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考点 5-1 向量坐标运算与平行垂直
1．（2022·全国·高考真题（文））已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
先求得 ，然后求得 .
【详解】
因为 ，所以 .
故选：D
2．（2013·陕西·高考真题（文））已知向量 ， ，若 ，则实数m等于（ ）
A．－ B．
C．－ 或 D．0
【答案】C
【分析】
应用向量平行的坐标表示列方程求参数值即可.
【详解】
由 知：1×2－m2＝0，即 或 .
故选：C.
3．（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））已知向量 ，若 ，则 （
）
A． 4 B．4 C． 1 D．1
【答案】D
【分析】
由 ，得 ，列方程可求出 的值
【详解】
因为向量 ， ，
所以 ，得 ，
故选：D
4.（2021·全国·高考真题（文））已知向量 ，若 ，则 _________．【答案】
【分析】
利用向量平行的充分必要条件得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值.
【详解】
由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，
解方程可得： .
故答案为： .
5．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）已知向量 ， ，若满足 ，则
__________.
【答案】 或
【分析】
直接由向量平行的坐标公式求解即可.
【详解】
∵ ，∴ ，解得 或 .
故答案为： 或 .
6（2023·全国·高三专题练习）设向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据向量的数量积的坐标运算计算出 ，然后再写出答案即可
【详解】
向量 ， ， ，解得
，
故选：D7．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））已知向量 ， 满足 ， ，
，则 （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】
设出向量 ， 的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从
而解出参数
【详解】
设 ， ，所以 ，且 ，解得 ， ，即 ，
.所以 ，则 ，解得 ，故
.
故选：B
8．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 ， ，且非零向量 满足 ，
则 的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】
设 ，由 得 ，将 转化为 和圆上点 之间的距离，即可求出最
大值.
【详解】
设 ，则 ，
，整理得 ，则点 在以 为圆心， 为半径的圆上，则 表示 和圆上点
之间的距离，
又 在圆 上，故 的最大值是 .
故选：B.
9.（2023·全国·高三专题练习（文））已知向量 ， ， ， ，则 __________.
【答案】
【分析】
首先求出 ， ， ，最后根据夹角公式计算可得.
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ， ， ，
所以 .
故答案为：
10．（2022·四川成都·高三期末（理））已知向量 ， ，其中m， ．若 ，则
的值为______．
【答案】4
【分析】
利用 求出m、n，进而求出 的值.
【详解】
因为向量 ， ，且 ，
所以 ，所以 .
故答案为：4
11.（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 ，P为直线 上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则 的最小值为（ ）
A． B．-1 C． D．-2
【答案】A
【分析】
设 ， ，利用导数的几何意义可求直线 ， ，进而可得 ，然后利用
数量积的坐标运算结合二次函数的性质即得.
【详解】
设 ， .由 求导得 ，
则直线 ，直线 ，
联立方程可得 ，
由P在直线 上，得 ，且 ，即 .
因而
.
故选：A.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知 为坐标原点， ，若 、 ，则与 共线
的单位向量为（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【分析】
求出 的坐标，除以 ，再考虑方向可得．
【详解】由 得 ，即 ， ，
，
，
，
与 同向的单位向量为 ，反向的单位向量为 ．
故选：C．
13．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知向量 ， ，向量 与 垂直，则实数
的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】
由题得 化简即得解.
【详解】
因为 与 垂直，
所以 ，
所以 .
故选：C.
14．（2022·上海金山·二模）已知向量 ，则函数
的单调递增区间为__________.
【答案】
【分析】
根据数量积的坐标公式，结合三角恒等变换公式化简可得 ，再求解单调递减区间，结
合 求解即可
【详解】
由题意， ，故 的单调递增区间：
，即 ，故 在 的单调递增区间为
故答案为：
15．（2022·广东茂名·二模）已知向量 （t，2t）， ＝（﹣t，1），若（ ﹣ ）⊥（ + ），则t＝
_____．
【答案】
【分析】
由（ ﹣ ）⊥（ + ），由垂直向量的坐标运算可得出 ，再由模长的公式即可求出 .
【详解】
因为（ ﹣ ）⊥（ + ），所以 ，
所以 ，则 ，所以 ，所以 .
故答案为： ．
