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第 03 讲 弧、弦、圆心角
课程标准 学习目标
1. 掌握圆心的定义能够熟练的判断圆心角。
①圆心角的认识
2. 掌握弧、弦以及圆心角之间的关系，并能够在题目的
②弧、弦、圆心角的关系
计算与证明过程中熟练的应用。
知识点01 圆心角的认识即范围
1. 圆心角的认识：
顶点在 的角叫做圆心角。
2. 圆心角的大小范围：
圆心角α的大小范围为 。
【即学即练1】
1．下图中∠ACB是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 弧、弦、圆心角之间的关系1. 弧、弦、圆心角之间的关系（圆心角定理）：
在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等。
2. 弧、弦、圆心角的关系的推论：
（1）在 中，如果两条弧相等，那么他们所对 与 都相等。
（2）在 中，如果两条弦相等，那么他们所对 与 都相等。
圆心角定理及其推论必须要在同圆或等圆中才成立。
3. 弧的度数：
弧的度数等于它所对的 的度数。
【即学即练1】
2．如图所示，在 O中， ，则在①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④ 中，
正确的个数是（ ）
⊙
A．1 B．2 C．3 D．4
【即学即练2】
3．如图，在 O中，AB＝2CD，那么（ ）
A． ⊙
B．
C．
D． 与 的大小关系无法比较
【即学即练3】
4．已知：如图，P为直径AB上一点，EF、CD为过点P的两条弦，且∠DPB＝∠EPB．
求证：
（1）CD＝EF； （2） ．
题型01 圆心角的认识【典例1】下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列图形中的角，是圆心角的为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】下列图形所标记的角中是圆心角的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型02 利用弦或弧相等证明圆心角相等
【典例1】如图，AB为半圆O的直径，点C、D为 的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（
）
A．25° B．30° C．50° D．60°
【变式1】如图，已知AB、CD是 O的直径， ，∠AOE＝32°，那么∠COE的度数为 度．
⊙
【变式 2】如图，半径为 5的 A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，
∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（ ）
⊙A．8 B．10 C．11 D．12
【变式3】如图，AB、CD是 O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（ ）
⊙
A．42° B．44° C．46° D．48°
【变式4】如图，在 O中， ＝ ，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠COA．
⊙
题型03 利用圆心角或弧相等证明弦相等
【典例1】如图，在 O中，已知 ＝ ，则AC与BD的关系是（ ）
⊙
A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定
【变式1】如图，AB和DE是 O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝ ．
⊙【变式2】如图，已知点A、B、C、D在圆O上，AB＝CD．
求证：AC＝BD．
【变式3】如图， O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证：
（1）AD＝BC；
⊙
（2）AE＝CE．
题型04 利用圆心角或弦相等证明弧相等
【典例1】已知：如图， O中弦AB＝CD．求证： ．
⊙
【变式1】如图，已知C，D是以AB为直径的 O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D
为 的中点． ⊙【变式2】如图， O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证： ＝2 ．
⊙
【变式3】如图，在 O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且AF＝BE．求证：
（1）OE＝OF；
⊙
（2） ．
题型05 求弧的度数
【典例1】 O中，弦AB的长恰等于半径，则弧 的度数是 度．
⊙【变式1】如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若 ＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则 的度数
为（ ）
A．25° B．40° C．50° D．60°
【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC
于点E．求 、 的度数．
【变式3】如图，在 O中，AB＝AC．
（1）若∠BOC＝1⊙00°，则 的度数为 °；
（2）若AB＝13，BC＝10，求 O的半径．
⊙
题型04 两倍弦与两倍弧
【典例1】如图，在 O中， ＝2 ，则下列结论正确的是（ ）
⊙A．AB＞2CD B．AB＝2CD
C．AB＜2CD D．以上都不正确
【变式1】如图所示，在 O中， ，那么（ ）
⊙
A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法比较
【变式2】如图，在 O中，若 ＝ ＝ ，则AC与2CD的大小关系是：AC 2CD．（填“＞”，
“＜”或“＝”）
⊙
1．下列图形中的角是圆心角的是（ ）A． B． C． D．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等
B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的弦一定经过圆心
3．如图，已知点A、B、C、D都在 O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（ ）
⊙
A． B．∠AOD＝3∠BOC
C．AC＝2CD D．OC⊥BD
4．如图，在 O中，AB是直径， ，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
⊙
A．35° B．40° C．45° D．60°
5．如图，AB是 O的直径，四边形ABCD内接于 O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则 O的直径AB为（
）
⊙ ⊙ ⊙
A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm
6．圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2
7．如图，AB为 O的直径，C为 O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交
O于P，则当C在 O上运动时，点P的位置（ ）
⊙ ⊙
⊙ ⊙A．随点C的运动而变化 B．不变
C．在使PA＝OA的劣弧上 D．无法确定
8．如图，在 O中，满足 ，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（ ）
⊙
A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定
9．如图所示，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，AB＝8，CD＝
6，那么 O的半径为（ ）
⊙
A．5 B．10 C． D．
10．已知在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OB＝4，C为弧AB的中点，D为半径OB上一动点，点B关于直
线CD的对称点为M，若点M落在扇形OAB内（不含边界），则OD长的取值范围是（ ）
A．4 B．2
C．0＜OD＜2 D．4﹣2 ＜OD＜4
11．直径为20cm的 O中，弦AB＝10cm，则弦AB所对的圆心角是 ．
12．如图，在 O中⊙， ＝ ，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④
＝ ，正确⊙的是 （填序号）．13．如图，在 O中，若∠AOB＝120°，则弦AB所对的弧的度数为 ．
⊙
14．如图所示，已知C为 的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝ ．
15．有一半圆片（其中圆心角∠AED＝52°）在平面直角坐标系中按如图所示放置，若点A可以沿y轴正半
轴上下滑动，同时点B相应地在x轴正半轴上滑动，当∠OAB＝n°时，半圆片上的点D与原点O距离最
大，则n的值为 ．
16．如图，在 O中，OA＝4， ，直径AB⊥CD于点E，连接OC，OD．
（1）求∠COD的度数；
⊙
（2）求CD的长度．
17．AB、CD是 O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证： ＝ ．
⊙18．如图，AB是 O的弦，C是 的中点．
（1）连接OC，求证：OC垂直平分AB；
⊙
（2）若AB＝8， ，求 O的半径．
⊙
19．如图，在 O中， ，CD⊥AO于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：AD＝BE．
⊙
（2）若AD＝DO，r＝3，求CD长．
20．如图，在 O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，弦EF⊥AB，垂足分别为M、N，OM＝3．
（1）求弦CD的长；
⊙
（2）如果EF＝6，求∠EOC的度数．
