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第 04 讲 用频率估算概率
课程标准 学习目标
1. 掌握用频率估算概率的方法，并能够在题目中熟练的进行应
①用频率估算概率 用。
②频率与概率的区别与联系 2. 掌握频率与概率的区别于联系，能够熟练的利用他们的实际意
义解决相关问题。
知识点01 用频率估算概率
1. 用频率估算概率：
大量重复实验时，事件发生的 在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根
据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计 ，这个固定的 就是这个事件
的概率。实验次数越多，用频率估算概率越准确。
一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率 稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率即
为p（A）= 。
【即学即练1】
1．某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满 100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中
奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：
抽奖次数n 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 258 2990.38 0.373 0.345 0.323 0.299
中奖的频率
根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ）
A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25
【即学即练2】
2．在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随
机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频
率稳定在0.4，则口袋中红色小球的个数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．15
知识点02 频率与概率的区别与联系
1. 频率与概率的区别与联系：
事件的频率与概率都是度量事件发生的可能性大小的特征数。
频率是一个 ，或使用时的统计值，具有随机性，可能取多个数值，因此只能近似的反应
事件出现的可能性大小。概率是一个 ，是由事件的本质决定的，只能取唯一的值，所以它能
精确的反应事件发生的可能性大小。
【即学即练1】
3．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中9环以上”的频率
（1）计算表中相应的“射中9环以上”的频率（结果保留小数点后两位）．
（2）这些频率具有怎样的稳定性？
（3）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中 9环以上”的概率（结果保留小数点后一
位）．题型01 利用频率估算概率
【典例1】某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数 100 200 400 800 1000
“射中九环以 87 172 336 679 850
上”的次数
“射中九环以 0.87 0.86 0.84 0.85 0.85
上”的频率
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.84 B．0.85 C．0.86 D．0.87
【变式1】某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，
下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生 100 200 300 400 500 600 800
数n
近视学生数与n的 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410
比值
A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410
【变式2】某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率（结果保留 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
两位小数）
A．0.82 B．0.84 C．0.85 D．0.90
【变式3】我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防
止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重
要意义．在清明时节植树为最佳，因为此时的气候温暖，适宜树
苗的成活．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图统计
图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95
【变式4】广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的
发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据：
实验种子数量n/颗 100 200 500 1000 2000 5000发芽种子数量m/颗 93 188 473 954 1906 4748
0.930 0.940 0.946 0.954 0.953 0.950
种子发芽的频率 （精确到0.001）
则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为（ ）（结果精确到0.01）
A．0.93 B．0.94 C．0.95 D．0.96
题型02 根据频率的意义求值
【典例1】在一个不透明的布袋中装有红色，绿色玻璃球共20个．这些玻璃球除颜色外其他完全相同，每
次把布袋中的玻璃球摇匀后随机摸出一个，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个．小明通过多
次摸球试验后发现，其中摸到红色玻璃球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色玻璃球可能有（ ）
A．17个 B．14个 C．5个 D．3个
【变式1】在一个不透明的盒子中装有a个球，这些球除颜色外无其他差别，这 a个球中只有3个红球，
若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的
频率稳定在0.2左右，则a的值约为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
【变式2】在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共80个，除颜色外其他完全相同，通过
多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在 25%和45%，则口袋中白球的个数可能是（
）
A．8 B．16 C．24 D．32
【变式3】在一个不透明的口袋中装有红球和白球共25个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，
从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．若共摸了100次球，发现有
60次摸到红球，则估计口袋中红球的个数为（ ）
A．60 B．15 C．10 D．40
【变式4】生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按
编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了
一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm2，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，
发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ）
A．1.8cm2 B．4.5cm2 C．5.4cm2 D．9cm2
1．兴趣学习小组对某品种的麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：试验的麦粒数n 200 500 1000 2000 5000
发芽的粒数m 191 473 954 1906 4750
0.955 0.946 0.954 0.953 0.95
发芽的频率
通过试验，估计在这批麦粒中任取一粒能发芽的概率（精确到0.01）是（ ）
A．0.92 B．0.93 C．0.95 D．0.98
2．在一个不透明的袋子里有红球、黄球共10个；这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中
随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．小明通过多次试验后发现，摸到
红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．10
3．农科院某研究所在相同条件下做某种农作物的发芽率试验，结果如下表所示：
种子个数 200 500 700 800 900 1000
发芽种子个 187 435 624 718 814 901
数
种子发芽率 0.935 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901
下面有四个判断，其中合理的是（ ）
A．种子个数为800时，发芽种子的个数是718，所以种子发芽的概率为0.898
B．实验种子的个数最少的那次实验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率
C．实验种子的个数最多的那次实验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率
D．随着参加实验的种子数量增加，种子发芽的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计
种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）
4．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一
部分．小刚将二维码打印在面积为400cm2的正方形纸片上，如图，为了估计
黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在
黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（
）cm2．
A．160 B．240 C．0.4 D．0.6
5．小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次
D．小星定点投篮4次，一定投中1次
6．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如下的表格，则
符合这一结果的试验最有可能是（ ）
试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上
B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是5
C．在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“剪刀”
D．将一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃
7．在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果
的可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上
B．从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球
C．抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上
D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数
8．在做抛硬币试验时，抛掷n次，若正面向上的次数为m次，则记正面向上的频率 ．下列说法正确
的是（ ）
A．P一定等于
B．P一定不等于
C．多抛一次，P更接近
D．随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在 附近
9．在作图钉落地的试验中，正确的是（ ）
A．甲做了4000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4001次时，针尖肯定不会触地
B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻
抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度
C．老师安排每位同学回家做试验，图钉自由选取
D．老师安排同学回家做试验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的
进行统计，他不满意的就不要
10．在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆
子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在C中”记作事件W，估计W的概率P（W）的值为（ ）
A． B． C． D．
11．一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一
个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复 300次，其中摸出白球有180次，由此估计袋子中白球
的个数为
12．在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有 4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸
出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为 0.4，由此可以推算出m约
为 ．
13．为了鼓励学生培养创新思维，某校为1000名学生各准备了一件创新作品盲盒，小星为了估计汽车模型
盲盒的个数，对30位同学的盲盒统计，发现有9位同学抽中小汽车模型，由此可估计小汽车模型的总
数为 件．
14．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共5只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球
试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一
组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球次数m 58 96 116 295 484 601
0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
摸到白球的频率
则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是 .（精确到0.1）
15．为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据
如下：
在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000
落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 83
0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.083
落入小正方形区域的频率
试估计“点落入小正方形区域内”的概率 （精确到0.01）．
16．某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的试验结果如表
所示：
试验的种子 500 1000 1500 2000 3000 4000
粒数（n）
发芽的种子 471 946 1425 1898 2853 3812
粒数（m）
发芽频率 0.942 0.946 0.950 0.949 x 0.953
（1）求表中x的值；（2）任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率（精确到0.01）；
（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组至少需要准备多少粒种子进行发芽培
育．
17．如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了如下方法：
①在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆．
②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如表：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 …
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 61 123 206 …
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 30 89 177 294 …
m：n 0.667 0.685 0.695 0.701
（1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，m：n的值越来越接近 （结果精确到
0.1）；
（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆
上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）；
（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留 ）
π
18．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：
抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000
合格数 42 88 141 176 445 724 901
合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90
（1）估计任抽一件衬衣是合格品的概率是多少？
（2）估计出售900件衬衣，其中次品大约有多少件？
（3）为确保出售900件合格衬衣，商家至少需要进货多少件衬衣？19．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格：
抽取件数 50 100 200 300 500 1000
（件）
合格频数 49 94 192 285 m 950
合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n
（1）表格中m的值为 ，n的值为 ．
（2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率．
（3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂 2元的材料损失费，
今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？
20．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出
一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254
（1）补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ；
（2）估计袋中白球的个数；
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸
出白球的概率．
