文档内容
专题22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c 的图像和性质（1）
（专项训练）
1．（2022春•建德市期中）二次函数y＝x2﹣2x+1的对称轴为（ ）
A．直线x＝4 B．直线x＝2 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝1
2．（2022•灌阳县一模）将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析
式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4 C．y＝（x+2）2+6 D．y＝（x﹣4）2+6
3．（2022•山西模拟）将抛物线y＝x2﹣4x﹣3先向左平移2个单位长度，再向上平移3个
单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝x2﹣4 B．y＝（x﹣4）2﹣10
C．y＝（x﹣4）2﹣4 D．y＝x2﹣10
4．（2022•交城县模拟）用配方法把二次函数 y＝x2﹣6x+3 化成顶点式为
．
5．（2022•合肥模拟）二次函数y＝ax2﹣bx和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022•南海区二模）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax与二次函数y＝ax2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022•定远县校级开学）在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax2+bx（a≠0）与y＝﹣
ax﹣b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021秋•莱芜区期末）一次函数y＝bx+a（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在
同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021秋•蜀山区期末）在同一坐标系中，直线 y＝ax+a和抛物线y＝﹣ax2+3x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022•新乡一模）关于抛物线y＝x2+2x﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标为（1，﹣3）
C．函数的最小值是﹣3 D．对称轴为x＝﹣1
11．（2021秋•密山市校级期末）若A（﹣1，7）、B（5，7）是抛物线y＝ax2+bx+c上的
两点，则该抛物线的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝3 D．直线x＝4
12．（2021秋•龙口市期末）已知 a，b，c满足a+b＝﹣c，4a+c＝2b，则二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝ D．直线x＝﹣
13．（2022•郑州模拟）若函数y＝x2﹣4x+m的图象上有两点A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
若x ＜x ＜2，则（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＜y
1 2 1 2
C．y ＝y D．y ，y 的大小不确定
1 2 1 2
14．（2021秋•大连期末）已知（﹣1，y ），（﹣2，y ），（﹣4，y ）是抛物线y＝
1 2 3
2x2+8x+m上的点，则（ ）A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 2 1 3
15．（2021秋•汝阳县期末）在函数y＝2（x+1）2﹣ 的图象上有三点A（1，y ）、B（﹣
1
3，y ）、C（﹣2，y ），则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
2 3 1 2 3
A．y ＝y ＞y B．y ＞y ＝y C．y ＝y ＞y D．y ＞y ＝y
1 2 3 3 1 2 1 3 2 2 1 3
16．（2021秋•瓦房店市期末）关于抛物线y＝﹣x2+x+2，下列结论：
①抛物线开口向下； ②当x＞1时，y随x的增大而减小； ③抛物线的对称轴是直线
；④函数y＝﹣x2+x+2的最大值为2．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2021秋•阳信县期末）关于抛物线y＝x2﹣2x，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线经过原点
B．该抛物线的对称轴是直线x＝1
C．该二次函数的最小值是0
D．当x＜0时，y随x增大而减小
18．（2021秋•祥云县期末）若一个二次函数的图象开口向下，顶点坐标为（0，1），那
么这个二次函数的解析式可以为 （只需写一个）．
19．（2021秋•伊川县期末）已知二次函数的图象经过（﹣1、0）、（3、0）、（0、3）
三点，那么这个二次函数的解析式为 ．
20．（2021秋•莆田期末）一抛物线以（﹣1，9）为顶点，且经过x轴上一点（﹣4，0），
求该抛物线解析式及抛物线与y轴交点坐标．
21．（2022•越秀区校级开学）已知抛物线y＝x2+（3﹣m）x﹣2m+2．
（1）若抛物线经过坐标原点，求此时抛物线的解析式；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
22．（2021秋•大连期末）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 m 0 …
（1）这个二次函数的对称轴是直线 ，m的值为 ；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）若点A（t，y ）、B（t+1，y ）两点都在该函数图象上，且t＜0，比较y 与y 的大
1 2 1 2
小，并说明理由．
专题22.1.5 二次函数y=ax²+bx+c 的图像和性质
（专项训练）
1．（2022春•建德市期中）二次函数y＝x2﹣2x+1的对称轴为（ ）A．直线x＝4 B．直线x＝2 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝1
【答案】D
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴二次函数y＝x2﹣2x+1的对称轴为直线x＝1，
故选：D．
2．（2022•灌阳县一模）将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析
式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4 C．y＝（x+2）2+6 D．y＝（x﹣4）2+6
【答案】A
【解答】解：将y＝x2﹣2x+3化为顶点式，得y＝（x﹣1）2+2．
将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）
2+2+2，即y＝（x﹣1）2+4．
故选：A．
3．（2022•山西模拟）将抛物线y＝x2﹣4x﹣3先向左平移2个单位长度，再向上平移3个
单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝x2﹣4 B．y＝（x﹣4）2﹣10
C．y＝（x﹣4）2﹣4 D．y＝x2﹣10
【答案】A
【解答】解：y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7，
当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得y＝（x﹣2+2）2﹣7+3，即y＝
x2﹣4．
故选：A．
4．（2022•交城县模拟）用配方法把二次函数 y＝x2﹣6x+3 化成顶点式为
．
【答案】 y ＝（ x ﹣ 3 ） 2 ﹣ 6
【解答】解：y＝x2﹣6x+3
＝x2﹣6x+9﹣9+3
＝（x﹣3）2﹣6，
故答案为：y＝（x﹣3）2﹣6．5．（2022•合肥模拟）二次函数y＝ax2﹣bx和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】A、由二次函数y＝ax2﹣bx可知，图象过原点，故本选项错误；
B、由二次函数y＝ax2﹣bx可知，图象过原点，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣ ＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选
项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣ ＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选
项正确．
故选：D．
6．（2022•南海区二模）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax与二次函数y＝
ax2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A．由直线可知a＜0，由抛物线开口向上，a＞0，不符合题意．
B．由抛物线开口向上a＞0，抛物线与y轴交点在x轴下方，在a＜0，不符合题意．C．由直线可知a＜0，由抛物线开口向下a＜0，抛物线与y轴交点在x轴下方，a＜0，
符合题意．
D．由直线可知a＞0，抛物线开口向下a＜0，不符合题意．
故选：C．
7．（2022•定远县校级开学）在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax2+bx（a≠0）与y＝﹣
ax﹣b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：因为y＝ax2+bx的图象经过原点，故排除B、C；A选项中，因为二次函数
图象开口向上，故a＞0，则﹣a＜0，一次函数y＝﹣ax﹣b图象下降，不符合，故A
错；D符合题意．
故选：D．
8．（2021秋•莱芜区期末）一次函数y＝bx+a（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在
同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解答】解：A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故选：C．
9．（2021秋•蜀山区期末）在同一坐标系中，直线 y＝ax+a和抛物线y＝﹣ax2+3x+2（a是
常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，则﹣a＞0，此时二次函数y＝
﹣ax2+3x+2的图象应该开口向上，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，则﹣a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+3x+2的
图象应该开口向上，对称轴在y轴的左侧，故选项错误；
C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，则﹣a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+3x+2的图象应该开口向下，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，则﹣a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+3x+2的
图象应该开口向上，对称轴在y轴的左侧，故选项正确．
故选：D．
10．（2022•新乡一模）关于抛物线y＝x2+2x﹣2，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标为（1，﹣3）
C．函数的最小值是﹣3 D．对称轴为x＝﹣1
【答案】B
【解答】解：∵y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3中，a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标是（﹣1，﹣3），对称轴是直线x＝﹣1，
∴函数有最小值是﹣3，
∴A、C、D说法正确；B说法错误．
故选：B．
11．（2021秋•密山市校级期末）若A（﹣1，7）、B（5，7）是抛物线y＝ax2+bx+c上的
两点，则该抛物线的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝3 D．直线x＝4
【答案】
【解答】解：∵A（﹣1，7）、B（5，7）关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
故选：B．
12．（2021秋•龙口市期末）已知 a，b，c满足a+b＝﹣c，4a+c＝2b，则二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝ D．直线x＝﹣
【答案】D
【解答】解：∵a+b＝﹣c，4a+c＝2b，
∴4a+[﹣（a+b）]＝2b，
∴a＝b，∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ＝﹣ ，
故选：D．
13．（2022•郑州模拟）若函数y＝x2﹣4x+m的图象上有两点A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
若x ＜x ＜2，则（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＜y
1 2 1 2
C．y ＝y D．y ，y 的大小不确定
1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，
∴此函数的对称轴为：x＝﹣ ＝﹣ ＝2，
∵x ＜x ＜2，两点都在对称轴左侧，a＝1＞0，
1 2
∴对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴y ＞y ．
1 2
故选：A．
14．（2021秋•大连期末）已知（﹣1，y ），（﹣2，y ），（﹣4，y ）是抛物线y＝
1 2 3
2x2+8x+m上的点，则（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 2 1 3
【答案】D
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2，
∴（﹣1，y ）关于对称轴的对称点为（﹣3，y ）
1 1
∵a＝2＞0，
∴x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
∵﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y ＜y ＜y ．
2 1 3
故选：D．
15．（2021秋•汝阳县期末）在函数y＝2（x+1）2﹣ 的图象上有三点A（1，y ）、B（﹣
1
3，y ）、C（﹣2，y ），则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
2 3 1 2 3
A．y ＝y ＞y B．y ＞y ＝y C．y ＝y ＞y D．y ＞y ＝y
1 2 3 3 1 2 1 3 2 2 1 3
【答案】A【解答】解：由二次函数y＝2（x+1）2﹣ 可知其对称轴为x＝﹣1，图象开口向上，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
根据二次函数图象的对称性可知，点A（1，y ）与点（﹣3，y ）对称，
1 1
∵﹣3＜﹣2＜﹣1，
∴y ＝y ＞y ，
1 2 3
故选：A
16．（2021秋•瓦房店市期末）关于抛物线y＝﹣x2+x+2，下列结论：
①抛物线开口向下； ②当x＞1时，y随x的增大而减小； ③抛物线的对称轴是直线
；④函数y＝﹣x2+x+2的最大值为2．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵y＝﹣x2+x+2中，a＝﹣1＜0，
∴开口向下，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣ ）2+ ，
∴对称轴为直线x＝ ，函数有最大值 ，
∴当x＞ 时，y随x的增大而减小，
故①②③正确，④不正确；
故选：C．
17．（2021秋•阳信县期末）关于抛物线y＝x2﹣2x，下列说法错误的是（ ）
A．该抛物线经过原点
B．该抛物线的对称轴是直线x＝1
C．该二次函数的最小值是0
D．当x＜0时，y随x增大而减小
【答案】C
【解答】解：令x＝0，y＝0，故选项A正确，不符合题意；
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣1），故选项B正确，不符合题意；
∵函数图象开口向上，
∴函数的最小值为﹣1，故选项C错误，符合题意；
当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
18．（2021秋•祥云县期末）若一个二次函数的图象开口向下，顶点坐标为（0，1），那
么这个二次函数的解析式可以为 （只需写一个）．
【答案】 y ＝﹣ x 2 +1
【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴可知a为负数，取a＝﹣1，
∵顶点坐标为（0，1），
∴二次函数的解析式为：y＝﹣（x﹣0）2+1＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
19．（2021秋•伊川县期末）已知二次函数的图象经过（﹣1、0）、（3、0）、（0、3）
三点，那么这个二次函数的解析式为 ．
【答案】 y ＝﹣ x 2 +2 x +3
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，3）代入得3＝a（0+1）（0﹣3），
解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3．
故答案为y＝﹣x2+2x+3．
20．（2021秋•莆田期末）一抛物线以（﹣1，9）为顶点，且经过x轴上一点（﹣4，0），
求该抛物线解析式及抛物线与y轴交点坐标．
【答案】y＝﹣（x+1）2+9;y轴交点为（0，8）
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
依题意得h＝﹣1，k＝9，
将（﹣4，0）代入y＝a（x+1）2+9中，
得0＝9a+9，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+9．
令x＝0，则y＝8，
∴抛物线与y轴交点为（0，8）．
21．（2022•越秀区校级开学）已知抛物线y＝x2+（3﹣m）x﹣2m+2．
（1）若抛物线经过坐标原点，求此时抛物线的解析式；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移到最高处时，求该抛物线的顶点
坐标；
【答案】（1） y＝x2+2x （2）（﹣2，0）
【解答】解：（1）将（0，0）代入y＝x2+（3﹣m）x﹣2m+2得：
﹣2m+2＝0，
解得m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x；
（2）设抛物线y＝x2+（3﹣m）x﹣2m+2的顶点坐标为（p，q），
则p＝ ，q＝ ，
顶点移到最高处，即是q取最大值，
而q＝
＝
＝
＝﹣ （m+1）2，
∵﹣ ＜0，
∴m＝﹣1时，q最大值是0，
此时p＝ ＝﹣2，
∴当顶点移到最高处时，抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）；22．（2021秋•大连期末）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 m 0 …
（1）这个二次函数的对称轴是直线 ，m的值为 ；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）若点A（t，y ）、B（t+1，y ）两点都在该函数图象上，且t＜0，比较y 与y 的大
1 2 1 2
小，并说明理由．
【答案】（1）x＝1；﹣3 （2）y＝x2﹣2x﹣3 （3）y ＞y
1 2
【解答】解：（1）∵由表中x、y的对应值可知，当x＝1与x＝3时y的值相等，
∴对称轴是直线x＝ ＝1，
由二次函数的对称性可知，当x＝0与x＝2时y的值相等，
∴m＝﹣3；
故答案为：x＝1；﹣3；
（2）∵当x＝0时，y＝﹣3，
∴设y＝ax2+bx﹣3，
代入（﹣1，0），（1，﹣4），
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（3）y ＞y ，理由如下：
1 2
∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵t＜0，
∴t＜t+1＜1，
∴此时，抛物线随x的增大而减小，
∴y ＞y ．
1 2
