接OM，当
OM取最大值时，点M的坐标为 （ 4 ， 4 ） ．
【答案】（4，4）．
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝2 ，
∴C在 B上，且半径为2 ，
取OD＝⊙ OA＝6，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝ CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线
上时，OM最大，
∵OB＝OD＝6，∠BOD＝90°，
∴BD＝6 ，
∴CD＝6 +2 ＝8 ，
C坐标为（2，8），
∴OM＝ CD＝4 ，即OM的最大值为4 ，M坐标为（4，4）．
故答案为：（4，4）．
17．（2022秋•东台市期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是 M上
的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
⊙
（1）圆心M的坐标为 （ 2 ， 0 ） ；
（2）判断点D（4，﹣3）与 M的位置关系．
⊙【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）
故答案为：2，0．
（2）圆的半径AM＝ ＝2 ，
线段MD＝ ＝ ＜2 ，
所以点D在 M内．
⊙
18．（2022秋•海州区校级月考）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A为圆心，6cm长为半径作 A（画图），则B、C、D与圆的位置
⊙关系是什么？
（2）若作 A，使B、C、D三点至少有一个点在 A内，至少有一点在 A
外，则 A的半径r的取值范围是 6 cm ＜ r ＜ 1 0 cm ．
⊙ ⊙ ⊙
⊙
【答案】（1）点B在 A上，点C在 A外，点D在 A外；
（2）6cm＜r＜10cm．
⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴AC＝10cm，
∵ A的半径为6cm长，
∴点B在 A上，点C在 A外，点D在 A外；
⊙
（2）∵以点A为圆心作 A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且
⊙ ⊙ ⊙
至少有一点在圆外，
⊙
∴ A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm．
故答案为：6cm＜r＜10cm．
⊙
